第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题 【教材分析】
教 学 目 标 知识 技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用. 过程 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化方法 思想. 情感 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. 态度 重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择， 情 走哪条路最近？你的理由是什么？ 境 引 入 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学 教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。 自 主 探 究 知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 探究点一 探索最短路径问题 教师出示问题情境，激发学生活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里学习兴趣和探究欲望. 有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用 合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识: 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)． 问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ 追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正， 展示点评：作法： (1)作点B 关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l 交于点C. 则点C 即为所求． 追问5、 你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？ 教师引导学生通过合作交流完成证明； 学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决： 证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′. ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′， AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′. 在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′. 即 AC ＋BC 最短. 探究点二 选址造桥问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．) 运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B 两点的距离和都大于AC ＋BC，就说明AC ＋证明AC ＋BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)， 师生共总结方法： BC 最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点． 展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可． 教师引导学生自主、合作探寻解题思路，展示； 方法总结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距 解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短． 理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)， ∵线段A′N′是线段AM平移得到的 ∴AA′＝MN′，A′N′＝AM ∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′ ∵MN平行AA′且MN＝AA′