平面向量基础知识复习
必修4 平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.
????举例1 已知A(1,2)，B(4,2)，则把向量?AB按向量a?(?1,3)平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)
?2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；
????3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线
????AB的单位向量是?????）；
|AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
??5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫
??做平行向量，记作：a∥b，
规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
?③平行向量无传递性！（因为有0)；
???????④三点A、B、C共线??AB、 AC共线.
?6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量?记作?a.
??举例2 如下列命题：（1）若|a?|?|b?|，则a?b.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
????????（3）若?AB?DC，则ABCD是平行四边形.
????????（4）若ABCD是平行四边形，则?AB?DC.
??????（5）若a?b，b?c，则a?c.
??????（6）若a（4）（5） //b，b//c则a//c.其中正确的是 . 结果：二、向量的表示方法
????1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；
1
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???2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同
???的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为
??????a?xi?yj?(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a?(x,y)叫做向量a的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
???定理 设e1,e2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，
?????1e1??2e2. 则存在唯一实数对(?1,?2)，使a????（1）定理核心：a（2）从左向右看，是对向量a的分解，且?λe?λe；
1122?表达式唯一；反之，是对向量a的合成.
??????（3）向量的正交分解：当e,e时，就说a?λe?λe为对向量a的正交分
121122解．
????举例3 （1）若a?(1,1)，b?(1,?1)，c?(?1,2)，则c? . 结果：1?3?a?b. 22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B
??????A.e?(0,0)，e?(1,?2) B.e?(?1,2)，e?(5,7) C.e?(3,5)，e?(6,10) ??13??D.e?(2,?3)，e??,?? ?24?12121212??????????????????AD,BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线,且AD?a，BE?b,则BC（3）已知?????4?可用向量a?,b?表示为 . 结果：2a?b. 33????????????????????（4）已知△ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s?的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积
??实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的长度和方向规定如下：
??|?|?|?|a|； （1）模：|?a???（2）方向：当??0时，?a的方向与a的方向相同，当??0时，?a的
????0， 方向与a的方向相反，当??0时，?a?注意：?a?0.
五、平面向量的数量积
????????????1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA?a，OB?b，则把
???AOB??(0????)称为向量a，b的夹角.
2
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???当??0时，a，b同向；当???时，a，b反向；当???时，a，b垂
???2直.
??2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为?，
??????aba?b，我们把数量|a叫做与的数量积（或内积或点积），记作：||b|cos?????即a?b?|a|?|b|cos?.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
???????????????????|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，举例4 （1）则?△ABC中，BACB??_________. 结
果：?9.
??????1???????b??0,??，（2）已知a?????1,1则k? ____. c与d的夹角为，c?a?kb，d?a?b，?，2?2??4结果：1.
??????（3）已知|a|?2，|b|?5，a?b??3，则|a?b|?____. 结果：23. ?????,b是两个非零向量，（4）已知a且|a?|?|b?|?|a??b?|，则a与a?b的夹角为____.
结果：30.
???3.向量b在向量a上的投影：|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0.
??????举例5 已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______. 结果：12. 5???????b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积. 4.a??5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
?????b?a?b?0； （1）a???????2???2??（2）当a、b同向时，a?b?|a|?|b|，特别地，a?a?a?|a|?|a|?a2；
??????a?b?|a|?|b|是a、b同向的充要分条件；
????????????当a、b反向时，a?b??|a|?|b|，a?b??|a|?|b|是a、b反向的充要分条件；
???????b?0，且a、b不同向，a?b?0是?为锐角的必要不当?为锐角时，a充分条件；
??????当?为钝角时，a?b?0，且a、b不反向；a?b?0是?为钝角的必要不充分条件.
???????a?b?????；④a?b?|a||b|. （3）非零向量a，b夹角?的计算公式：cos???|a||b|????举例6 （1）已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______. 结果：???4或??0且??1； 33 3
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????????????????13?FQ?1，若?S?（2）已知△OFQ的面积为S，且OF，则OF，FQ夹角?的22取值范围是_________. 结果：????4,?3???；
??????（3）已知a?(cosx,sinx)，b?(cosy,siny)，且满足|ka?b|?3|a?kb|（其中k?0）.
??????①用k表示a?b；②求a?b的最小值，并求此时a与b的夹角?的大小. 结果：①a??b??k4k?1(k?0)；②最小值为1，??60. 22?六、向量的运算
1.几何运算 （1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
????????????????运算形式：若AB?a，BC?b，则向量AC叫做a与b的和，即??????????????a?b?AB?BC?AC ；
作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
?????????????????????????b?AB?AC?CA，即由减向量的终运算形式：若AB?a，AC?b，则a点指向被减向量的终点.
作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
????????????????????????举例7 （1）化简：①?AB?BC?CD? ；②AB?AD?DC? ；③?????????????????????????(AB?CD)?(AC?BD)? . 结果：①AD；②CB；③0；
??????????????（2）若正方形ABCD的边长为1，?则|a??b??c?|? . AB?a，BC?b，AC?c，结果：22；
?????????????????????OC?OB?OC?2OA，（3）若O是△ABC所在平面内一点，且满足OB则△ABC的
形状为. 结果：直角三角形；
（4）若D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足
?????????????????|AP|PA?BP?CP?0，设??????，则?的值为 . 结果：2； |PD|?????????????（5）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为 . 结果：120.
???(x1,y1)，b?(x2,y2)，则 2.坐标运算：设a????（1）向量的加减法运算：a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).
?????????AP?AB??AC(??R)，举例8 （1）已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若???则当??____
时，点P在第一、三象限的角平分线上. 结果：1； 2? 4
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??????（2）已知A(2,3)，B(1,4)，且1AB?(sinx,cosy)，x,y?(?,)，则x?y? .结222?果：?或?； 62???????F?(3,4)，F?(2,?5)，F?(3,1)，则合力（3）已知作用在点A(1,1)的三个力??????????????F?F?F?F的终点坐标是 . 结果：(9,1).
???(x1,y1)?(?x1,?y1). （2）实数与向量的积：?a????（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
?????????1????举例9 设A(2,3)，B(?1,5)，且???AC?AB，AD?3AB，则C,D的坐标分别是3123123__________. 结果：(1,11),(?7,9). 3??（4）平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2.
???举例10 已知向量a?(sinx,cosx)，b?(sinx,sinx)，c?(?1,0).
??（1）若x??，求向量a、c的夹角； 3????1f(x)??a?b的最大值为，（2）若x?[?38函数求?的值.结果：（1）,]，150；42?（2）1或?22?1.
??2?22?（5）向量的模：a?|a|?x?y2?|a|?x2?y2. 举例11 已知a?,b?均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a??3b?|?＝ . 结果：13. （6）两点间的距离：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2. y 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy中，?xOy?60，平面上任一点P关
于斜坐标系
?????????xe?ye，其中e,e分别为与x轴、y轴同的斜坐标是这样定义的：若OP60 x O 方向的单
位向量，则P点斜坐标为(x,y).
（1）若点P的斜坐标为(2,?2)，求P到O的距离|PO|；
（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程. 结果：（1）2；（2）x?y?xy?1?0. 七、向量的运算律
???????????b?b?a，?(?a)?(??)a，a?b?b?a； 1.交换律：a??????????????????2.结合律：a?b?c?(a?b)?c，a?b?c?a?(b?c)，(?a)b??(a?b)?a?(?b)；
????????????????a??a，?(a?b)??a??b，(a?b)?c?a?c?b?c. 3.分配律：(???)a举例13 给出下列命题：① a??(b??c?)?a??b??a??c?；② a??(b??c?)?(a??b?)?c?；③
??????(a?b)?|a|?2|a||b|?|b|；
?1212?22222 5
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④ 若⑧(a??b?)2??a?b?0，则
22??a?0或
2??b?0；⑤若????a?b?c?b则
??a?c；⑥
??|a|2?a2；⑦
???a?bb???a2a；
；⑨(a??b?)?a??2a??b??b?.
其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a??(b??c?)?(a??b?)?c?，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件
??????2??2a//b?a?b?(a?b)?(|a||b|)?x1y2?y1x2?0.
????举例14 (1)若向量a?(x,1)，b?(4,x)，当x?_____时，a与b共线且方向相同. 结果：2.
??????????b?(4,x)，（2）已知a且u则x? . 结//v，?(1,1)，u?a?2b，v?2a?b，
果：4.
?????????PA?(k,12)，PB?(4,5)，PC?(10,k)，则k? _____时，A,B,C共线. 结（3）设???果：?2或11.
九、向量垂直的充要条件
????????a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.
???a2?b2?????????????????ABAC??ABAC???????????????????????. 特别地??|AB||AC|??|AB||AC|???????????????????3?(?1,2)，OB?(3,m)，举例15 (1)已知OA若，则m? .结果： m?；OAOB?2（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，?B?90?，则点
）； B的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1）
??????（3）已知n且|n则m?的坐标是 .结果：(b,?a)或?(a,b)向量n?m，||?|m，(?b,a).
十、线段的定比分点
1.定义：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实
?????????????数? ，使PP，则实数叫做点分有向线段??PPPPP?1212所成的比?，P点叫
?????做有向线段P1P2的以定比为?的定比分点.
2.?的符号与分点P的位置之间的关系
?????（1）P内分线段P1P2，即点P在线段P1P2上???0；
?????（2）P外分线段P1P2时，①点P在线段P1P2的延长线上????1，②点P在线段P1P2的反向延长线上??1???0.
??????PP所成的比为?，则点P分有向线段PP所成的注：若点P分有向线段????1221 6
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1比为?.
???????举例16 若点P分?AB所成的比为3，则A分BP所成的比为 . 4结果：?7. 33.线段的定比分点坐标公式：
?????设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，点P(x,y)分有向线段P1P2所成的比为?，则定比分
?x???点坐标公式为??y???x1??x2,1??(???1). y1??y2.1??x1?x2?x?,??2特别地，当??1时，就得到线段P1P2的中点坐标公式?
y?y2?y?1.??21122说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.
（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比?.
??????1????举例17 （1）若M且P，则点P的坐标为 . ),2(3??，N(6,?1)，M?NM?3结果：(?6,?7)； 3??????????（2）已知A(a,0)，B(3,2?a)，直线y?1ax与线段AB交于M，且AM?2MB，则2 . 结果：２或?4. 十一、平移公式
?x??x?(h,k)平移至P(x?,y?)，如果点P(x,y)按向量a则???a??h,k.?y??y?；曲线f(x,y)?0按
??(h,k)平移得曲线f(x?h,y?k)?0. 向量a说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
??举例18 （1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平移到点______. 结果：(?8,3)；
?（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是
??y?cos2x?1，则a?________. 结果：(?,1). 4十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
??????|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. 2.模的性质：|a
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????????? b同向或a、 b中有0?|a?b|?|a|?|b|； （1）右边等号成立条件：a、????????? b反向或a、 b中有0?|a?b|?|a|?|b|； （2）左边等号成立条件：a、????????、 b不共线?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|. （3）当a3.三角形重心公式 在△ABC中，若
G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 33A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则其重心的坐标为
举例19 若△ABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(?3,4)、C(?1,?1)，则△ABC的重
4?,?. 心的坐标为 .结果：????233?5.三角形“三心”的向量表示
（1）PG?1(PA?PB?PC)?G为△ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?G3?????????????????????????????为△ABC的重心.
（2）PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为△ABC的垂心. ???????????????????????????（3）|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为△ABC的内心；向量
?????????????????????????????????ABAC?????????????(??0)所在直线过△ABC的内心. ???|AB||AC|????????6.点P分有向线段P1P2所成的比?向量形式
设点P分有向线段P1P2所成的比为?，若M为平面内的任一点，则
????????????????????????MP??MP?????????MP?MP122MP?，特别地P为有向线段P1P2的中点?MP?1.
1??2????????????7. 向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线?存在实数?,?，使得????????????且PA??P?B?PC????1．
?????举例20 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(?1,3)，??????????????OA??OB,其中?,??R且????1,则点C的轨迹是 . 结若点C满足OC果：直线AB.
121212
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