高中“立体几何”测试卷
一、选择题（4’×10=40’）
1．一条直线与一个平面所成的角等于?，另一直线与这个平面所成的角是?. 则这两
36条直线的位置关系（ ）
A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行 2．下列说法正确的是 。
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线 B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线 C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任意一条直线 D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M
3．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 。
A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形
4．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H.若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于 。
A．6 B．5 C．4 D．3
5．二面角α—EF—β是直二面角，C∈EF，AC ?α，BC?β,∠ACF=30°,∠ACB=60°，则cos∠BCF等于 。 A．23
3B．
63 C．
22 D．
3 36．把∠A=60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（ ）
A．3a B．
4??34a C．3a D．
2???64?a
7．|a|＝|b|＝4，〈a，b〉＝60°，则|a－b|＝ 。 A．4 B．8 C．37 D．13
8．三棱柱ABC?A1B1C1中，M、N分别是BB1、AC的中点，设AB?a，AC?b，AA1?c，则NM等于 。
A．1(a?b?c) B．1(a?b?c) C．1(a?c) D．a?1(c?b)
22229．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔A．258 B．234 C．222 D．210
10．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，
它的底面三个顶点恰好内各面）是 。
都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是:
A．2?R B．7?R C．8?R D．7?R
336二、填空题（4’×5=20’）
11．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为2，则AC与平面α所成角的大小是 。
12．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 。
13．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成30°角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离为 。
14．一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角总和为 。
15．已知a、b是直线，?、?、?是平面，给出下列命题： ①若?∥?，a??，则a∥? ②若a、b与?所成角相等，则a∥b ③若?⊥?、?⊥?，则?∥? ④若a⊥?, a⊥?，则?∥?
其中正确的命题的序号是________________。 三、解答题（40分）
16．（8分）在△ABC所在平面外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB与平面ABC所成角相等。 （I）求证：AC=BC；
（II）又设点S到平面ABC的距离为4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S与AB的距离.
17．（10分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB。 （I）求证EFGH为矩形；
（II）点E在什么位置，SEFGH最大?
18．(12分）如图：直三棱柱ABC—A1B1C1，底面三角形ABC中，CA=CB=1，?BCA?90?，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、AB的中点。 ①求证：平面A1NC∥平面BMC1； ②求异面直线A1C与C1N所成角的大小； ③求直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小。
19．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E—BC—A正切值的大小。
参考答案
一、选择题（3’×12=36’）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D A A D B B 二、填空题（4’×5=20’） 11．30? ； 12．32?； 13．22 14．1620? ； 15．（1）（4）
三、解答题（10’×4=40’）
16．（1）证明：过S作SO⊥面ABC于O
17．解：
又∵AB⊥CD?EF⊥FG?EFGH为矩形. （2）AG=x，AC=m，
aGHx?，GH=x
mambGFm?xm?x GF=（m－x） ??mbmmababababm2m222
SEFGH=GH·GF=x·（m－x）=2（mx－x）= 2（－x+mx－+）=2［－
mmmmm442m2m（x－）+］
24mabm2ab?. 当x=时，SEFGH最大=2?244m18、建系：A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0）
1111A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，C1(0,0,2)，M(,,2)，N(,,0)
2222
（1）CN?(,,0)，C1M?(,,0)，CN?C1M，?CN//C1M
1111A1N?(?,,?2)，MB?(?,,?2)，A1N?MB，?A1N//MB
222211221122?A1N?CN?N,C1M?MB?M，?平面A1NC∥平面BMC1
（2）A1C?(?1,0,?2)，C1N?(,,?2)
1?47102? 30115???444?1122cos??异面直线A1C与C1N所成角的大小为arccos710 301122（3）平面ACC1A1的法向量为n?(0,1,0)，A1N?(?,,?2)
122? 611??4?144sin??|A1N?n||A1N|?|n|?直线A1N与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin2 619．若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。 设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于点E，连结OE，则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可。
4R222
由于△DEM∽△DAP，可求得ME= ， 所以OE=9+ 令OE≤R， 224?R16?4R4R2
4R22
即9+ ≤R ，解之得R≥23；所以AD=2R≥43，所以AD的取值范围[ 43，24?R+∞)，
当且仅当AD= 43时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
12