第一讲 分式的运算
bcb?c【主要公式】1.同分母加减法则:???a?0?
aaabdbcdabc?da??2.异分母加减法则:???a?0,c?0?;
acacacacbdbdbcbdbd3.分式的乘法与除法:??,????
acacadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a
m
●
an =am+n; am÷ an =am－n
m
n
m
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)= a b, (a)
m
n
= a
mn
7.负指数幂: a
-p
=
1ap a=1
0
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a
2
- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
1x1a?bx2?y2x?y【例1】下列代数式中：,x?y,，是分式的有： ,,?2a?bx?yx?y .
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x有何值时，下列分式有意义
（1）
1x?43x26?x （2）2 （3）2 （4） （5）
1x?4|x|?3x?2x?1x?x题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x取何值时，下列分式的值为0. x?4题型四：考查分式的值为正、负的条件
x?1（1）
x?3（2）
|x|?22 （3）
x2?2x?3x2?5x?6
【例4】（1）当x为何值时，分式
（2）当x为何值时，分式（3）当x为何值时，分式
4为正； 8?x5?x3?(x?1)2为负；
x?2为非负数. x?3111?x1．当x取何值时，下列分式有意义： （1）
1
6|x|?3 （2）
3?x(x?1)2?1 （3）
2．当x为何值时，下列分式的值为零： 5?|x?1|（1）
x?4 （2）
25?x2x2?6x?5
3．解下列不等式
|x|?2（1）?0
x?1（2）
x?5x?2x?32?0
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：2．分式的变号法则：
AA?MA?M ??BB?MB?M?a?aaa????? ?b?b?bb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
12x?y3 （1）211x?y340.2a?0.03b
0.04a?b （2）
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
?a?a?x?y（1） （2）? （3）?
a?b?b?x?y题型三：化简求值题
112x?3xy?2y【例3】已知：??5，求的值.
xyx?2xy?y提示：整体代入，①x?y?3xy，②转化出【例4】已知：x?11?2，求x2?2的值. xx11
?. xy
【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0，求
1的值.
4x?2y练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
0.03x?0.2y
0.08x?0.5y30.4a?b5 （2）11a?b410（1）
x212．已知：x??3，求4的值.
xx?x2?13．已知：
112a?3ab?2b??3，求的值. abb?ab?a2a?b的值.
3a?5b4．若a2?2a?b2?6b?10?0，求5．如果1?x?2，试化简
|x?2|x?1|x|. ??2?x|x?1|x（三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分. （1）（3）
abcba； （2）； ,,2,a?b2b?2a?2ab3ac?5b2c1x2?x1?2x?x2x2?x?2,x,2； （4）a?2,1 2?a题型二：约分
【例2】约分： （1）
?16x2y20xy3x2?x?2n2?m2；（3）；（3）2.
m?nx?x?6题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
a2b3c22bc4（1）()?()?()；
?c?abam?2nn2m（3）； ??n?mm?nn?m
3a33y?x2)?(x2?y2)?()； （2）(x?yy?x
a2（4）?a?1；
a?1112x4x38x7????（5）； 1?x1?x1?x21?x41?x8111（6）； ??(x?1)(x?1)(x?1)(x?3)(x?3)(x?5)1x2?2x?)?() （7）(2x?1x?4x?4x?2x2?4题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值
x2?411[(?1)?(?)]的值； （1）已知：x??1，求分子1?24x2xx?4xy?2yz?3xzxyz（2）已知：??，求2的值；
234x?y2?z28（3）已知：a2?3a?1?0，试求(a2?题型五：求待定字母的值 【例5】若练习：1．计算
2a?5a?12a?3（1）； ??2(a?1)2(a?1)2(a?1)1?3xx2?1?1)(a?)的值. 2aa1MN，试求M,N的值. ?x?1x?1
a2b2?2ab（2）； ?a?bb?a2b2（4）a?b?；
a?b112（6）； ??1?x1?x1?x2a?b?ca?2b?3cb?2c??（3）；
a?b?cb?c?ac?a?b4ab4ab)(a?b?)； （5）(a?b? a?ba?b
（7）
121. ??(x?2)(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)2．先化简后求值
a?1a2?41?2?2（1），其中a满足a2?a?0. a?2a?2a?1a?1x2?y2x?y3x（2）已知x:y?2:3，求()?[(x?y)?()]?2的值.
xyxy3．已知：
5x?4AB，试求A、B的值. ??(x?1)(2x?1)x?12x?1399a?805的值是整数，并求出这个整数值.
a?24．当a为何整数时，代数式
（四）、整数指数幂与科学记数法
题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）(a?2)?3?(bc?1)3
(a?b)?3(a?b)5(a?b)?2
（2）(3x3y2z?1)?2?(5xy?2z3)2
（4）[(x?y)3?(x?y)?2]2?(x?y)?6
（3）[(a?b)4]2
题型二：化简求值题
【例2】已知x?x?1?5，求（1）x2?x?2的值；（2）求x4?x?4的值. 题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：（1）(3?10?3)?(8.2?10?2)2；（2）(4?10?3)2?(2?10?2)3. 练习：
11111．计算：（1）(?)?()?2?|?|?(1?3)0?(?0.25)2007?42008
3553（2）(3mn)?13?2?2?(mn) （3）
?2?3(2ab2)?2?(a2b)2(3a3b2)?(ab3)?2
（4）
[4(x?y)2(x?y)?2]2[2(x?y)(x?y)]?1?2
2．已知x2?5x?1?0，求（1）x?x?1，（2）x2?x?2的值.
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程 （1）
13215?xx?5x?14?；??0；?（2）（3）（4） ?2?1；x?1xx?3xx?34?xx?1x?1提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程 （1）
x4x?4x?7x?9x?10x?6 ??4； （2）???x?1xx?6x?8x?9x?5xx?71（2）裂项法，. ?y；?1?x?1x?6x?6提示：（1）换元法，设【例3】解下列方程组
?111?x?y?2??111????yz3?111????zx4(1)(2) (3)题型三：求待定字母的值
【例4】若关于x的分式方程【例5】若分式方程提示：x?2m有增根，求m的值. ?1?x?3x?32x?a??1的解是正数，求a的取值范围. x?22?a?0且x?2，?a?2且a??4. 3题型四：解含有字母系数的方程
【例6】解关于x的方程 x?ac?(c?d?0) b?xd题型五：列分式方程解应用题
练习：
1．解下列方程： （1）
x?12x??0； x?11?2x
（2）（4）（6）
x4?2?； x?3x?37x2?x?3x?x2?1?7?x2x2?12x3（3）??2；
x?2x?2
（5）（7）
5x?42x?51?? 2x?43x?221111??? x?1x?5x?2x?4xx?9x?1x?8??? x?2x?7x?1x?62．解关于x的方程： （1）
1121a1b??(b?2a)；（2）???(a?b). axbaxbxkx?2?会产生增根，求k的值. x?2x?23．如果解关于x的方程
4．当k为何值时，关于x的方程5．已知关于x的分式方程
x?3k??1的解为非负数. x?2(x?1)(x?2)2a?1?a无解，试求a的值. x?1
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：
13 ?xx?2二、化归法
例2．解方程：
12?2?0 x?1x?1x?81??8 x?77?x三、左边通分法
例3：解方程：
四、分子对等法
例4．解方程：
1a1b???axbx(a?b)
五、观察比较法
例5．解方程：
4x5x?217 ??5x?24x4六、分离常数法
例6．解方程：
x?1x?8x?2x?7 ???x?2x?9x?3x?81111 ???x?2x?5x?3x?4七、分组通分法
例7．解方程：
（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程
x?1m?无解，求m的值。 x?22?xxk2x?2?例2．若关于x的方程不会产生增根，求k的值。 x?1x?1x?11k3例3．若关于x分式方程有增根，求k的值。 ??2x?2x?2x?4例4．若关于x的方程
1x?x1?k?5x?x2?k?1x?12有增根x?1，求k的值。
（二）分式方程的特殊解法
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法
例1．解方程：
13 ?xx?2二、化归法
例2．解方程：
12?2?0 x?1x?1x?81??8 x?77?x三、左边通分法
例3：解方程：
四、分子对等法
例4．解方程：
1a1b???axbx(a?b)
五、观察比较法
例5．解方程：
4x5x?217 ??5x?24x4六、分离常数法
例6．解方程：
x?1x?8x?2x?7 ???x?2x?9x?3x?81111 ???x?2x?5x?3x?4七、分组通分法
例7．解方程：
（三）分式方程求待定字母值的方法
例1．若分式方程
x?1m?无解，求m的值。 x?22?xxk2x?2?例2．若关于x的方程不会产生增根，求k的值。 x?1x?1x?11k3例3．若关于x分式方程有增根，求k的值。 ??2x?2x?2x?4例4．若关于x的方程
1x?x1?k?5x?x2?k?1x?12有增根x?1，求k的值。