二次根式的化简
【知识要点】
什么是最简二次根式
（1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项二次根式：利用a?a?a来确定．
22 ②两项二次根式：利用平方差公式?a?b??a?b??a?b来确定．如: a?b与
a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。
同类二次根式
(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
(2)判断方法：注意以下三点：
①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同. 【重难点解析】
1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如：12?22?3= 23 18?32?2= 32 50?52?2= 52 2．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如948?22?3?79= 23?79，2025?52?34= 5?32
3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如： x?5x4?x?x2x、x3?x?1??x2?x?1??x?x?1?=x?x?1?x?x?1? 32 4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。
如：11?33222?3233?????? 、
32?3333?382323?3225．两项的分母有理化，运用平方差公式a?b??a?b??a?b?，分子分母同时乘以一个有理化因式，将分母中的根号去掉
1 如：?3?2
1???3?23?2???3?2???3?23?2??3?2
1
【经典例题】
例1、化简二次根式
例2、写出下列各式的有理化因式
1248501085421?5615?45
3?2 2?5 23?52 例3、把下列各式分母有理化 （1）
例4、如果最简根式m?n?22m?4n和13?m是同类根式，求m、n的值。
例5、把5的整数部分记为a，小数部分记做b，则a?112 （2）332 （3）41 （4）
7?115?31?b
【课堂练习】
1.化简下列各式
98 162
26315
2 3 2
21224 33?15?37?3
9?25?，
62?82?，
9?169?12
2.计算下列各题： （1）?7?2
2（4）??5??? ?5??
16?9?，
?62?2??26?2?
7?63 262?102
??12????25?2（2）??3??? （3）?32?2
?4??（5）(?4)2 （6）22 3
3.（1）若最简二次根式2m?1与?37?2m是同类二次根式，求m的取值
（2）若最简二次根式a?12a?5与4a?3b是同类二次根式，求a、b的值
4.已知a?
5?25?211,b?,求?的值。 33ab
二次根式的乘除法
【知识要点】
1、乘法公式：ab?2、除法公式：
a?b（a≥0，b≥0）。 ab?ab?a?0,b?0? ba?b3、比较两个实数的大小.
方法一：先求无理数的近似值，转化为比较有理数的大小，从而得出两个无理数的大小.
方法二：两个正数中，较大的正数，它的算术平方根也较大，即a>b>0时，可以得出
a>b. 也就是说，比较两个二次根式的大小，可以转化为先比较它们被
开方数的大小，从而得出两个二次根式的大小.
【典型例题】
例1 、计算下列各题： （1）
??2?3? （3） 7 （2） ?32?4????22?? 4
例2、计算：
（1）5×10 （2） 32×26?43
例3、 化简
（1）9?144?8
（3）262?102
例4、计算27?312?583
例5、 计算
（1）56?????32? ?3???
例6、3116?21425?513416?281
6 （3）723 （4）
（2）0.524 （4）??8???25? （2）1330?401322?223 5
例7、比较下列两个数的大小
（1）6与7 （2）32与23
【课堂练习】
1、比较下列各组中两个数的大小： （1）2.8与2
（3）?56与?65 （4）?3
2．计算
（1） 9?25 （2）16?169 （3）16?19
3 （2）76与67 423与?3 35?1??1?（4）6?8 （5）?32???16? （6）?2??2?2222??2??6???27?
6．化简： （1）11?43
7．计算：
（1）28?35?20 （2）2??2 （2）?62??2?26?2
13?2????75??15； 34?5? 6
8．计算：
9．计算 （1）23?215????? ???52?38?1?14??11?222???? 33??1?5 （2）?2????2?87??42?335?
二次根式的加减法
【知识要点】
1、定义:同类二次根式
类似于整式中的同类项，像33和－23、3a和－2a 这样的两个二次根式，称为同类二次根式． 2、定义:最简二次根式 如果二次根式有如下两个特点： （1）．被开方数不含分母；
（2）．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3、二次根式的加减，与整式的加减相类似，只须对同类二次根式进行合并．
【引入】
试一试
22计算：(1)3x?2x (2)?7x?8x （3）33－23； （4）3a－2a
7
【典型例题】
例1、下列各式中把不是最简二次根式的化作最简二次根式
75 ， 3 ，2 ，
例2、:请问下列两组二次根式是同类二次根式吗?
(1)2、22、 例3、计算：
（1）32+3－22－33 ． （2）23?8?
（3）(
例4． 设梯形上底为a，下底长为b，高为h，面积为s。 （1）a?
8
1
，271 50
2 (2)2、8、518 31112?50 251227?24?3)?12 （4）(23?5)(2?3) 335，b?20，h?5，求s；
（2）a?23，b?312，h?43，求s；
【课堂练习】
1.在二次根式：①12, ②23③2；④27和3是同类二次根式的是（ ） 3 A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2.已知y=x－3，且y的算术平方根为4，则x= ． 3. 如果最简根式
b-a
3b 和2b-a+2 是同类二次根式，那么a、b的值为 （ ）
3
A．a ＝0，b＝2 B．a ＝2，b＝0 C．a＝－1．b＝1 D. a＝1，b＝－2 4. 计算：（1）12+12?3-(2+3)0 （
2）
12
?13?3?2 2（3）(18?12?
5、计算：
2)?26 （4）8 +18 +12
（1）53-375； （2）72?18?
9
32； 2
（3）35-2+5-42 ； （4）26?5?
1 6；2 10