选择填空题限时训练(一)
一、选择题
1．(2013·合肥市质量检测)已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2＜0}，且R为实数集，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝R C．A?(?RB)
B．A∩B≠? D．A?(?RB)
解析： 集合A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|－1＜x＜2}，所以A?(?RB)． 答案： C
2．(2012·山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数 C．中位数
B．平均数 D．标准差
解析： 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2. 答案： D
3．(2013·安徽“江南十校”联考)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是( )
A．θ＝π πC．θ＝
3
π
B．θ＝
22π
D．θ＝
3
2
解析： 由|m|＝1，得m2＝1，即(2e1＋3e2)2＝1.展开得，4e1＋9e2e2＝1，即4＋92＋12e1·
＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
答案： A
4．已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝2，平面PAD⊥平面ABCD，则它的正视图的面积为( )
A.3 33C. 2
B.3 2
D．33
解析： 由题意三视图的正视图为三角形，三角形的底边为AC在CD上的射影，高为
133三棱柱的高，由已知可得正视图面积为×(1＋2)×3＝. 22
答案： C
5．(2013·全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( ) 1
A. 31C. 9
1B．－
31D．－
9
解析： 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
2
???a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，?a1q＝9a1，∴?4∴?4 ??aq＝9，aq＝9，?1?1
1
解得a1＝，故选C.
9答案： C
→→
6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB的值是( )
1A．－
23
C．－
4
1B. 2D．0
→→
解析： 在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝11×1×cos 120°＝－.
2
答案： A
→→→
7．在△ABC中，D为边BC上任意一点，AD＝λAB＋μAC，则λμ的最大值为( ) A．1 1C. 3
1B. 21D. 4
λ＋1－λ?21
?2?＝4，当且仅当λ＝1－λ，即λ
解析： 依题意得，λ＋μ＝1，λμ＝λ(1－λ)≤?11
＝时取等号，因此λμ的最大值是，选D. 24
答案： D
x2y2
8．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂
ab足为A，△OAF的面积为32
a(O为原点)，则此双曲线的离心率是( ) 2
A.2 4C. 3
B．2 23D.
3
32
a及S△2
解析： 根据双曲线的性质得，|OF|＝c，|FA|＝b，于是|OA|＝a，由S△OAF＝
OAF＝
1
ab，易得，b＝3a， c＝2a，故此双曲线的离心率e＝2，故选B. 2
答案： B
π
2x＋?的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点横坐标9．将函数f(x)＝2sin?4??1π
缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称．则φ的最小正值为( )
24
π
A. 83πC. 4
π向右平移2x＋?―解析： f(x)＝2sin?―→ 4?φ个单位?π横坐标缩短到
12x－2φ＋?f(x)＝2sin?――→4?原来的倍 ?2π
4x－2φ＋?. f(x)＝2sin?4??π
因为直线x＝为对称轴，
4πππ
所以4×－2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
44213π
即φ＝－kπ＋(k∈Z)．
28因为φ＞0，则k＝0时，φmin＝答案： B
x＋y≤8，
??2y－x≤4，
10．(2013·四川卷)若变量x，y满足约束条件?x≥0，
??y≥0，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 C．24
B．30 D．16 3π
. 8
3πB. 8πD. 2
且z＝5y－x的最大值为a，
x＋y≤8，??2y－x≤4，
解析： ∵?x≥0，
??y≥0，
x＋y≤8，
??x－2y≥－4，∴?x≥0，??y≥0，
xz
由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z＝5y－x，得y＝＋.由图知目标
55xz
函数y＝＋，过点A(8，0)时，zmin＝5y－x＝5×0－8＝－8，即b＝－8.
55
xz
目标函数y＝＋过点B(4,4)时，zmax＝5y－x＝5×4－4＝16，即a＝16.
55∴a－b＝16－(－8)＝24，故选C. 答案： C
π1
11．(2013·湖北省八校联考)已知f(x)＝x2＋sin?2＋x?，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)
??4的图象是( )
π?11π
＋x＝x－sin x是奇函数，解析： 由f′(x)＝x＋cos?可排除B，D，而当0＜x＜时，?2?223
?1x－sin x?′＝1－cos x＜0，即f′(x)在?0，π?上是减函数，从而排除C，选A.
?2??3?2
答案： A
12．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x不是“λ伴随函数”；1
③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是2( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析： 由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”．②不正确，若f(x)＝x是一个“λ伴随函数”，则f(x＋λ)
＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．③不正确，若f(x)＝x2是一个“λ伴随函数”，则(x11
x＋?＋＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．④正确，若f(x)是“伴随函数”，则f??2?21?11?1?任意一个为0，则函数f(x)有零点；若f(0)、f(x)＝0，取x＝0，则f?＋f(0)＝0，若f(0)、f?2?2?2?2
1??1?异号，由零点存在性定理知，在?0，1?区间内存在零点．所以有f?均不为0，则f(0)、f?2??2??2?两个结论正确．故选B.
答案： B 二、填空题
??x，x≥0，
13．设函数f(x)＝??1?x则f(f(－4))＝________.
???2?，x＜0，
1?－4
解析： f(－4)＝??2?＝16， 所以f(f(－4))＝f(16)＝16＝4. 答案： 4
14．(2013·江西卷)设f(x)＝3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
ππ
3x＋?，则|f(x)|＝2?sin?3x＋??≤2，要使解析： 由于f(x)＝3sin 3x＋cos 3x＝2sin?6?6?????|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.
答案： [2，＋∞)
15．(2013·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析： 圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，
π2
?10＋10×6＋62?×93
∴降水量为＝3(寸)．
π×142答案： 3 16．下列说法：
①“?x∈R,2x＞3”的否定是“?x∈R,2x≤3”； ππ
2x＋?sin?－2x?的最小正周期是π； ②函数y＝sin?3??6??
③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；
④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x＞0时的解析式是f(x)＝2x，则x＜0时的解析式为f(x)＝－2x.其中正确的说法是________．
－
解析： 对于①，“?x∈R,2x＞3”的否定是“?x∈R,2x≤3”，因此①正确；对于②，πππππ?2x＋π?－2x?＝cos?2x＋?，因此函数y＝sin?2x＋?sin?－2x?＝sin?2x＋?·注意到sin?cos3?3??63?3??6??????2π1
4x＋?， ＝sin?3?2?
2ππ则其最小正周期是＝，②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，
42则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，当x0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－2x，因此④正确．
－
答案： ①④
③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；
④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x＞0时的解析式是f(x)＝2x，则x＜0时的解析式为f(x)＝－2x.其中正确的说法是________．
－
解析： 对于①，“?x∈R,2x＞3”的否定是“?x∈R,2x≤3”，因此①正确；对于②，πππππ?2x＋π?－2x?＝cos?2x＋?，因此函数y＝sin?2x＋?sin?－2x?＝sin?2x＋?·注意到sin?cos3?3??63?3??6??????2π1
4x＋?， ＝sin?3?2?
2ππ则其最小正周期是＝，②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，
42则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，当x0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－2x，因此④正确．
－
答案： ①④