第3讲
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是________． 解析 根据存在性命题的否定为全称命题知． 答案 ?x∈?RQ，x3?Q
2．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，则p∧綈q为________，p∨q为________．(填“真”或“假”)
解析 ∵p为真，∴綈p为假．又∵q为假，∴綈q为真， ∴“p且綈q”为真，“p或q”为真． 答案 真 真 3．命题：?x∈R，sin x＜2的否定是________命题(填“真”、“假”)． 解析 命题的否定是?x∈R，sin x≥2，所以是假命题． 答案 假
4．下列命题中的假命题是________．
①?x∈R，lg x＝0；②?x∈R，tan x＝3；③?x∈R，x3＞0；④?x∈R,2x＞0
π
解析 当x＝1时，lg x＝0，故命题“?x∈R，lg x＝0”是真命题；当x＝3时，tan x＝3，故命题“?x∈R，tan x＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“?x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对?x∈R,2x＞0，故命题“?x∈R,2x＞0”是真命题． 答案 ③
5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧ (綈p2)中，真命题是________．
解析 命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真． 答案 q1，q4
1
6．命题：“?x∈R，ex≤x”的否定是________． 答案 ?x∈R，ex＞x
b
7．若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－a}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真． 答案 綈p，綈q
8．若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
?a＜0，
解析 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知?2
?Δ＝a＋8a≤0，得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0. 答案 [－8,0] 二、解答题
9．分别指出“p∨q”、“p∧q”、“綈p”的真假．
(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有两组对边相等．
(2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的解；q：3是方程x2－4x＋3＝0的解． (3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?. 解 (1)p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假． (2)p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假． (3)p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．
10．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2
?1?
－2cx＋1在?2，＋∞?上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数
??c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1. 即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1.
?1?
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在?2，＋∞?上为增函数，
??1
∴c≤2. 11
即q：0＜c≤2，∵c＞0且c≠1，∴綈q：c＞2且c≠1. 又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假．
2
①当p真， q假时，
???1?1????. c|c＞，且c≠1c|＜c＜1{c|0＜c＜1}∩＝2???2??1?
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩?c|0＜c≤2?＝?.
?
?
综上所述，实数c
???1
的取值范围是?c?2＜c＜1
???
??
?. ??
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是________．
①?α ，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；②?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；
③?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减；
④?a＞0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点．
π
解析 对于①，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于②，当φ＝2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于③，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－1
4m＋3＝x－1＝x，满足条件；对于④，令ln x＝t，?a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件． 答案 ②
2．(2013·衡水二模)已知命题p：“?x∈R，使得x2＋2ax＋1＜0成立”为真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 “?x∈R，x2＋2ax＋1＜0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解，∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．(2014·宿州检测)给出如下四个命题： ①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；
3
③“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x2＋1≤1”； ④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件． 其中不正确的命题的序号是________．
解析 若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“?x∈R，x2＋1≥1”的否定是“?x0∈R，x2＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可得sin A＞sin B，所以④正确． 答案 ①③ 二、解答题
4．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
2
Δ＝m－4＞0，?2
解 若方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则?解得m＞
?m＞0，
2，即命题p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p，q至少有一个为真， 又“p且q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，
因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．
?m＞2，?m≤2，?∴或? ?m≤1或m≥3?1＜m＜3.解得：m≥3或1＜m≤2，
即实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
4