4.1习题参考答案
自考2324离散数学课后答案
-------------------------------------------------------------------------------- 1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的 ( )。 a)、 a*b=a-b b) a*b=max(a,b) c)、 a*b=a+2b d) a*b=|a-b|
根据结合律的定义在自然数集N中任取 a,b,c 三数，察看 (a。b)。c=a。(b。c) 是否成立？ 可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈N，则 (a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)
在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
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2、设集合 A={1，2，3，4，...，10},下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的? a) x*y=max(x,y) b) x*y=min(x,y);
c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数； d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数； d)是不封闭的。
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3、设S是非空有限集， 代数系统<(s),∪,∩>中，(s)上，对∪的幺元为___φ___，零元为___S____，(s)上对∩的幺元为___S_____零元___φ____。 --------------------------------------------------------------------------------
4、设p,q,r是实数，*为R上二元运算↓a,b∈R，a*b=pa+qb+r，问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律，是否有单位元和零元？并证明你的结论。
其不满足 交换律 、满足结合律 、不满足幂等律、无零元、无单位元
晓津补充证明如下：
(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。 (2)设a,b,c∈R
则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。 (3)a*a=pa+qa+r≠a 所以运算不满足幂等律。 (4)反证法。设有单位元e,则应有
a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r ,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。 (5)反证法。设有零元O,则应有
a*O=pa+qO+r=O ,O*a=pO+qa+r=O ，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。
-------------------------------------------------------------------------------- 5、设代数系统
(a) * a b c a b c a b c b c a c a b (c) * a b c a b c a b c a b c a b c * a b c * a b c (b) a b c a b c b a c c c c (d) a b c a b c b b c c c b (a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、 c是b的逆元
晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.
(b) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a , 因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.
(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。
(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a.
-------------------------------------------------------------------------------- 6、定义I+上两个二元运算为： a*b=a^b
a△b=a.b , a,b∈I+, 证明*对△是不可分配的。 证明： 设a,b,c∈I+
a*(b△c)=a^(b.c)
(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c) 可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 可知*对△是不可分配的
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7、设Zn={0,1,2,...,n-1},*是Zn上的二元运算，使得a*b=a.b/n 的余数。 构造n=4时，运算*的规则表。
并证明对于任意 n∈N,*在Zn上是可结合的。 解：
Zn={0,1,2,3} * 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 0 2 0 3 2 1
晓津证明如下：
(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈Z1 则有a=0,b=0,c=0
(a*b)*c=(((a.b)Mod n).c )Mod n=0 a*(b*c)=(a.((b.c)Mod n) )Mod n=0
两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当n=k时，*运算是可结合的。 (3)设n=k+1时，有：
(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)
可见两式是完全相同的结果。因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意n∈N,*在Zn上是可结合的。
4.2节习题参考答案
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1、对于正整数k,Nk={0,1,2,.....,k-1},设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb为用k除 a.b所得余数，这里a,b∈Nk。
a)当k=4时，试造出*k的运算表。
b)对于任意正整数k，证明
Zn={0,1,2,3}
* 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1
(1)我们先证明k=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c∈Z1 则有a=0,b=0,c=0
(a*b)*c=(((a.b)Mod k).c )Mod k=0 a*(b*c)=(a.((b.c)Mod k) )Mod k=0
两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当k=k时，*运算是可结合的。
(3)设k=k+1时，有：
(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)
可见两式是完全相同的结果。因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意k∈K,*在Zk上是可结合的。 由此可知其是个半群。
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2、设
证明：二元运算□是可结合的。
根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z) (x□y)□z=(x*a*y)*a*z x□(y□z)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故： (x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) => (x□y)□z=x□(y□z) => 二元运算□是可结合的
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3、设G={0，1，2，3}，为模4乘法，即 x,y∈G, xy=(xy)mod4。问:
构成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。 -------------------------------------------------------------------------------- 4、在R中定义二元运算。 a。b=a+b+ab, a,b∈R 。 证明：
(1)、由运算 。可知，a。b∈R ，可知其在R上具有封闭性。 （2）、对于任意 a,b,c∈R
(a。b)。c=(a+b+ab)。c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a。(b。c)=a。(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。b)。c=a。(b。c) 即 。 在R上是可结合的。
(3) 因为 [0]。[i]=i ,所以[0]是
晓津认为题中所给
5、设V=
晓津证明如下：
反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元. 而因为x是任意的，则当x=a时，有 a*u=v*a=a
即此时u,v分别是a的右、左幺元。因为在一个系统中若同时存在左右幺元，则二者必相等，
因此此时u=v=e。
这与假设矛盾，因此由V是一个半群，又V具有幺元，得知V是独异点。 --------------------------------------------------------------------------------
6、设 V=
根据定义4.1.5可知： OL。x=OL
故x。OL也是一个左零元
晓津不同意见：可结合不等于可交换。在这里应当把(x。OL)看作一个元素，这整个元素是一个左零元。另，题中
因为V是半群，所以运算是封闭的,可结合的。 若有x,y,OL∈S， 则有x。OL∈S
且有(x。OL)。y=x。(OL。y)=x。OL 即x。OL是S中任意y的左零元。
-------------------------------------------------------------------------------- 7、V=
V1=
其中V1,V2,V3 ,V4都是V的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。 -------------------------------------------------------------------------------- 8、证明在一个独异点中，左逆元集合，形成子独异点。 证明如下：设
设在
对任意的a，b∈L,
则必存在x,y∈S,使a*x=e，b*y=e; 则(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e; 故a*b是y*x的左逆元， ∴a*b∈L
∴*在L上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)
即
-------------------------------------------------------------------------------- 9、设