第九章 解析几何
第1讲 直线方程和两直线的位置关系
一、选择题
1
1．已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝，则l的斜率为( )
54343A. B. C．－ D．－ 3434解析 α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C. 答案 C
2．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为
3π
，则y＝( )． 4
A．－1 B．－3 C．0 D．2 解析 由
2y＋1－－
4－2
＝
2y＋4
＝y＋2， 2
得：y＋2＝tan 答案 B
3π
＝－1.∴y＝－3. 4
3．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ?ππ?A.?6，3? ???ππ?C.?3，2? ??
( )．
?ππ?
B.?6，2? ???ππ?D.?6，2? ??
解析 如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，3π
又A(3,0)，∴kPA＝3，则直线PA的倾斜角为6，满?ππ?
足条件的直线l的倾斜角的范围是?6，2?.
??答案 B
4．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )．
A．x－2y＋4＝0 C．x－2y＋3＝0
B．2x＋y－7＝0 D．x－2y＋5＝0
解析 由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0. 答案 A
5．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( )． A．[0，π) ?π3π?C. ?，?
4??4
?ππ?
B.?，?
2??4
?ππ??π3π?
D.?，?∪?，?
2??24??4
π
； 2
解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， ?ππ??π3π?又α∈[0，π)，∴α∈?，?∪?，?.
2??24??4?π3π?
综上知，倾斜角的范围是?，?.
4??4答案 C
1
.
cos θ
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝
A．4
( )．
B．6
34C.5 36D.5
解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3＋n7＋m??2＝2×2－3，
3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是?n－31
＝－2，??m－7
3m＝??5，解得?31
n＝??5.答案 C 二、填空题
34
故m＋n＝5. 1
7．若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为________．
2解析 由kAB＝kBC，即
－2－3m＋21
＝，得m＝. 3＋212
－32
1
答案
2
8．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．
xy
解析 设直线方程为为－＝1或y＝kx的形式后，代入点的坐标求得a＝5
aa3
和k＝－. 2
3xy
答案 y＝－x或－＝1
255
9．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
3
解析 由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝5. 3答案 5
c＋2213
10．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为13，则a的值为________．
3－2－1
解析 由题意得，6＝a≠c，∴a＝－4且c≠－2， c
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋2＝0，
?c??2＋1?
?213?
由两平行线间的距离，得13＝，
13c＋2
解得c＝2或c＝－6，所以a＝±1. 答案 ±1 三、解答题
11．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
解 存在．理由如下．
1??
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A?2－，0?，B(0,1－2k)，
k??1?1?1?
2－??＝?4＋△ AOB的面积S＝(1－2k)
k2??2?
－4k?1??1
＋?－??≥(4＋4)＝4. ?k??2
11
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，
k21
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
212．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴|10＋5λ－5|1
＝3.解得λ＝2或λ＝
2. ?2＋λ?2＋?1－2λ?2∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. ?2x＋y－5＝0，
(2)由?解得交点P(2,1)，
x－2y＝0，?
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝10.
13．已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d. (1)求d的最小值；
(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．
解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．
过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的|8－?－7?|d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3.
32＋42(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.
14．已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程． 解 法一 因为l1∥l，所以l2∥l， 设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 直线l1，l2关于直线l对称， 所以l1与l，l2与l间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得|3－?－1?||m－?－1?|
＝， 22
解得m＝－5或m＝3(舍去)． 所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二 由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)． 在直线l1上取点M(0,3)，
设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)， b－3
??a×1＝－1，于是有?a＋0b＋3
??2－2－1＝0，
?a＝4，
解得?即M′(4，－1)．
?b＝－1，