三角形中的边角关系
知识点
一、 边
1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt△） 不等边三角形?? 2、按边对三角形的分类：三角形??腰?底
等腰三角形????等边三角形☆3、三边关系：
（1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角
1、基本概念（ 内角、外角、∠ ）
??锐角三角形斜三角形?? 2、按角对三角形的分类：三角形??钝角三角形
?直角三角形? 3、三角形的内角和
（1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余
（3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线
1、中线
(1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线
（1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线
（1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数
（1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数
基础练习
1、图中有____个三角形；其中以AB为边的三角形有______________；含∠ACB的三角形有______________；在△BOC中，OC的对角是___________；∠OCB的对边是___________.
2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ）
A B C D
3、若三角形的三边长分别为3,4，x-1，则x的取值范围是_________________________
1
4、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是___________________________
5、有3cm,6cm,8cm,9cm长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成_____个三角形 6、已知a,b,c是?ABC的三条边，且?a?b?c??a?b??0，则?ABC是__________三角形
27、已知a,b,c是?ABC的三条边，b，c满足(b?2）+c?3?0，且a为方程x?4?2的解，则△ABC的周长为
____________
8、已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰三角形ABC有__________个 9、下列说法正确的是_____________________
(1) 有两边相等的三角形一定是等腰三角形 （2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 （3）一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 (5) 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
10、若一个三角形的三个内角之比为2:3:4，那么这个三角形是____________三角形 11、作出下列三角形的所有中线、角平分线、高
12、填空：
（1）如图①，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为________. （2）如图②，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为________.
（3）如图③，在△ABC中，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、C、F、E，则______是△ABC中BC边上的高，______是△ABC中AB边上的高，______是△ABC中AC边上的高，CF是△ABC的高，也是△______、△______、△______、△______的高.
图① 图② 图③ 提升练习
专题训练一 三角形的三边关系 13、若a,b,c是?ABC的三边长，请化简a?b?c?b?c?a?c?a?b
14、若△ABC的两边长之比为2:3，三边长都是整数且周长为18cm，求各边的长。
2
c，且a≤b≤c，当b?4，满足条件的三角形共有多少个？其中等腰三角形15、设三角形的三条边长为整数a,b，有多少个？等边三角形有多少个？
专题训练二 三角形的角的关系
第16题 第
1817题 第
题 第19题
16、如上图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=______时，△AOP为直角三角形；当∠A满足_____________时，△AOP为钝角三角形．
17、如右图，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减小x°，∠B增加y°，∠C增加z°，则x,y,z之间的关系是（ ）
A、x?y?z B、x?y?z C、x?z?y D、x?y?z?180°
18、在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=
19、如图，是由三个正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3等于 20、如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是
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专题训练三 三线+周长+面积
第21题 第24题
第25题 第26题
21、如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________
22、在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长分别为多少？
23、已知△ABC的面积是18cm,AD是△ABC的中线，则△ADC的面积是___________
24、如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEC的值为_________ 25、如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为_____________ 26、如图，△ABC的面积为12，D是AB边的中点，E是AC边上一点，且AE=2EC，O是DC与BE的交点，S△DBO=a，S△CEO=b，则a﹣b= ．
第27题 第28题
27、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=_______ 28、在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，CD与BE交于点F，若∠DFE=120°，则∠A=_______
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探究练习
探究一、数三角形的个数
29、 若n为三角形底边的顶点数，则第n个图形中三角形的个数是_________________
探究二、三角形边之间的不等关系的应用
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30、如图1，D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD，E为BD上的任意一点，连接CE
（1）用不等号填空
AB+AC_____________DB+DC
DB+DC_____________EB+EC
图1 图2 图 3 （2）如图2所示，P是三角形内部的任意一点，探索AB+AC与PB+PC的大小
（2）如图3所示，M, N是△ABC内任意两点，试探索AB+AC与BM+MN+NC的大小关系，并写出探索过程。
31、4个村庄A、B、C、D的位置如图所示，现在要建一个供水站H，试问H建在何处，才能使得它到4个村庄的距离之和HA+HB+HC+HD最小，请说明理由。
探究三、两个内角平分线的交点
32、如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O、 （1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=_________________ （2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=________________ （3）若∠A=76°，则∠BOC=____________ （4）若∠BOC=120°，则∠A=______________ （5）你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？
课后练习
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1、如图，以下是三角形的角平分线、中线、高的画法，其中错误的个数有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
2、长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ） A、1种 B、2种 C、3种 D、4种
3、如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．54°
4、如图所示，AD,AE分别是Rt△ABC的高和中线，已知AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10cm，试求： （1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差.
5、等腰三角形的周长是30cm
(1)若底边长为x，腰长为y，求y 和x的函数关系式，并写出自变量的取值范围 （2）若底边长为y，腰长为x，求y 和x的函数关系式，并写出自变量的取值范围
6、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．
（1）如图1，若AD⊥BC于D，∠C=60°、∠B=40°则∠DAE=________；
（2）如图2，若点P是AE上一动点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间的数量关系是_______________________；
（3）如图3，若点P是AE延长线上一点，过点P作PG⊥BC于G，则∠EPG与∠C、∠B之间有何相等关系？画出图并证明你的结论．
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