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136、给定曲面?:y?x,0?x?1,0?z?1的右侧，则??ydzdx??.
.
137、给定曲面?:y?x,0?x?1,0?z?1的左侧，则??ydzdx??138、设?是由曲线y?x(0?x?1)绕x轴旋转一周所得曲面的外侧，则曲面积分
.
I???2(1?x)dydz之值为
?33139、设?为球面x2?y2?z2?a2的外侧，则?xdydz?ydzdx?zdxdy=________. ???第十一章 无穷级数
140、若级数?un收敛,则limun? .
n?1?n???141、若级数?(un?1)收敛，则limun? . n?1n??142、当q 时,几何级数?aqn收敛.
n?1?143、??1当p 时收敛，p 时发散. pn?1n1?
n(n?1)n?1??144、?.
.
145、?(n?2?2n?1?n)?
n?1(?1)n?1146、?n?1?
n?12?.
147、等比级数?1? . nn?1100?1111??的和s? . 148、级数1??????(?1)n234n?1149、级数?(n?1?11?)的和等于__________ . n2n(n?1)?150、已知级数?un的前n项的部分和为
n?12n，则un? . n?1151、幂级数?nx2n?1的收敛半径R= . nnn?12?(?3)?11
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152、级数??1的和s= . n!n?1?2n153、级数?的和是 .
n?2n!xn?1154、幂级数?在收敛区间??1,1?内和函数s(x)= .
nn?1?155、设幂级数?anxn在x=-2处条件收敛，则该幂级数的收敛半径R= .
n?0?156、数项级数??1的和为 . nn?1n2?157、幂级数?(?x)n在(?1,1)内的和函数为 .
n?0(ln3)n158、幂级数?n的和函数s(x)= .
2n?0?159、幂级数?(2n?1)xn的和函数为 .
n?0?160、函数项级数?ln?n?1?nx的收敛半径为 . n?1n?1??1??an(x?1)n，则an161、若
1?xn?0?? .
(x?5)n162、幂级数?n?1的收敛域是__________________________.
n163、f(x)?ln(1?x)关于x的幂级数展开式为164、f(x)?arctanx关于x的幂级数展开式为
.
.
165、将y?ln(1?x?2x2)展开成x的幂级数为 . ???1166、设f(x)??21?x?????x?0，则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛
0?x??于 .
167、周期为2?的周期函数f(x)在一个周期上的表达式为f(x)?x,???x??，设它的傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(3?)? . 2??1,???x?02?168、周期为的周期函数，它在一个周期上的表达式为f(x)??，设它
1,0?x???12
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的傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(5?)? . 2?0,???x?0,169、设f(x)??f(x)的傅里叶级数的系数b2k?1? (k?1,2,3,??).
A,0?x??,???1,???x?0170、设f(x)以2?为周期，它在(-?,?)上定义为f(x)??,则f(x)的傅2?1?x,0?x??里叶级数在x=?处收敛于.
??x,???x?0;171、设f(x)是以2π为周期的周期函数，且在[??,?)的表达式为f(x)??
0,0?x??.?f(x) 的Fourier级数 在x??处收敛于 .
172、设f(x)是周期为2?的周期函数且满足狄利克雷条件，则f(x)的傅里叶级数在其间断点x?x0处的和等于
.
?1,?2?x?0,173、设f（x）是以4周期的周期函数，它在[?2,2)定义为f（x）=?则傅
?x,0?x?2.里叶级数在x=2处收敛于 ，在x=1处收敛于 .
a0?174、若函数f?x??x?0?x???的余弦级数为f?x?~??ancosnx，则系数
2n?1a3? . 第十二章 微分方程
175、方程
dy?1?sinx?sin2x满足初始条件y(0)?2的特解是dx.
1176、微分方程xy'?2y?xlnx满足y(1)??的特解为 . 9177、微分方程y?sinx?ylny满足初始条件y178.微分方程
x??2?e的特解是.
dy?2x(1?y2)的通解是 . dx179、微分方程y??2y?3的通解是 . 180、微分方程181、微分方程
dy2y??0的通解是 . dxx?1dxdy??0的通解是 . xy13
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182、微分方程(2x?y)dx?(y?x)dy?0的通解是 .
183、一阶线性微分方程y??2xy?6x满足y(0)?2特解为 . 184、微分方程2xyex?1dx?exdy的通解为 . 185、微分方程(y2?2x)dy?ydx?ydx?0的通解是____________________.
186、微分方程(2xsiny?3x2y)dx?(x3?x2cosy?y2)dy?0的通解是_________________. 187、微分方程y??ex?y的通解为 . 188、微分方程xy??y(lny?lnx)的通解为 . 189、方程(x2?1)y??2xy?cosx?0满足初始条件yx?0?2?2?1的特解是
?.
190、微分方程yy''?y'2?0满足初始条件yx?0?1，y'191、方程y\?2y'Y?e?x通解是 . 192、微分方程y???2y??3y?0的通解为193、 微分方程y???2y??y?0的通解为194、微分方程y???2y??5y?0的通解为
x?01的特解为 . 2. . .
195、若方程y???py??qy?0(p,q均为实常数）有特解y1?e?x,y2?e3x，则p等于 ① （2分），q等于②（1分） .
196、微分方程
的特解形式是 .
197、微分方程y???5y??6y?0的通解为 . 198、微分方程y???2y??2y?0的通解为 .
199、设二阶常系数非齐次线性微分方程的三个特解为y1?x,y2?x?sinx,y3?x?cosx,则该微分方程的通解为 .
200.设微分方程y???4y??4y?4xe?2x的特解为y?xk(Ax?B)e?2x，则k? . 14
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填空题答案(每小题2分)
x2(1?y)1、kf(x,y)2、3、{(x,y)x?1?y2y,y?0}4、{(x,y)x2?1,y2?1}5、
{(x,y)y?x,x?0} 7、0?x2?y2?1 8、{(x,y)4x?y2?0,1?x2?y2?0,x2?y2?0} 6、4 9、
0 10、{(x,y)y?x}11、?fx(a,b)12、2fx(a,b)13、2fx?(a,b) 14、2fy?(a,b)15、2x16、317、1 18、0 19、
1?1y20、21、722、023、2?224、exy(x2?xy?1)25、exy(xy?y2?1)26、24yxdx?dy1yxxdx?ydy12y(dx?2dy)31、dx?dy27、28、29、30、dx?dyz22223e?11?xy1?xyx?yx?yx?ydz?dx?2dy32、
?2yxy2?x2dx?dy37、33、() 34、?16xy35、236、22e1?xy1?xy(x?y)38、
39、
42、dz?esinxycosxy(ydx?xdy)43、40、
z(ydx?xdy)44、ze?xy11(y?)dx?(1?2)dyyy41、
?x?yxy?du?dy45、f1?exdx?f2?eydy46、2f(xy)f?(xy)y47、48、(xy?1)x?ln(xy?1)?49、?x?yxy?1???zx?2y?3z?411????50、dz?dx?2dy51、??1,,??52、53、(1,1,2)54、(0,0)55、
x01123??x?2y?3z?4??56、2x?3y?z?6?0 57、6x?3y?2z?18?058、2x?y?4?059、0112x?4y?z?560、3(x?1)?4(y?1)?2(z?2)?061、
62、1163、 64、5 65、
235?u366、567、{2.0}68、369、(8,8,12)70、(0,5,3)71、(2,2,2)72、?1,2?73、?2,0?74、?1?3?l4?1a0dx?f?x,y?dy75、
xx22a?40dx?xf(x,y)dy76、?dy?20x11?1?y22?yf(x,y)dx77、?dx?xf(x,y)dy78、
024x2?x2?dx?f(x,y)dy?00?dx1?0112383、3 84、2 f(x,y)dy 79、 (1?e?4) 80、81、282、
223118a44185、2 86、1 87、?R(2?2)88、89、90、?(e?1)91、k?R292、
34ab21
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??20d??f(rcos?,rsin?)rdr93、
0a94、
??20d??11cos??sin?f(rcos?,rsin?)rdr95、
96、497、
x2?y2?1x?y?1??1?x?ydxdy98、
2??24?x22x2y2x2y2?h?，其中99、c1???hdxdydxdyD:??1?????x2?y2f(x,y,z)dz100、222?????22?2?4?xabab?c??2D????2?0d???d???2f(?cos?,?sin?,z)dz101、
0222?2?0d??sin?d??f(rsin?cos?)r2dr102、
00?11222abc103、8????f(rsin?sin?)r2sin?drd?d?104、a2b2c2105、?R3106、?107、
?sin?3?18434544?R3108、?109、?d?350?0?d??0f?2?z2dz 110、22122x?y?12??12?x?y22dxdy111、
?1 112、32113、2114、2115、2?a2n?1116、(55?1)117、?118、22?119、?120、61213(1?2)121、0122、1/2 πa4123、?124、0125、-1126、3222127、0128、u?xey?y2129、
11x2y2?C131、u?x2?2xy?y2132、x2y133、xy?c134、2?a u?ysinx?xcosy130、u?2221112135、?136、 137、? 138、?3?139、?a5140、041、1142、?1143、?1,?1 144、
2522121 145、1?2 146、147、148、ln2149、2150、151、3 152、e?1153、
399n(n?1)?ln(1?x)x?012??e2?3 154、s(x)??155、2156、ln2157、158、 x1?x2?ln3?1x?0??11?x(?1)nxn?1159、 , ?1?x?1160、1161、n?1162、[4,6)163、?,?1?x?1164、22(1?x)n?1n?0???2(?1)n?1?2nnx2n?1?11??165、 166、 167、168、1169、x??,(?1),?1?x?1x????2222n2n?1??n?1n?0?n??f(x0)?f(x0)?34?22A170、171、?172、173、,1174、?175、
229?22(2k?1)?2
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tan1131y?x?cosx?sin2x?3176、y?xlnx?x177、y?e2 178、y?tanx2?C179、
3924x??33232y?Ce?180、y?C(x?1)181、x2?y2?C182、2x2?y2?2xy?C183、y?5ex?3184、
22x?x2?yex?C185、x?ln2112cy?2186、x2siny?x3y?y3?c187、ex?e?y?C188、
34yy11?Cx?1189、y?2(sinx?1)190、y?x?1191、(x2?c1x?c2)e?x192、x2x?1y?C1e?x?C2e3x.193、y?(C1?C2x)e?x.194、y?ex(C1cos2x?C2sin2x)195、?2,?3196、
Acosx?Bsinx197、
y?C1e2x?C2e3x198、
y?ex(C1cosx?C2sinx)199、
y?C1cosx?C2sinx?x200、2 填空题(每小题2分)
第八章 多元函数微分法及其应用
?y?1、设函数f(x,y)?x2?y2?xyln??，则f(kx,ky)= .
?x?y2、设f(x?y,)?x2?y2，则f(x,y)? . x3、函数z?x?y的定义域为.
4、函数y?1?x2?y2?1的定义域为 . 4x?y25、函数 z? 的定义域是22ln(1?x?y)6、函数z?arcsiny的定义域为x.
.
1的定义域是 .
x2?y27、函数z?arcsin(x2?y2)?ln(1?x2?y2)+8、
(x,y)?(2,0)limsin(x2y)= .
xy?1?19、
sinxy? . (x,y)?(0,0)ylim1的间断点为 . x?yx?010、函数f(x,y)?11、设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在，则lim3
f(a?x,b)?f(a,b)? . x河北大学高等数学2试题库
12、设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在，则limx?0f(a?2x,b)?f(a,b)? . x13、设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在，则 limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)? . x14、设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在，则limx?0f(a,b?y)?f(a,b?y)? . y15、设f(x,y)?x2?(y2?1)tan16、设f(x,y)?2xy?x，求fx?(x,1)? . yx ，则fx?(0,1)? . 22x?y?sin(xy),xy?0,?217、设f(x,y)??y，则fx(0,1)? . ?0,xy?0.??x?y,?2218、设f(x,y)??x?y?0,?x2?y2?0x2?y2?0，则fx?0,0??____________________.
19. 设
20. 曲线
，则
.
在点（2，4，5）处的切线与横轴的正向所成的角度是 .
21、设f(x,y,z)?x2?2y2?3z2?3x?2y?6z，则在(1,1,1)处fx??fy??fz?? . 22、设z?lnx2?y2，则y23、设u??z?z?x? . ?x?y?uxy?，则= .
?xy2x?u?___________. ?y?u?___________. ?x24、设u=exy(x?y),则25、设u=exy(x?y),则
26、设z?lnx2?y2，则dz? . 27.设z=1n（1+xy），则dz? . 28.设函数z?ln?x?y2?，则dz? . 29、设ez?x?y?z，则dz? . 4
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30、z?ln(1?x2?y2)，则dzx?1? . y?231、由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分为 .
32、设函数
?x由方程所确定，则
?z? . ?xy?2z?1?33、设z?esin，则在点?2,?处值为= .
x?x?y????2z34、设z?x?y?4xy,则= .
?x?y4422y?2z35、函数z?arctan的偏导数＝_______________.
x?x?y36、设z?ln(1?xy)，则 dz = . 37、函数z?xy?38、u?arccosx的全微分是_______________________. yy，则u在点(2,3)处的全微分为____________________. x39、若f(x,y)?xy，则
?f?f?________, ? . ?x?y?uy?_______________________. 40、设f(x2y,)?u，则?xx41、设u?f(x,y)，且
?f?f(x,x2)?x,f(x,x2)?1，则(x,x2)=___________________. ?x?y42、设z?esinxy，则dz= . 43、设z=1n（1+xy），则 dz= . 44、u?arcsiny,则u在点(1,0)处的全微分为 . x45、设f(x,y)有连续偏导数，u?f(ex,ey)，则du= . 46、已知z?f2(xy)，其中f为任意可微函数，则47、设lnx2?y2?arctan48、设z?(xy?1)x，则
dyy?，则dxx?z??x.
.
?z= . ?x5
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49、设z(x,y)为由方程2xz?2xyz?ln(xyz)?0确定的函数，则
?z??x.
50、由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z(x,y)在点?1,0?,?1处的全微分 .
t2t351、曲线x?t,y?,z?在点 处的切线与平面x?2y?z?0平行.
2352、曲线x?3t?t3,y?3t3,z?3t?t3在对应于t?1的点处的切线方程是 . 53、曲线x?ecost,y?esint,z?2e相应于点t?0处的切向量T是 . 54、设函数z?f(x,y)由方程x2?2y2?3z2?xy?z?9?0确定，则函数的驻点是 . 55、曲线x?3t?t3,y?3t3,z?3t?t3在对应于t?1的点处的切线方程是 . 56、椭球面2x2?3y2?z2?6在点?1,1,1?处的切平面方程为 . x2y2z2?1在点?1,2,3?处的法线方程为 . 57、求曲面??31227ttt?58、曲面z?ez?2xy?3在点?1,2,0?处的切平面方程为 . 59、曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程是 . 60、曲面3x?2y2?2z?1在M（1，1，2）点处的切平面方程为 . 61、函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处关于l?(cos?,cos?,cos?)的方向导数存在，则
?f? . ?l62、函数u?x2?y2?z2?x?y?z，从点?0,0,0?到 ?1,1,1?的方向导数等于= . 63、函数u?ln(x?y2?z2)在A?1,0,1?处沿A指向点B?3,?2,2?的方向导数
23??u= . ?xA??121?l?,?的方向导数为 . (1,1,2)64、函数u?xy?z?xyz在点P沿方向?,0??222?65、函数u?xyz在点M(1,1,1)处沿l?(2,3,3)的方向导数是 .
??121?l?,?的方向导数为 . (1,1,2)66、函数u?xy?z?xyz在点P沿方向?,0??222?23?67、函数z?ln(x2?y2)在点(1,0)处的梯度为 . 68、给定函数u?xyz和点A(1,2,?1)，B(?1,0,1)，则所给函数在点A沿AB方向的方向
6
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导数为 .
69、数量场f(x,y,z)?(x2?2y?3z)2在(1,2,?1)点处的梯度为 . 70、函数u?xyz?4y?x?2z?3在点M0(1,1,1)的梯度是 71、函数u?x2?y2?z2在点M0(1,1,1)的梯度是 72、函数
. . .
在点P（1，1）处的梯度grad
73、函数z?ln(x2?y2)在（1，0）处的梯度为 . 第九章 重积分
74、
交换积分次序得 .
?0275、交换二次积分的积分次序：
2dy?2f(x,y)dx= .
y
2x?x22y76、改变二次积分的积分次序?dx?1202?x2yf(x,y)dy? .
77、改变二次积分的积分次序?dy?2f(x,y)dx? .
y12?y278、交换积分次序?dy0?f(x,y)dx= .
y2279、积分?dx?e?ydy值等于 .
0x2?6?680、二重积分?dy?0ycosxdx的值等于 . x81、设??d??4?,D?{(x,y)|x2?y2?a2,a?0},则a=__________.
D82、设??d??4?,D?{(x,y)|a2?x2?y2?4a2,a?0},则a=__________.
D83、设D:0?x?1,0?y?4,则??3xdxdy? .
D84、设D:0?x??,0?y??2,则??sinxcosydxdy? .
D85、已知D由y?sinx（0?x?π）及x轴围成，则??dxdy? .
D86、设D是平面区域0?x?1,0?y?2，则二重积分??xydxdy? .
D7
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x2y287、设区域D为 x?y?R，则??(2?2)dxdy= .
abD22288、设D是平面区域0?x?1,0?y?1，则二重积分??(x2?y2)dxdy? .
D89、设D是以a为半径，坐标原点为圆心的圆，则二重积分???xy?dxdy＝______________.
D90、设一个半径为１的圆形薄片的面密度为?(x,y)?ex2?y2，则此薄片的质量为
m????(x,y)d?? .
D91、在区域D:x2?y2?R2上，f(x,y)?k，则??f(x,y)dxdy? .
D92、设f(x,y)是连续函数，二次积分?dx?0aa2?x20f(x,y)dy(其中a?0)在极坐标下的二次
积分为 .
1193、积分?dx?f(x,y)dy化为极坐标系下的累次积分为 ．
0094、设D是由曲线x2?y2?1与直线x?y?1所围成的在第一象限内的部分，f(x,y)为连续函数，当把I???f(x,y)d?写成极坐标下的累次积分时，I? .
D95、设D?(x,y)?x2?y2?1,x?0,y?0，二重积分??1?x2?y2dxdy化成极坐标下的二
D??次积分为 .
96、极限lim1R?0?R2x?y2?R22??(4?x2?y2)dxdy= .
.
97、曲面z?0,x?y?z?1,x2?y2?1所围立体的体积可用二重积分表示为
x2y2z298、椭球2?2?2?1被平面z?h(h?c)分成两部分，其中一小部分的体积可用二重
abc积分表示为.
99、设I????f(x,y,z)dxdydz其中?是由x2?y2?2z,z?0,z?2所围成，则在直角坐标系
?下，I可化为三次积分I=.
100、设I????f(x,y,z)dxdydz，其中?是由x2?y2?2z,z?0,z?2所围成，则在柱面坐
?标系下，I可化为三次积分I=.
8
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101、
x2?y2?z2?1???f(x)dxdydz可用球坐标的三次积分表示为.
102、设?:0?x?a,0?y?b,0?z?c,则???xyzdv? .
?103、积分???f(y)dxdydz在球坐标系下的三次积分为 .（其中，?是由上半球
?面z?1?x2?y2及平面z?0所围成的区域，f(y)在?上连续）
104、已知?:0?x?a,0?y?b,0?z?c，则???xyzdv? .
?105、已知?由球面x2?y2?z2?R2围成，则三重积分???dv? .
?106、已知?由球面x2?y2?z2?1围成，则三重积分???(x2?y2?z2)dv? .
?107、已知?由球面x2?y2?z2?R2围成，则三重积分???dv? .
?108、已知?由球面x2?y2?z2?1围成，则三重积分???(x2?y2?z2)dv? .
?109、设?:z?0,z?3(x2?y2),3(x2?y2)?y将三重积分???fx2?y2?z2dv写成柱
?坐标系下的三重积分，则I= .
x2110、球面x?y?z?2包含在柱面?y2?1内的面积可用二重积分表示为
2222.
111、密度为1的旋转抛物体：（记为?）绕z軸的旋转惯量I= . x2?y2?z?1第十章 曲线积分与曲面积分
112、设L为连接(1,1)及(2,2)两点的直线段，则曲线积分?(x?y)dS? .
L113、设L为连接(0,0)及(1,1)两点的直线段，则曲线积分?(x?y)dS? .
L114、设L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分?(x?y)ds?L.
. .
22115、设L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)，则曲线积分??(x?y)ds?L116、设L是抛物线y?x2上点(0,0)点(1,1)之间的一段弧，则曲线积分??Lyds?117、平面曲线L为下半圆周：对弧长的曲线积分?(x2?y2)ds= . y??1?x2，L118、设平面曲线L为下半圆周y??2?x2，则??x2?y2?ds= .
L9
河北大学高等数学2试题库
119.设L是x2?y2?1的下半圆周，则曲线积分?(x2?y2)ds的值 .
L120、设L以为顶点O(0,0),A(1,0),B(0,1)的三角形围线，则曲线积分?(x2?y2)ds= .
L121、曲线积分?（曲线L为分段光滑的任意闭路，?P(x)dx?Q(y)dy? 。
LP(x),Q(y)为连续函数）.
122、设C为正向圆周，则
.
123、设 L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，则曲线积分?xdy?2ydx的值
L为 .
124.设L：2x2?y2?1，则曲线积分?2xsinydx?x2cosydy? .
L125、设L为以A(1,0),B(0,1),C(-1,0)为顶点的三角形正向边界，则曲线积分
??y?dx??x?dy= ．
Ll为曲线x?a(t?sint)y?a(1?cost)从(0,0)到(?,0)的126、第二类曲线积分?dx?dy，
l一段弧，该积分的值是 .
127、设L取单位圆周的逆时针方向，则对坐标的曲线积分??ydx?xdy? ．
L128、若函数u?u(x,y)的全微分满足du?eydx?(xey?2y)dy,则u =___________. 129、若函数u?u(x,y)的全微分满足du?(2xcosy?y2cosx)dx ?(2ysinx?x2siny)dy ,则u = ___________________.
130、在整个xOy面内，xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分，这个函数是 . 131、在整个xOy面内，(x?2y)dx?(2x?y)dy是某个函数的全微分，这个函数是 .
132、在整个xOy面内，2xydx?x2dy是某个函数的全微分，这个函数是 . 133、xdy?ydx的原函数为___________ . 134、设?是球面x2?y2?z2?a2(z?0)，则???dsx?y?z222= .
135、设?:x2?y2?z2?1,z?0为上半单位球面，则第一类曲面积分
I???(x?y?z)dS? .
?10