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与圆有关的综合题
20．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，BA、DC的延长线交于点P ，?BPO??DPO. 求证：PA=PC．
B
A
OP
C
D
21. 已知，如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果?BAD?30?，且
BE?2，求弦CD的长.
DAOECB九年级数学 1
22．（本题满分10 分，每小题5分）
如图，在⊙O中，AB为直径，点B 为CD的中点，直径AB交弦CD于E ，CD=25，AE＝5．（1）求⊙O半径r 的值；
（2）点F 在直径AB上，联结CF ，当∠FCD ＝∠DOB时，求 AF 的长．
22．如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂线，交圆O于C、D两点，垂足为H，联结BC、
BD.
（1）求证：BC=BD；
（2）已知CD=16，AH=4，求圆O的半径长.
CBAOECBDOHAD
2
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25. 如图，已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB ⊥BC，AB = 4，AD = 3，sin?DCB?4， 5P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q． （1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
九年级数学
ADPBC 图1 3
ADBC
备用图
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB=5，BC=4，点M是边BC上的动点（与点B、C
不重合），以MB长为半径的⊙M与边AB交于点N，联结CN、MN，设MB=x，AN=y. （1）求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）当∠NMB=∠ANC时，求△CNM与△CBN的周长比； （3）当△CNM是以MN为腰的等腰三角形时，求x的值. 4
CMANB
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25．（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分） 如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=
4，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径5的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC的面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
B P D C B C A A 九年级数学 5
25.如图，线段AB=4，25．如图，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=4，点O在BC边上运动，
以O为圆心，OA为半径的圆与边AB交于点D（点A除外），设OB?（1）求sin?ABC的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点O在BC边上运动时，⊙O是否可能与以C为圆心，BC长为半径的⊙C相切？
如果可能，请求出两圆相切时x的值；如果不可能，请说明理由．
6
x，AD?y ．
14A
D B
O C
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25．如图，已知：在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D为BC边上一动点（不与B点重合），过点D作射线DE交AB边于点E，使∠BDE=∠A，以D为圆心，DC的长为半径为⊙D （1）设BD=x，AE=y,求y关于x的函数关系，并写出定义域 （2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长
（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD为多少时，⊙D与⊙E相切？
九年级数学
AEBDC7
25．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过
点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．
︵︵（1）若ED=BE，求∠F的度数；
（2）设CO?x,EF?y,写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长． A C OD
BEF 第25题
ACODBEF备用图8
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25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F(点F与点C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝
4．设OP＝x，△CPF的面积为y． 5(1) 求证：AP＝OQ；
(2) 求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； (3) 当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
九年级数学
9
CQFEPDCDAOBAOB备用图
25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分、第（3）小题6分）
已知：如图，在边长为5的菱形ABCD中，cosA=，点P为边AB上一点，以A为圆心、AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE 与⊙A另一个交点为点F．（1）当点E与点D重合时，求EF的长；
（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）是否存在一点P，使得弧EF的长是弧PE的2倍，若存在，求AP的长，若不存在，请35
说明理由． D C E F A P B
10
D C A
B
备用图
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24．如图，已知二次函数y?ax2?bx?c的图象经过A(?1,0),B(3,0),N(2,3)三点，，且与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y?kx?b经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P
为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
九年级数学
11
25．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，cotA?2，P是边AB上的一个动点，⊙P的
半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y． （1）求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．
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C N M A P B
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25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（图10）．已知AD?13，AB?5，设AP=x ,BQ = y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF?EC?4，求x的值． APD M BQC
九年级数学 ADBC备用图beibeiyon
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25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）
4，点P是边BC上的动5点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
G
EAFAD D
BBCCP
图1 备用图
如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝
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24．如图，已知⊙C的圆心在x轴上，且经过A(1,0)、B(?3,0)两点，抛物线y?mx2?bx?c （m＞0）经过A、B两点，顶点为P．
（1）求抛物线与y轴的交点D的坐标（用m的代数式表示）； （2）当m为何值时，直线PD与圆C相切？
九年级数学 y B C. x O A D P 第24题 15
25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分） 如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
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25．如图1，在半径为5的扇形AOB中，?AOB?90?，点C、D分别在半径OA与弧AB上，
且AC?2，CD平行OB，点P是CD上一动点，过P作PO的垂线交弧AB于点E、F，联结DE、BF．
S
（1）求?DEP的值；
S?DFP
（2）如图2，联结EO、FO，若?EOF?60?，求CP的长；
（3）设CP?x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
九年级数学
AECDPFOB第25题图1AECDPFOB第25题图217
25、（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
已知：⊙O的半径为3，OC?弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，?ECO??BOC，射线CE CE与射线OB相交于点F．设AB?x, CE?y． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域； （2）当?OEF为直角三角形时，求AB的长； （3）如果BF?1，求EF的长． E O F A D B C
（第25题图）
O （备用图1）
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25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，）
已知：如图，A、B是⊙O上两点，OA = 5，AB = 8，C是AB上任意一点，OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线交⊙O于点F，联结BC、BF、OF．
（1）如图1，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长； （2）当点E在线段BO上时，设AD = x，S?BOD?y，求y关于x的函数解析式，并写出这个S?BOC函数的定义域；
（3）当CD = 1时，求四边形OCBF的面积．
F
F
O O E A D B
D E C A B
（第25题图）
（图C
1）
九年级数学
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O A
B
（备用图）
25．(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分) 如图，已知线段AB=10，点C在线段AB上，⊙A、⊙B的半径分别为AC、BC，D是⊙B上一点，AD交⊙A于E，EC的延长线交⊙B于F． （1） 求证：BF//AD；
（2） 若BD⊥AD，AC=x，DF=y，求y与x的函数关系式，写出定义域．
（3）在（2）的条件下，点C在线段AB上运动的过程中，DF是否有可能与AB垂直，如果
有可能请求出AC的长，如果没有可能，请说明理由．
F (第25题)
DEACB 20
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25．如图，已知在Rt?ABC中，?ACB?90?，AB?5，sinA?4，点P是边BC上的一5点，PE?AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D。 （1）求AD的长；
（2）设CP?x，?PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点C作CF?AB，垂足为F，联结PF、QF，如果?PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长。
九年级数学
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BEPDQCA25．（本题共3小题，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分，满分14分） 如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠B = 90°，AB = 4，BC = 9，AD = 6．点E、F分别在边AD、BC上，且BF = 2DE，联结FE．FE的延长线与CD的延长线相交于点P．设 DE = x，
PE?y． EF（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切时，求x的值； （3）当△AEF∽△PED时，求x的值．
P
A
E D A
D B
F
C B
（备用图）
C
22
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25．以AB为直径作半圆O，点C为弧AB的中点，点P为直径AB上一点，联结PC，过点C作CD//AB，且CD=PC，过点D作DE//PC，交射线PB于点E，PD与CE相交于点Q． （1）若点P与点A重合，求BE的长； （2）设PC= x，
PD?y，当点P在线段AO上时，求y与x的函数关系式及定义域； CEC （3）当点Q在半圆O上时，求PC的长．
C D Q
A
P
O EB A O 备用图
B 九年级数学 23