概率论与数理统计教案
定理：如果二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)，边缘概率密度分别为fX(x)和fY(y)，则随机变量X与Y相互独立的充要条件是，对一切x，y均有
f(x，y)?fX(x)?fY(y)
(iii)离散型随机变量独立性的判别方法：
例4：如果二维随机变量(X，Y)的概率分布由下表给出，那么当?，?取什么值时，X与Y才能相互独立？
Y)联合分布列计算X和Y的边缘分布，并列于表中 解：由(X， Y X 1 2 pj ?1 2 3 pi ?1 61 91 181 31???? 3 1 31 2? 1?? 9 ? 1?? 18若X与Y相互独立， 则对于所有的i、j，都有pij?pi?pj，因此：
??p?X?1，Y?2??p?X?1??p?Y?2??p?X?1，Y?3??p?X?1??p?Y?3??1?1?1?????? （1） 3?9?91?1?1?????= （2） 3?18?1821 由（1）、（2）两式联立可解出：??，??.
99(iv)连续型随机变量独立性的判别方法：
例5：试判断例2中随机变量X、Y是否相互独立？
解：已知联合密度为
?8xy，0?x?y?1 f(x，y)??
0，其它?X和Y的边缘密度分别为
?4x(1?x)2，0?x?1?4y3，0?y?1 fX(x)?? fY(y)??
0，其它0，其它??
45
概率论与数理统计教案
?11??1?9?1?1?11?任取一点?,?，有 fX???， fY???， f?,??1
?42??4?16?2?2?42??11??1??1?f?,??fX???fY??
?4??2??42?即随机变量X、Y不相互独立.
（3）举例说明边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘分布。(以二维离散型随机变量为例)（5分） 举例说明边缘分布不能决定联合分布：
例：上节例1中，将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X与Y的联合概率分布，边缘分布.
解：将边缘分布与联合分布列于下表 Y X 0 1 2 0 1 2 pi ?1 92 91 94 92 92 90 1 90 0 4 94 91 9 p ?j4 91 9从此例可知边缘分布不能决定联合分布，即不同的联合分布可具有相同的边缘分布。
（4）由边缘分布给出二维随机变量中某个随机变量的数学期望和方差，进而给出二维随机变量函数的数学期望的定理，并由定理给出个别情形。（举例 例1、例2）（20分）
(i)二维随机变量中某个随机变量的数学期望和方差： 二维离散型随机变量中某个随机变量的数学期望和方差： EX ??x?p(X?x)，DX??(xiii?1i?1??i?EX)2?p(X?xi)
二维连续型随机变量中某个随机变量的数学期望和方差：
46
概率论与数理统计教案
EX??????fX(x)dx，DX??????(x?EX)2fX(x)dx
(ii)二维随机变量函数的数学期望的定理：
Y)为二维随机变量，g(x ,y)为二元连续实函数，令定理：设(X ，Z?g(X ，Y) Y)是二维离散型随机变量，其概率分布为 (1)若(X ， p?X?xi ，Y?yj??pij i，j?1 ，2 ，?
则当??g(xi,yj)pij绝对收敛时，Eg(X，Y)存在，且
i?1j?1???? EZ?Eg(X，Y)???g(x,yii?1j?1j)pij
(2)若(X ，Y)是二维连续型随机变量，其密度函数为f(x ,y)，则当广义积分
??????????g(x，y)f(x,y)dxdy绝对收敛时，Eg(X，Y)存在，且 Y)?? EZ?Eg(X，?????????g(x，y)f(x，y)dxdy
举例说明：
例1：设二维随机变量(X ，Y)的概率分布为
Y X 1 3 pj ?0 1 2 3 0 3/8 3/8 0 1/8 0 0 1/8 1/8 3/8 3/8 1/8 pi? 6/8 2/8 1 求 EX 、EXY和DX.
解：对于离散型分布，可先求出X的边缘分布，如表中所示，则
2623 EX ??xi?p(X?xi)?1? ?3??
882i?133EXY ???xi?yi?p(X?xi,Y?yj)?1?0?0?1?1? ?1?2?88i?1j?1?1?3?0?3?0?
24119?3?1?0?3?2?0?3?3??88447
概率论与数理统计教案
336323DX?E(X?EX)??(xi?)2?p(X?xi)?(1?)2??(3?)2??
228284i?122例2：设随机变量X、Y均为标准正态分布且相互独立，试求
E(X2?Y2) .
解：已知X、Y的分布密度分别为 fX(x)?12?e?x22(???x???)，fY(y)?12?1e?y22(???y???)
由相互独立性得X、Y的联合密度函数为
1?2(x2?y2) f(x,y)?fX(x)?fY(y)?e2?则
E(X?Y)?22?????dx?2?0????x?y?f(x,y)dy???0?r2222?????dx?????1?2(x2?y2)x?y?edy2?2211 ?2??d??r2edr?2? 2（5）练习P897（5分）
第十二次课
教学内容：教材79-85页，主要内容：多个随机变量的数学期望和方差的性质、协方差和相关系数、矩、协方差阵和相关系数矩阵。概率论部分内容小结。 教学目的： （1）理解多维随机变量数字特征的性质，掌握随机变量数字特征性质和简单应用。
（2）了解协方差和相关系数的定义、意义、性质和计算方法。
（3）了解矩的定义，了解协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算方法。 （4）了解概率论整体内容。 教学的过程和要求：
（1）二维（多维）随机变量数字特征的性质，书中例3，由两个随机变量和或差的方差的性质引入协方差的概念，说明协方差的意义。（30分） (i)二维随机变量数学期望与方差的运算性质：
1）设X和Y为任意两个随机变量，且EX、EY都存在，则有
E(X?Y)?EX?EY
48
概率论与数理统计教案
2）设X和Y是两个相互独立的随机变量，且EX、EY都存在，则有
EXY?EX?EY
3）如果X与Y是两个相互独立的随机变量，则有
D(X?Y)?DX?DY (ii)二维随机变量数学期望与方差性质的应用：
例3：利用期望和方差的性质，求二项分布随机变量X的期望和方差.
解：X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，可以把X看作是n个相互独立的、具有相同0-1分布的随机变量Xi之和，即
X?X1?X2?????Xn??Xi
i?1nXi的概率分布为
p(Xi?1)?p ，p{Xi?0}?1?p, (0?p?1)i?1，2，?，n 而 EXi?p,DXi?pq ( q?1?p) i?1,2,?,n 则 EX?E(?Xi)??EXi?np
i?1i?1nnn
DX?D(X1?X2?????Xn)??DXi?npq
i?1(iii)协方差的定义：
Y)是二维随机变量，设EX和EY都存在，如果定义： (X，E?(X?EX)(Y?EY)?存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记作cov(X ，Y)，即
cov(X ，Y)?E?(X?EX)(Y?EY)?
(iv)协方差的性质及推论：
1）cov(X ，Y)?cov(Y ，X)；
bY)?abcov(X ，Y) ，其中 a ，b为任意常数； 2）cov(aX ，3）cov(C ，X)?0 ，其中C为任意常数； Y)?cov(X1，Y)?cov(X2，Y)； 4）cov(X1?X2，（X ，Y）?0. 5）如果X与Y相互独立，则cov推论：设X和Y为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则X?Y的方差也存在，且
Y) D(X?Y)?DX?DY?2cov(X ，（2）由协方差引入相关系数，介绍相关系数的重要含义。习题P8911（15分）
49
《概率论与数理统计》
教 案
东北农业大学信息与计算科学系
概率论与数理统计教案
第一次课（2 学时）
教学内容：教材1-6页，主要内容有引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。 教学目的：
（1）了解概率论这门学科的研究对象，主要任务和应用领域；
（2）深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念；掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
（3）深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义；掌握事件之间的各种运算，熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件；
（4）掌握事件之间的运算规律，理解对偶律的意义。 教学的过程和要求：
（1）概率论的研究对象及主要任务（10分钟）
举例说明概率论的研究对象和任务，与高等数学和其它数学学科的不同之处，简单介绍概率论发展的历史和应用； (i)概率论的研究对象：
确定性现象或必然现象：在相同的条件下，每次观察（试验）得到的结果是完全相同的现象。
例：向空中抛掷一物体，此物体上升到一定高度后必然下落； 例：在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象：在相同的条件下，每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例：在相同的条件下抛一枚均匀的硬币，其结果可能是正面（分值面）向上，也可能是反面向上，重复投掷，每次的结果在出现之前都不能确定； 例：从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。 (ii)概率论的研究任务：
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史：
概率论起源于赌博问题。大约在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡(B?Pascal)、费马（fermat）及荷兰数学家惠更斯(C?Hugeness)用排列组合的方法，研究了赌博中一些较复杂的问题。随着18、19世纪科学的迅速发展，起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域，同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善，形成了严格的数学体系。
(iv)概率论发展的应用：
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概率论与数理统计教案
概率论的理论和方法应用十分广泛，几乎遍及所有的科学领域以及工、农业生产和国民经济各部门. 如应用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报和市场预测、股市分析等；在工业中，可用概率统计方法进行产品寿命估计和可靠性分析等。 （2）随机事件与样本空间；（25分钟）（重点）
重点讲清随机试验的目的、随机试验要求具备的条件、概率论中随机试验可以是主动做试验，也可能是被动观察某一随机现象；
讲清楚随机试验的基本事件、样本空间的定义，对于每个概念要举例说明，可用书中例1、例2、例3、例4或其它，例子中应该包括有限的、无限可数，连续的等类型。应该使学生了解样本空间可以是有限的也可以是无限的，可以是离散的也可以是连续的。
随机事件的概念，基本事件与一般随机事件关系、区别，在上述例子中继续给出事件的例子。
着重说明事件发生和不发生的含义，引进必然事件和不可能事件的意义。
(i)随机试验的目的：
要研究随机现象的规律需要进行大量的观察和试验。 (ii)随机试验要求具备的条件：
试验可以在相同的条件下重复进行；
试验所有可能的结果是明确知道的，并且不止一个；
每次试验必然出现这些可能结果中的一个，但试验前不能预知出现哪一个结果；
这样的试验称为随机试验，简称试验，用字母E表示. 例：掷一枚均匀硬币观察正面和反面出现的情况； 例：某日电话总机所接到的呼叫次数；
例：在一批灯泡中任意抽取一个，测试其寿命等等都是随机试验。 (iii)基本概念：
基本事件（样本点）：每一个可能的基本结果（不可分解）称为E的基本事件，通常用?表示.
基本事件空间（样本空间）：E的所有基本事件组成的集合称为E的基本事件空间，常用??{?}表示。
例1 （1）抛一枚均匀的硬币，其可能出现的结果只有两种：正面、反面. 若令?1=正面，?2=反面，则 ?1,?2为该随机试验的两个基本事件，????1，?2?为样本空间.
（2） 投掷一颗骰子，观察出现的点数. 其可能出现的点数为：1、2、3、4、5、6，若令?i=i，i=1，2，3，4，5，6，则?i为随机试验的基本
2
概率论与数理统计教案
事件，样本空间??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}?{1，2，3，4，5，6}.
（3） 观察单位时间内到达某公交车站候车的人数，令?i=单位时间1，2，?，则基本事件为?i，样本空间内有i人到达车站候车，i?0，??{?0,?1,?2,?}?{0,1,2,?}.
（4） 从一批灯泡中任取一只，以小时为单位，测试这只灯泡的寿命，令t表示灯泡的寿命，则大于等于零的任意一个实数都是该试验的一个样本点，???tt?0?.
随机事件：在随机试验中可能发生、也可能不发生的事情称为随机事件，通常用大写字母A、B、C等表示.
例：投掷一颗骰子出现的点数为偶数可以用事件A表示，A={出现的点数为偶数}={2，4，6}，而B={出现的点数大于4}={5，6}、C={出现的点数为2}等等都是随机试验的事件.
事件发生：若一次试验结果出现了事件A中的样本点，即当试验结果为?1且?1?A时，则称事件A发生，否则称A不发生.
必然事件：称?为必然事件.
不可能事件：不包含任何基本事件的事件称为不可能事件，记作?. （3）事件之间的运算关系；（30分钟）重点
对于每一种关系应该举例、画维恩图说明其含义，积事件和和事件要着重说明并推广到多个事件，说明对立事件与互斥事件的相同点与不同点及其应用，差事件的意义及几种表示方法及运算关系； 事件之间的运算关系：
1）事件的包含关系：设在同一个试验E中有两个事件A与B，若A发生必然导致B发生（即A中任意一个基本事件都在B中），则称事件B包含事件A，记作B?A（或A?B）.
例：如投掷一颗骰子的试验，A={出现4点}，B={出现偶数点}，则A发生必导致B发生，故A?B。
2）事件相等：若A?B且B?A，则称事件A?B.
例：如掷骰子试验中，记A={掷出3点或6点}，B={掷出3的倍数点}，这两个事件所包含样本点相同，因而A?B。
3）和事件：称事件A和B至少有一个发生所构成的事件为A与B的和事件，记作A?B.
例：如掷一颗骰子观察所得的点数，设A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A?B={1，2，3，5}。
例2：测试灯泡寿命的试验中，令B??tt?1000?（寿命不超过1000小
3
概率论与数理统计教案
时），A??tt?500?（寿命不超过500小时），则A?B?B??tt?1000? （寿命不超过1000小时）。
4）积事件：称事件A与B同时发生所构成的事件为A与B的积事件，记作A?B或AB.
例：如在掷骰子的试验中A?{2,4,6},B?{3,4,5}，则AB={4}，即只有随机试验出现4点时，A与B同时发生。
5）互斥事件：若事件A、B不能同时发生，即AB??，则称事件A与B是互斥事件或互不相容事件。
例3：掷一颗骰子，令A={出现奇数点}，B={出现4点}，则有AB??，1，3，4，5?。 即A与B互斥，A?B?A?B??6）互逆事件：若事件A与事件B在一次试验中必有且只有一个发生，则称事件A与B为互逆事件或对立事件。
例4：掷一颗骰子，令C={出现偶数点}，则AC??，且A?C??1，2，3，4，5，6???，所以C?A，即C与A是互逆事件；但
3，4，5}??，所以A、B不是互逆事件. 由于AB??，而A?B?{1，7）差事件：称事件A发生而B不发生所构成的事件为A与B的差事件，记作A?B.
6?，例5：掷骰子试验中，令C={2，4，6}， D={1，2，3}，则 C?D?CD??4，D?C?DC?{1，3}.
（4）事件之间的运算规律（5分钟）
事件之间的交换律、结合律、分配律只需简单说明，举例说明对偶律的意义和应用。
事件之间的运算律：
1）交换律：A?B?B?A，AB?BA
（A?B）?C?A?(B?C)；(AB)C?A(BC) 2）结合律：
（A?B）C?AC?BC；(AB)?C?(A?C)(B?C) 3）分配律：
4）德摩根定律（对偶律）：A?B?A?B,A?B?A?B（可以推广到任意多个事件的情形）。
（5）以例6和例7为主。学生练习P28A1,2（10分钟）
例6：设A、B、C是样本空间?中的三个随机事件，试用A、B、C的运
算表达式表示下列随机事件.
（1）A与B发生但C不发生；
（2）事件A、B、C中至少有一个发生；
4
概率论与数理统计教案
2）??????????f(x，y)dxdy?1；
?2F(x，y)?f(x，y)； 3）若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有
?x?y4）设D是xoy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为
p?(X，Y)?D????f(x，y)d?
D(iii)二维连续型随机变量的计算：
例2：设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
?Cxy，0?x?1，0?y?1f(x，y)??
0，其它?求：（1） 常数C，（2）p{X?Y?1}，（3）p{X?Y}.
图3-3 (a) 图3-3 (b)
解：由二维随机变量密度函数的性质，有 （1）??????????f(x,y)dxdy??dx?Cxydy?00101?x011C?1 C?4 41 63 4（2）如图3-3（a）所示：
p{X?Y?1}??dx?4xydy?（3）如图3-3（b）所示；
p(X?Y)??dx?4xydy?001x补充例题：
设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
?2xy?x?,f(x,y)??3?0,?
0?x?1,0?y?2，
其它40
概率论与数理统计教案
求：p(X?Y?1)。（30分）
（5）对比一维均匀分布来给出二维均匀分布的密度函数，举例3说明其应用；直接给出二维正态分布的密度函数，对比一维正态分密度函数的参数说明其中参数的意义。（15分） (i)二维均匀分布：
定义：（二维均匀分布）设G是平面上有界可求面积的区域，其面积为G，若二维
随机变量(X,Y)具有密度函数
?1?G,f(x,y)???0,?(x,y)?G(x,y)?G
则称(X,Y)服从区域G上的二维均匀分布.
(ii)二维均匀分布的应用：
例3：设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域G上的均匀分布，G?{(x,y)2000?x?4000,3000?y?6000试求两种产品}，需求量的差不超过1000吨的概率.
解：设甲、乙两产品的需求量分别是X和Y ，则(X，Y)的联合密度为
?1,(x,y)?G? f(x,y)??6?106?0,(x,y)?G?所求概率为(X，Y)落入如图3-4阴影处的概率 图3-4 p{Y?X?1000}?p{?1000?Y?X?1000}??40002000dx?x?1000300011 dy?636?10第十一次课
教学内容：教材73-79页，主要内容：二维随机变量的边缘分布、二维随机变量的独立性、二维随机变量的数字特征。 教学目的：
（1）理解二维离散型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算； （2）理解二维连续型随机变量边缘分布的意义，掌握其边缘分布的计算；
41
概率论与数理统计教案
（3）理解离散型和连续型随机变量独立性的意义，掌握离散型和连续型随机变量独立性的方法。
（4）理解本节有关二维随机变量数字特征的定理，掌握均值的计算方法。 教学的过程和要求：
（1）首先说明研究边缘分布的意义，由一维随机变量的分布函数引入边缘分布的分布函数。就离散型随机变量给出其边缘分布列的表示方法和求解方法并举例1；就连续型随机变量给出边缘密度和边缘分布函数及求解方法并举例2；（30分） (i)边缘分布的意义：
二维随机变量(X，Y)作为一个整体，有它的概率分布，无论是离散型还是连续型，都可以用分布函数F(x，y)来刻画. 而分量X和Y也都是随机变量，也有其各自的概率分布. 记X和Y的分布函数为FX(x)和FY(y)，分别称为二维随机变量(X，Y)关于X和关于Y的边缘分布函数. (ii)边缘分布的分布函数：
边缘分布函数可以由(X，Y)的联合分布函数F(x，y)来确定：
??) FX(x)?p?X?x??p?X?x，Y?????F(x，同理 FY(y)?F(??，y)
(iii)离散型随机变量的边缘分布列的表示方法：
定义：对于二维离散型随机变量(X，Y)，设其概率分布为 ，2，?. p?X?xi，Y?yj??pij，i，j?1则X的边缘分布为：
p?X?xi??p?X?xi，Y??????p{X?xi,Y?yj}??pij?pij?1j?1????i?1，2，?.(iv)离散型随机变量的边缘分布列的计算：
例1：根据上节例1 (X,Y)的联合分布列，求其边缘分布.
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概率论与数理统计教案
解：X的边缘分布为
p(X?0)?p(X?0,Y?0)?p(X?0,Y?1)?p(X?0,Y?2)?同理 p(X?1)?1214???999922411??0? ； p(X?2)??0?0? 99999Y的边缘分布为
p(Y?0)?p(X?0,Y?0)?p(X?1,Y?0)?p(X?2,Y?0)?同理 p(Y?1)?1214???999922411??0? ；p(Y?2)??0?0? 99999将边缘分布与联合分布列于下表
Y X 0 1 2 0 1 2 pi ?1 92 91 94 9?2 92 90 1 90 0 4 94 91 9 p ?j4 9?1 9从例中可以看到，边缘分布pi和pj分别是联合分布列中第i行和第j列各元素之和.
(v)二维连续型随机变量的边缘分布定义：
设(X，Y)为连续型随机变量，它的概率密度函数为f(x,y)，则X的
x??边缘分布函数为 FX(x)?F(x，??)???f(x，y)dy?dx ?????????其密度函数为 fX(x)??????f(x，y)dy
y??同理，Y的边缘分布函数为FY(y)?F(??,y)????f(x，y)dx?dy
????????其密度函数为 fY(y)??????f(x，y)dx
通常分别称fX(x)和fY(y)为二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘密度
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概率论与数理统计教案
函数.
(vi)二维连续型随机变量的边缘分布计算： 例2：设随机变量(X，Y)的密度函数为
?8xy，0?x?y?1 f(x，y)??
0，其它?试求X和Y的边缘密度.
解：如图3-6所示，(X，Y)联合密度在阴影处不为零.
X的边缘密度函数 fX(x)????f(x，y)dy
当0?x?1时，fX(x)??8xydy?4x(1?x2)
x1??当x?0或x?1时，fX(x)?0
?4x(1?x)2，0?x?1即 fX(x)??
0，其它?同理，当0?y?1时，fY(y)??8xydx?4y3；
0y当y?0或y?1时，fY(y)?0
?4y3，0?y?1即 fY(y)?? 图3-6
0，其它?（2）一般由事件的独立性的定义引出随机变量独立性的定义，给出连续型随机变量独立的等价性定理（可不进行证明），举例5说明连续型随机变量独立性的判别方法，举例4说明离散型随机变量独立性的判别方法。（30） (i)随机变量独立性的定义：
定义：设X、Y是两个随机变量，如果对于任意的实数x和y，事件
?X?x?与?Y?y?相互独立，即p?X?x，Y?y??p?X?x??p?Y?y?，也就
是F(x，y)?FX(x)?FY(y)，则称随机变量X与Y是相互独立的. (ii)连续型随机变量独立的等价性定理：
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概率论与数理统计教案
则称X服从参数为p(p?0)的两点分布.（也称0-1分布）。
(q?1?p) 数学期望EX?p，方差DX?p(1?p)?pq3．二项分布：
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为0，1，?，n，且相应的概率为
kkkp{X?k}?Cnp(1?p)n?k?Cnpkqn?k (q?1?p)，k?0，1，?，n.
称X服从参数为n、p的二项分布，记作X~B(n,p).
(q?1?p) 数学期望EX?np，方差DX?npq两点分布、二项分布的关系及应用：
例1：假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他投篮一次命中的次数，求X的概率分布.
解：投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数X只可能取0、1两个值，且概率分别为 p{X?0}?1?p{X?1}?1?0.8?0.2
p{X?1}=0.8 ，
也可表示为
X 0 1 p 0.2 0.8 例2：甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？
解：每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为甲赢的盘数，则X~B(10,0.6)，即
kp(X?k)?C100.6k0.410?kk?0,1,?,10
按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
k(0.6)k(0.4)10?k?0.6331 p{甲获胜} =p{X?6}??C10k?610若乙获胜， 则甲赢棋的盘数X?4，即 p{乙获胜}?p{X?4}??Ck?04k10(0.6)k(0.4)10?k?0.1662.
事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相
5(0.6)5(0.4)5?0.2007. 当的可能. 容易算出：p{不分胜负}?p{X?5}?C10由于 EX?np?10?0.6?6 甲平均赢得的盘数为6盘 .
30
概率论与数理统计教案
例3：某厂需从外地购买12只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？
解：设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则X~B(n,0.9)，按题意，要求事件“X?12”的概率不小于0.99，即
p{X?12}?k?12?Cnkn(0.9)k(0.1)n?k?0.99
可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只. 补充例题：
某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用.
解: 每个时刻构成一n=4的贝努里试验, 且p=15/60=0.25, 因此, 设X为每个时刻要用秤的售货员数, 则X~B(4, 0.25), 当X>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
3P(X?2)?C4?0.253?0.75?0.254?0.0508
因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.（32分） （3）练习P6520对超几何分布进行说明。其与二项分布的关系。（10分） 4．超几何分布：
假设100个产品中有10个次品，从中任取5个产品，求其中次品数X的分布列.
（4）说明泊松分布的分布列、性质及数字特征和分布列中参数的意义，了解泊松分布表的应用；（例4、例5）（25分） 5．泊松分布：
若一个随机变量X的概率分布为
k!其中??0为参数，则称X服从参数为?的泊松分布，记作X~p(?)。
数学期望EX??，方差DX??。 泊松分布的应用： 例4：某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用??10的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底应存有多少件该种商品？（假设只在月底进货）.
解：设该商店每月的销售量为X，据题意X~p(10). 设月底存货为a
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p{X?k}??ke??，k = 0，1，2，?
概率论与数理统计教案
件，则当X?a时就不会脱销. 即求a使得
a10k?10e?0.95 p{X?a}??k!k?01510k?1010k?10e?0.9166?0.95，?e?0.9513?0.95，查泊松分布表可得?k?0k!k?0k!14于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就能以95%以上的把握保
证下月该商品不会脱销.
（5）泊松定理的应用条件和应用方法并举例。（例5、例6）（10分） (i)泊松定理：
定理：设随机变量序列Xn服从二项分布B(n,pn)（这里概率pn与n有关），若pn满足limnpn???0（?为常数），则有：
n???n???limp{X?k}?limn???kCnp(1?p)kn?k??kk!e?? (k?0,1,2,?)
(ii)泊松定理的应用：
在实际应用中，当n比较大，p较小，而np不太大时，可直接利用以下近似公式：Cp(1?p)knkn?k??kk!e??， 其中 ??np
(iii)泊松定理的计算： 例5：在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多少？
解：该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是生日为元旦的人数X~B(500,1，则该团体中3651)，恰有5个人的生日是元旦的概率为 365151500?5 )(1?)3653655p{X?5}?C500(500满足泊松定理条件，可以用??1.3699?1.3699?0，
365的泊松分布来近似计算： 其中n?500，np?(1.3669)5?1.3669p{X?5}?e?0.01
5!例6：为保证设备正常工作，需要配备一些维修工. 若设备是否发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01. （每台设备发生故障可由1人排除）. 试求： （1）若一名维修工负责维修20台设备，求设备发生故障而不能及时维
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概率论与数理统计教案
修的概率；
（2）若3人负责80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
解：（1）设X表示20台设备中同时发生故障的台数，则X~B(20,0.01)，根据泊松定理，X又可近似地看作服从泊松分布，其中参数??np?20?0.01?0.2.
20台设备中只配备一个维修人员，则只要有两台或两台以上设备同时发生故障，就不能得到及时维修. 故所求概率为
0.2k?0.2p{X?2}?e?1?p(X?0)?p(X?1)?1?e?0.2?0.2e?0.2?0.0175k!k?2?20 （2）80台设备中同时发生故障的台数X~B(80,0.01)，类似的，可用
??80?0.01?0.8的泊松分布来近似，于是所求概率为
8030.8k?0.80.8k?0.8p{X?4}??e?1??e?0.009
k!k!k?4k?0与第一种安排方式相比，3人维修80台设备，虽然比1人维修20台
设备任务重，但工作效率却比第一种方式高，不能及时排除故障的概率仅为0.009.
（6）练习P6519对几何分布进行说明，其与二项分布的关系的计算关系。（10分）
6．几何分布：
设某人射击命中率为p(0?p?1)，现进行连续射击，直到命中为止射击次数X的分布。
第九次课
教学内容：教材52-59页，主要内容：常见的连续型随机变量：均匀分布、指数分布、正态分布的分布密度函数及其性质、数字特征和参数的意义。各分布的应用。 教学目的： （1）深刻理解每一个分布的实际意义，熟练掌握每个分布的分布密度和分布函数； （2）深刻理解每个分布数字特征的实际意义，熟练掌握每个分布的数学期望、方差的计算；
（3）熟练掌握利用分布密度函数求随机变量取值的概率的计算； （4）掌握一般正态分布和标准正态分的关系，借助于标准正态分布概率表求一般正态分布事件的概率、和正态分布的分位点。 （5）掌握正态分布的一般应用。
33
概率论与数理统计教案
教学的过程和要求：
（1）简单介绍均匀分布、指数分布的应用背景，对于每个分布给出（或推出）分布密度函数，了解密度函数满足分布的性质，给出分布的数学期望和方差，计算分布函数，说明参数的意义及其变化对分布的影响及简单应用。（例7、例8）（30分） 常见连续型随机变量的分布 1．均匀分布：
一个随机变量X，如果其密度函数为 ?1?，a?x?b f(x)??b?a
??0，其它则称X服从[a,b]上的均匀分布，记作X~U(a，b).
(b?a)2a?b数学期望EX?，方差DX?
122均匀分布的应用：
例7：某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，可将车站上侯车的乘客全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客侯车时间不超过3分钟的概率和乘客平均候车时间.
解：设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站前最后离去公共汽车到站时刻为t0，将要来到的下一辆车的到站时刻为t0?5. 据题意，X服从[t0,t0?5]上的均匀分布，其密度函数为
?1?,t0?x?t0?5 f(x)??5
??0,其它 乘客侯车时间不超过3分钟的概率，即X落在区间[t0?2,t0?5]内的概率
p?t0?2?X?t0?5???乘客平均候车时间
13dx??0.6 t0?255t0?5EX?0?5?2.5（分钟） 22．指数分布：
一个随机变量X，如果其密度函数为
??e??x，x?0 f(x)??0，x?0?
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概率论与数理统计教案
其中??0为参数，则称X服从参数为?的指数分布，记作X~Exp(?)。 数学期望EX?1?，方差DX?1?2。
指数分布的应用：
例8：假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指数分布Exp(0.002)，求：（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？（2）该热水器平均能正常使用多少小时？
解：X的密度函数为
?0.002e?0.002x，x?0 f(x)??0，x?0? （1）100小时内需要维修的概率
p(X?100}??100??f(x)dx??10000.002e?0.002xdx?1?e?0.2?0.1813
1?500(小时)
?0.002该热水器平均能正常使用500小时.
（2）重点讲解正态分布的应用背景（以正常状态下人的身高、体重，考试成绩分布的形态），给出正态分布的密度函数及其性质，数字特征与参数的关系以及改变参数曲线形态的变化；（25分） 3．正态分布：
一个连续型随机变量X，如果其密度函数为 （2）??0.002,EX?1? f(x)?12??e?(x?u)22?2(???x???)
其中?、?为常数，???????，??0，则称X服从参数为?和?2的正态分布，记作X~N(?，?2).
数学期望EX??，方差DX??2。
（3）标准正态分布密度函数的形式、意义，与一般正态分布的关系及应用（求正态分布的概率和分位点）。（例9、例10）（15分） (i)标准正态分布：
1). 当??0，??1的正态分布称为标准正态分布，记作N(0，(ii)标准正态分布与一般正态分布的关系：
35
概率论与数理统计教案
一般正态分布可以通过线性变换Z?X???转化为标准正态分布。
(iii)标准正态分布与一般正态分布的关系应用：
一般正态分布通过线性变换Z?标准正态分布表求相应的概率，即
?b????a???p?a?X?b??F(b)?F(a)????????
??????X???转化为标准正态分布后，利用
举例说明：
1)，求p{X?2.35}和p?X?1.54?. 例9：设X~N(0，解：查表可得p?X?2.35???(2.35)?0.9906；
p?X?1.54??p??1.54?X?1.54???(1.54)??(?1.54)??(1.54)??1??(1.54)??2?(1.54)?1?2?0.9382?1?0.8764例10：设随机变量X~N(10，22)，求p?8?X?14?
解：??10,??2
14?108?10p?8?X?14??F(14)?F(8)??()??()??(2)??(?1)
22 ?0.9773?(1?0.8413)?0.8186 （4）解释清楚例11的意义。正态分布的应用，例12。
X~N(?，?2)，例11：求p?X?????,p?X???2??，p?X???3??
解：p?X??????F(???)?F(???)??(1)??(?1)=0.6826 ； 同理，p?X???2???0.9544；p?X???3???0.9974。
正态随机变量X的取值位于均值?附近的密集程度可用标准差?为单
（??3?，??3?）位来度量，而且X的取值几乎全部落在区间之内，所以有时称3?为极限误差。
补充例题：
某学校通过考试招收400名学生入学，报考人数是2800人，考试满分600分，考试后知总平均成绩305分，而540分以上的高分者有56人，某考生得分500分，问他能否被录取？（设成绩服从正态分布）（15分） （5）让学生参看书中关于正态分布的由来，了解正态分布的重要应用性。（5分）
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概率论与数理统计教案
第十次课
教学内容：教材67-72页，主要内容：二维随机变量的定义、分布函数及其性质。二维离散型随机变量的分布列及性质、二维连续型随机变量的密度函数及概率计算。 教学目的：
（1）理解二维随机变量的实际意义，理解二维随机变量分布函数的意义，掌握二维随机变量分布函数的性质；
（2）熟练掌握二维离散型随机变量的定义，分布列的表示方法和性质，掌握二维离散型随机变量分布列的一般求解过程； （3）理解二维连续型随机变量分布密度函数的意义及性质，掌握由密度函数求概率的计算方法；
（4）了解二维均匀分布和二维正态分布的密度函数及其参数的意义。 教学的过程和要求：
（1）二维随机变量的引入（利用生活中的例子，如书中本章引言部分的例子或其它）。（3 分） 二维随机变量的引入：
在很多实际问题中，试验结果需要用两个或两个以上的随机变量才能描述，而且这些随机变量之间往往都有一定的联系. 例如：研究儿童的生长发育状况，儿童的身高X和体重Y是两个随机变量，并且X与Y之间又有一定的相关性. 因而我们有必要将X、Y放在一起作为一个整体进行研
（X，Y)称为二维随机变量。 究，并将
（2）对比一维随机变量分布函数的定义给出二维随机变量分布函数的定义
及性质；画出二维随机变量取值范围的图形，帮助理解分布函数的意义；（22分）
(i)二维随机变量分布函数的定义：
定义：设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x、y，称二元函数
Y?y} F(x，y)?p{X?x，为二维随机变量(X，Y)的分布函数或随机变量X与Y的联合分布函数，它表示随机事件{X?x}与{Y?y}同时发生的概率. (ii)二维随机变量分布函数的性质：
1）0?F(x，y)?1；
2）F(x，y)关于变量x和y均单调非减，且右连续； 3）对于任意固定的y，F(??，y)?limF(x，y)?0；
x???4）对任意的x1?x2,y1?y2，随机点(X,Y)落入区域
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概率论与数理统计教案
D?{(x,y)x1?x?x2,y1?y?y2}内的概率：
p?F(x2，y2)?F(x2，y1)?F(x1，y2)?F(x1，y1)
（3）离散型随机变量的分布列的表示方法、性质和一般求法，书中例1 ， (i)二维离散型随机变量的分布列的定义：
定义：如果二维随机变量(X，Y)可能取的值为有限对或无限可列多对实数，则称(X，Y)为二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量(X，Y)所有可能的取值为(xi，yj)(i，j?1，2，?)，且对应的概率为
p(X?xi，Y?yj}?pij，i，j?1，2,?. 则称上式为二维随机变量(X，Y)的概率分布或X与Y的联合概率分布. 也常用表格表示 Y X x1 x2 ? y1 y2 ?? ?? ?? ?? ?? ?? yj p1j p2j ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? p11 p21 ? p12 p22 ? xi ? pi1 ? pi2 ? pij ? (ii)二维离散型随机变量的分布列的性质：
1）pij?0，i，j?1,2,?. 2）??pij?1
i?1j?1????(iii)二维离散型随机变量的分布列的求法：
例1：将两封信随意地投入3个空邮筒，设X、Y分别表示第1、第2个邮筒中信的数量，求X与Y的联合概率分布，并求出第3个邮筒里至少投入一封信的概率.
解：X、Y各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，(X，Y)取（1，2）、（2，1）、（2，2）均不可能. 取其他值的概率可由古典概率计算.
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概率论与数理统计教案
p{X?0,Y?0}?11?32922?329 19p{X?0,Y?1}?p{X?1,Y?0}?
p{X?1,Y?1}?29p{X?2,Y?0}?p{X?0,Y?2}?(X，Y)的联合概率分布表为
Y X 0 1 2 0 1 2 1 92 92 92 91 90 1 0 0 9p{第三个邮筒里至少有一封信}=p{第一、第二个邮筒里最多只有一封信}＝p{X?Y?1}?p{X?0，y?0}?p{X?0，Y?1}?p{X?1，Y?0}?即第三个邮筒里至少有一封信的概率为
1225???99995. 9补充例题：
在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用X、Y分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：(X,Y)的联合分布列；（20分） （4）对比一维随机变量给出二维随机变量的密度函数，着重说明密度函数的性质及其在求概率中的应用，并举例2。 (i)二维连续型随机变量及其分布定义：
定义：设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，如果存在非负可积的二元函数f(x，y)，使得对任意实数x、y，有F(x，y)??x???y??(X，Y)为二维连续型随机变量，称函f(u、v)dudv，则称
数f(x，y)为二维随机变量(X，Y)的概率密度函数或随机变量X和Y的联合密度函数.
(ii)二维连续型随机变量联合密度函数的性质：
1）f(x，y)?0；
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