2017年北京中考数学真题试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图所示，点 到直线 的距离是
A. 线段 的长度 B. 线段 的长度 C. 点段 的长度
D. 线段 的长度
2. 若代数式
有意义，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
3. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是
A. 三棱柱
B. 圆锥
C. 四棱柱
4. 实数 ， ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A.
B.
C.
5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C.
D.
6. 若正多边形的一个内角是 ，则该正多边形的边数是
A.
B.
C.
7. 如果 ，那么代数式
的值是
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D.
D. 圆柱
D. D.
A.
推断不合理的是
B. C. D.
8. 下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．根据统计图提供的信息，下列
A. 与 年相比， 年我国与东欧地区的贸易额有所增长 B. 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C. 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过 亿美元 D. 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的 倍还多
9. 小苏和小林在图 所示的跑道上进行 米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 （单位： ）与跑步时间 （单位： ）的对应关系如图 所示．下列叙述正确的是
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度 C. 小苏前 跑过的路程大于小林前 跑过的路程 D. 小林在跑最后 的过程中，与小苏相遇 次
10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 ，所以“钉尖向上”的概率是 ；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 ；③ 若再次使用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 时，“钉尖向上”的频率一定是 ．其中合理的是
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A. ① B. ② C. ①② D. ①③
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 写出一个比 大且比 小的无理数：______．
12. 某活动小组购买了 个篮球和 个足球，一共花费了 元，其中篮球的单价比足球的单价多
元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，依题意，可列
方程组为______．
13. 如图，在 中， ， 分别为 ， 的中点．若 ，则 四边形 ______．
．若 ，则 14. 如图， 为 的直径， ， 为 上的点，
______．
15. 如图，在平面直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图形的变化（平移、轴
对称、旋转）得到的，写出一种由 得到 的过程：______．
16. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程．
已知： ， ． 求作： 的外接圆． 作法：如图，
（ ）分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点；
（ ）作直线 ，交 于点 ；
（ ）以 为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆． 请回答：该尺规作图的依据是______．
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三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算： ．
18. 解不等式组：
19. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
求证： ．
20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于
两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原则》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据图完成这个推论的证明过程．
证明： 矩形 ， 矩形 ． 易知， ， ， ． 可得 矩形 矩形 ．
21. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于 ，求 的取值范围．
22. 如图，在四边形 中， 为一条对角线， ， ， ， 为
中点，连接 ．
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（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 平分 ， ，求 的长．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）已知点 ，过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，过点
作平行于 轴的直线，交函数 的图象于点 ．
① 当 时，判断线段 与 的数量关系，并说明理由； ② 若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．
24. 如图， 是 的一条弦， 是 的中点，过点 作 于点 ，过点 作 的切
线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
25. 某工厂甲、乙两个部门各有员工 人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样
调查，过程如下，请补充完整．
（1）收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩
（百分制）如下： 甲 乙
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整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
分及以上为生产技能优秀， 分为生产技能良好， 分为生产技能合格， 分以下为生产技能不合格）
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门平均数中位数众数甲乙
得出结论：
a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为______；
b．可以推断出______ 部门员工的生产技能水平较高，理由为______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
所对弦 上一动点，过点 作 交 于点 ，连接 ，过点 作 26. 如图， 是
于点 ．已知 ，设点 ， 两点间的距离为 ， ， 两点间的距离为 （当点 与点 或点 重合时， 的值为 ）．
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题；当 为等腰三角形时， 的长度约为______ ． 27. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），
与 轴交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）垂直于 轴的直线 与抛物线交于点 ， ，与直线 交于点
．若 ，结合函数的图象，求 的取值范围．
28. 在等腰直角 中， ， 是线段 上一动点（与点 ， 不重合），连接 ，
延长 至点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
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（1）若 ，求 的大小（用含 的式子表示）； （2）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
29. 对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下定义：若在图形 上存在一点 ，使得
， 两点间的距离小于或等于 ，则称 为图形 的关联点． （1）当 的半径为 时，
①在点 ，
， 中，
的关联点是______；
②点 在直线 上，若 为 的关联点，求点 的横坐标的取值范围； 段 上的所有点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围．
（2） 的圆心在 轴上，半径为 ，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ．若线
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答案
第一部分 1. B 6. B
2. D 7. C
3. A 8. B
4. C 9. D
5. A 10. B
第二部分
11. 答案不唯一，如：
12.
13. 14.
15. 答案不唯一，如：以点 为中心，将 顺时针旋转 ，再将得到的三角形向左平移 个单位长度
16. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义 第三部分 17. 原式
18. 原不等式组为 解不等式 ，得 解不等式 ，得 原不
等式组的解集为 ． 19. 因为 ， ， 所以 ． 因为 平分 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ．
因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ．
20. ； ； ； ； ； 21. （1） 依题意，得
， 方程总有两个实数根．
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（2） 由求根公式，得 ， ． 方程有一个根小于 ， ． ．
的取值范围是 ．
．
22. （1） 因为 为 的中点， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 因为 ，
所以四边形 为平行四边形． 又因为 ， 所以 ．
所以平行四边形 为菱形． （2） 设 与 交于点 ，如图． ，
所以 ． 因为 平分 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ．
由（ ）可知， ． 所以 ． 所以 为等边三角形． 所以 ， ． 所以 ．
在 中， ，可得 所以 ．
23. （1） 因为直线 经过点 ， 所以 ．
又因为函数 的图象经过点 ， 所以 ．
（2） ① 当 时，点 的坐标为 ． 所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 所以 ．
② 的取值范围是 或 ．
．
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