概率论与数理统计习题及答案
习题 一
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，
A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” 【解】（）1???12，，3，4，5，6?，A??13，，；5?
(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?,
2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C
（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC
1
(5) ABC=ABC (6) ABC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC
3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由: (1) A∪B=(AB)∪B； (2) AB=A∪B； (3) AB∩C=ABC；
(4) (AB)( AB)= ?；
(5) 若A?B，则A=AB；
(6) 若AB=?，且C?A，则BC=?； (7) 若A?B，则B?A；
(8) 若B?A,则A∪B=A.
【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.
所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生. 故不成立.
(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生， 所以AB不发生，从而不成立. (3)不成立.AB，AB画文氏图如下:
所以,若Α-B发生,则AB发生, A故不成立.
(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.
(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生. 若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生. 故成立.
(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生, 故BC=φ.
(7)不成立.画文氏图,可知B?A.
2
B不发生,
(8)成立.若事件Α发生,由A?(AB),则事件Α∪B发生.
若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生. 若事件Α发生,则成立.
若事件B发生,由B?A,则事件Α发生.
4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)]
=1?[0.7?0.3]=0.6
5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1） 在什么条件下P（AB （2） 在什么条件下P（AB 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)
=
7.
11113++?= 44312452张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？
5332【解】 p=C13C13C13C13/C1352
8.
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=
115
=（）（亦可用独立性求解，下同） 757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
6565
P（A2）=5=()
77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1?P(A1)=1?(
15
)7
9. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.
3
3【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有C50种取法.因只有一件次品,所以从2145个正品中取2个,共C45种取法;从5个次品中取1个,共C5种取法,由乘法原理,恰有一件次
21C45C5P?3.
C50品的取法为CC24515种,所以所求概率为
10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n n?mn【解】（1） P（A）=CmMCN?M/CN n(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种， 故 mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?mCmMCN?MP（A）= CnN可以看出，用第二种方法简便得多. （3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?mn P(A)?CmM(N?M)/Nn此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??N??N?? 4 mn?m 11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，?，9). 【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列 444问题.用10个数去排4个位置,有P10种排法,故所求概率为P?P10/10. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太 弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱} 33P(A)?C110C3/C50?1 196013. 7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3? C73522 35故 P(A214. A3)?P(A2)?P(A3)?0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2） (1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1(3) P(A1A215. A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 3次正面才停止. （1） 问正好在第6次停止的概率； （2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131224?2 ?【解】（1） p1?C5()() (2) p2?222325/32516.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则 P(3i?0212AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)? C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6) 5 222233 17 =0.32076 5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 41111C5C2CC2C2213【解】 p?1? ?4C102118. 0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}. （1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2 P(A)0.5（2） p(A19. B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7 有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男 为女是等可能的）. 【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故 P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/876 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. P(BA)?20. 5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式 P(A)P(BA)P(AB) P(AB)??P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?21. 0.5?0.0520? 0.5?0.05?0.5?0.0025219∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 6 题21图 题22图 【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30. 如图阴影部分所示. 3021P?2? 60422. 0，1）中随机地取两个数，求： 6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率. 4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0 6. 514417 p1?1?255??0.68 1251(2) xy=<. 4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123. P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BAB)?P(AB)PA(?)PAB() ?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)7 ?24. 0.7?0.51? 0.7?0.6?0.5415个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比 赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新 球} 由全概率公式，有 P(B)??P(BAi)P(Ai) i?03 2321C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C679?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学 生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知 P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702 0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077 0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而 B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 8 P(AC)? ?27. P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA) 2/3?0.98?0.99492 2/3?0.98?1/3?0.01 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）= 出一球为白球}.由贝叶斯公式知 1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B) ?2P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?28. 2/3?1/31? 1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3396%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率 为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得 P(AB)? ?29. P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998 0.96?0.98?0.04?0.05.统计资料表明，上 述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}， C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得 P(A|D)? ?30. P(AD)P(A)P(D|A)? P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057 0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.3为 0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）. P(4i?1Ai)?1?P(A1A2A3A4) ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 9 ?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概 率不小于0.9? 【解】设必须进行n次独立射击. 1?(0.8)n?0.9 即为 (0.8)n?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32. P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立. 【证】 P(A|B)即?P(A|B)P(AB)P(AB) ?P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B) P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B) 因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33. 的概率. 【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则 111，，，求将此密码破译出534P(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) i?13 ?1?34. 423???0.6 5340.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 P(A)??P(A|Bi)P(Bi) i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 35.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用， 且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. 10 【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由 0n1n?122n?2(q?p)n?C0?Cnpq?npq?Cnpq0n1n?12n?2(q?p)n?C0?C2?npq?Cnpqnpqn0?Cnnpq?1 n0?(?1)nCnnpq 以上两式相减得所求概率为 n?13n?3p1?C1?C3?npqnpq 1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得 1p2?[1?(1?2p)n]. 252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB （A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB 所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B) ?[(ABAB)(AB?AB)] ?? 故所求值为0. 53.设两两相互独立的三事件，A，B和C ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 2 ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?9 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 442454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A 不发生的概率相等，求P（A）. )?【解】 P(ABP(AB)?1?P(A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ② 故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) 故 P(A)?P(B) ③ 16 由A,B的独立性，及①、③式有 1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)]2 ?[1?P(A)]2 故 1?P(A)??故 P(A)?即P（A）= 1 324或P(A)?（舍去） 332. 355.随机地向半圆0 2ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为 1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为 π212a?a2?1?1 p?4122ππa256. 10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品} C242C10P(AB)1 P(B|A)???2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3. Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2. 则 P(Ai)?1,i?1,2,3 3375P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)? 10152517 (1) p?P(B1)??P(B|A)?3(10?15?25)?90 1ii?13137529(2) q?P(B1|B2)?P(B1B2) P(B2)而 P(B2)??P(Bi?132|Ai)P(Ai) ?1782061(??)? 310152590P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai) i?13 ?137785202(?????)? 31091514252492P(B1B2)920故 q? ??6161P(B2)9058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考) 【解】因为 P(AB)?P(A)?P(B?)P(A BP(AB)?P(B)?P(AB)?P(B) 所以 P(AB)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A). 59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0 【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为 1P?C3P(1?P)2P?3P2(1?P)2. 60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于【解】设两个数分别为x、y，则0 1的概率. 21，画出图形，由几何概型可得，21111?2???222?3. 所求概率为P?1418 19