厦门二中2014届高三文科数学解析几何专项练习（四）
——圆锥曲线
一、选择题：
1．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为------------------------------------------------ ( ) A．x2＋y2－2x－1＝0 B．x2＋y2－2x－3＝0 C．x2＋y2＋2x－1＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0 2．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是---------- ( ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x
3．已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
1121
A．6 B． C．8 D． 22
22xy
4．以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是------------------------- ( )
63
A．(x－3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝3 C．(x－3)2＋y2＝3 D．(x－3)2＋y2＝9
????????y22
PF2的最小值为( ) 5．双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·
3
81
A．－2 B．－ C．1 D．0
16
6．过抛物线y2＝2x焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，其横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条
x2y2
7．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于
ab
??????????点M、N(均在第一象限内)，若FM,＝4MN,，则双曲线的离心率为--------------------------------- ( )
5A．
4
53B． C．
35
4
D．
5
x2y2
8．已知椭圆＋＝1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1⊥PF2，则下面结论正确的是( )
2516
A．P点有两个 B．P点有四个 C．P点不一定存在 D．P点一定不存
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( )
232A． B．2 C． D．22
22的离心率为------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( ) 32625A． B． C． D．
3335
二、填空题：
???????????????10． 以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1,|＝2|MO,|＝2|MF2,|，则该椭圆
x2y211．椭圆?:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c．若直线与椭圆?的一个交点
abM满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心率等于 ．
x2y212．已知抛物线y?8x的准线过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该
ab双曲线的方程为 ．
2x2y213．设F1,F2是双曲线C,2?2?1 (a>0,b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,
ab则C的离心率为 ．
x22x202
14．椭圆C：＋y＝1的焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y0≤1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为 ．
22
x22
15．直线l：x－y＝0与椭圆＋y＝1交于A、B两点，C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为 ．
216．设AB是椭圆?的长轴,点C在?上,且?CBA?离为 .
π.若AB?4,BC?2,则?的两个焦点之间的距4三、解答题：
x2y23
17．已知椭圆C1：＋2＝1(0＜b＜2)的离心率为，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点是椭圆的顶点．
4b2
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2
时，求直线l的方程．
18．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相
π
切，过原点O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|＝|BO|＝2．
3
????????(1)求圆M和抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求PM·PF的最小值；
(3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过定点，并求该定点的坐标．
x2y26
19．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，
ab3
?????????且MF＝λFN(λ＞0)，定点A(－4,0)．
??????????????????106
(1)求证：当λ＝1时，MN⊥AF；(2)若当λ＝1时，有AM·AN＝3，求椭圆C的方程．
厦门二中2014届高三文科数学解析几何专项练习（四）参考答案
一、选择题：BBBBA BBDCC
46y2二、填空题：11．3?1 12．x? ?1 13．3?1 14．[2,22] 15．2 16．
3324－b2c3
17．解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝4－b．由e＝＝＝得b2＝1，
a22
∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，故抛物线C2的方程为x2＝4y． (2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，
1111
F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x．∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2．
4222
?y＝kx＋1??11
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4．由?2得x2－4kx－4k＝0，
22??x＝4y
2∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)＞0，解得k＜－1或k＞0．①
且x1x2＝－4k＝－4，即k＝1，满足①式，∴直线l的方程为x－y＋1＝0．
18．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M的方程为(x－a)2＋y2＝a2(a＞0)，
将点B(1，3)代入圆M的方程得a＝2，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4，
p
因为点A(－1，－3)在准线l上，所以＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
2
????????(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x，y)，则PM＝(2－x，－y)，PF＝(1－x，－y)，
????????2
又点P在抛物线y＝4x上，所以PM·PF＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x＋2＋4x＝x2＋x＋2，
????????????????因为x≥0，所以PM·PF≥2，即PM·PF的最小值为2．
(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，
以Q为圆心，m2＋5为半径的圆方程为(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x－2my－4＝0，① 又圆M的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，②
2?
由①②两式相减即得直线ST的方程3x－my－2＝0，显然直线ST恒过定点??3，0?．
?????????19．解：(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c,0)，则MF＝(c－x1，－y1)，FN＝(x2－c，y2)．
?????????当λ＝1时，MF＝FN，∴－y1＝y2，x1＋x2＝2c．
y2y21?222?22?22
∵M，N两点在椭圆C上，∴x1＝a?1－b2?，x2＝a?1－b2??，∴x1＝x2．
若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c(舍去)，∴x1＝x2，
???????????????????????????∴MN＝(0,2y2)，AF＝(c＋4,0)，∴MN·AF＝0，∴MN⊥AF．
2?????b??b2?b2??????b2???(2)当λ＝1时，由(1)知x1＝x2＝c，∴M?c，a?，N?c，－a?，∴AM＝?c＋4，a?， AN＝?c＋4，－a?，
4?????????1062b∴AM·AN＝(c＋4)－a2＝3．(*)
2
c65106582322c∵＝，∴a＝c，b＝，代入(*)式得 c2＋8c＋16＝，∴c＝2或c＝－(舍去)． a322635
22xy
∴a2＝6，b2＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1．
62