28.2 过三点的圆
一、选择题
1．三角形的外心具有的性质是( ) A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
3．如图38－K－1，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
图38－K－1 图38－K－2
4．如图38－K－2，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )
A．点P B．点Q C．点R D．点M
5．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图38－K－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
图38－K－3
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 二、填空题
6．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有____个．
图38－K－4
7．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图38－K－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6.如果准外心P在BC边上，那么PC的长为________．
三、解答题
8．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆的直径．
9．如图38－K－5，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图上标出△ABC的外接圆的圆心O. (2)△ABC的外接圆的面积是________.
图38－K－5
1．B
2．A [解析] △ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形． 故选A.
3．B [解析] 由图可知，只有△ACF的三个顶点不都在⊙O的圆周上，故外心不是点O的三角形是△ACF.
故选B.
4．B [解析] 作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B.
5．A [解析] 第①块中有一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A.
6．两 [解析] 这样的圆能画两个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作弧交l于点O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．
故答案为两．
7
7.或4 [解析] 在Rt△ABC中， 4∵C＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝AB－AC＝10－6＝8.
2
2
2
2
若PB＝PA，连接PA， 设PC＝x，则PA＝PB＝8－x， 在Rt△PAC中， ∵PA＝PC＋AC， ∴(8－x)＝x＋6， 77∴x＝，即PC＝；
44若PB＝PC，则PC＝4；
若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不存在这种情况． 7
故PC的长为或4.
4
8．[解析] 首先作出△ABC的外心P，连接点B与外心P，利用勾股定理求半径． 解：如图，作AD⊥BC于点D，与AC的垂直平分线相交于点P，则点P即为△ABC的外心，连接PB.
2
2
2
2
2
2
∵AB＝AC＝10， 1
∴BD＝DC＝BC＝6.
2在Rt△ABD中， AD＝AB－BD＝8.
设△ABC外接圆的半径为r，
2
2
则AP＝BP＝r，PD＝8－r. 在Rt△BPD中，BP＝BD＋PD， 即r＝6＋(8－r). 25
解得r＝. 4
∴△ABC的外接圆的直径为
25. 2
2
2
22
2
2
9．解：(1)△ABC的外接圆的圆心O，如图所示．
(2)∵AO＝3＋1＝10， ∴外接圆的面积是10π. 故答案为10π.
2
2