成考数学试卷(文史类)题型分类
一、集合与简易逻辑
2001年
(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M?T)?N是（ ）
(A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6}
(2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB. 则（ ）
(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；
(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002年
（1） 设集合A?{1,2}，集合B?{2,3,5}，则A?B等于（ ）
（A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5}
（2） 设甲：x?3，乙：x?5，则（ ）
（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年
（1）设集合M?(x,y)x?y?1，集合N?(x,y)x?y?2，则集合M与N的关系是
（A）M?N=M （B）M?N=? （C）N?M （D）M?N
（9）设甲：k?1，且 b?1；乙：直线y?kx?b与y?x平行。则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2004年
（1）设集合M??a,b,c,d?，N??a,b,c?，则集合M?N=
（A）?a,b,c? （B）?d? （C）?a,b,c,d? （D）?
（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005年
2，3，4,5?，Q=?2,4,6,8,10?，则集合P?Q= （1）设集合P=?1，4? （B）?1，2,3,4,5,6,8,10? （C）?2? （D）?4? （A）?2，?22??22?（7）设命题甲：k?1，命题乙：直线y?kx与直线y?x?1平行，则
（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2006年
0，1，2?，N=?1，2，3?，则集合M?N= （1）设集合M=??1，1，2? （C）??1，1? （B）?0，0，1? （D）??1，0，1，2，3? （A）?0，2（5）设甲：x?1；乙：x?x?0.
（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2007年
22（8）若x、y为实数，设甲：x?y?0；乙：x?0，y?0。则
（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件；
1
（C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2008年
（1）设集合A=?2，4，6?，B=?1，2，3?，则A?B=
（A）?4? （B）?1,2,3,4,5,6? （C）?2,4,6? （D）?1,2,3?
?1（4）设甲：x?, 乙:sinx?，则
62（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。
二、不等式和不等式组
2001年
(4) 不等式x?3?5的解集是（ ）
(A) {x|x?2} (B) {x|x??8??或 x?2} (C) {x|x?0} (D) {x|x?2}
?x?3?5?????5>x?3?5???8>x?2????x??8??或 x?2?
2002年
（14） 二次不等式x2?3x?2?0的解集为（ ）
（A）{x|x?0} （B）{x|1?x?2}（C）{x|?1?x?2} （D）{x|x?0}
2003年
（5）、不等式|x?1|?2的解集为（ ）
（A）{x|x??3或x?1} （ B）{x|?3?x?1} （C）{x|x??3} （D）{x|x?1}
2004年
（5）不等式x?12?3的解集为
（A）?x12?x?15? （B）?x?12?x?12? （C）?x9?x?15? （D）?xx?15? 2005年 （2）不等式
?3x?2?7的解集为
4?5x??21（A）(??,3)?(5,+?) （B）(??,3)?[5,+?) （C）(3,5) （D）[3,5)
?3x?2?73x?9?0?x1?3???(3x?9)(5x?25)?0???4?5x??21? 5x?25?0x?5?2????2006年
（2）不等式x?3?1的解集是 （A）?x?4?x??2?（B）?xx??2?（C）?x2?x?4?（D）?xx?4?
（9）设a,b?R，且a?b，则下列不等式中，一定成立的是
（A）a?b （B）ac?bc(c?0) （C）
2007年
（9）不等式3x?1?1的解集是
（A）R （B）??xx?0???或 x??2?2?2???? （C）?xx?? （D）?x0?x?? 3?3?3???221a?1b （D）a?b?0
2008年
2
（10）不等式x?2?3的解集是
（A）?xx??5或x?1? （B）?x?5?x?1? （C）?xx??1或x?5? ?（D）?x?1?x?5? (由x?2?3??3?x?2?3??1?x?5)
三、指数与对数
2001年 (6) 设a?log0.5bb?log2x6.7，b?log24.3，c?log25.6，
bcx则a,b,c的大小关系为（ ） (A) b?c?a (B) a?c?b (C) a?b?c (D) c?a?b
ab?log0.5x(a?log0.5x是减函数,x>1时,a为负；b?log2x是增函数，x>1时a为正.故log0.56.7 32?a，则log29等于（ ） 1a （B）2a ?log29???log39log32?2log33a?32222?aa （C） （D） a?23? （10） 已知f(2x)?log4x?1023142，则f(1)等于（ ） （B） 1 （16） 函数y?2003年 ?324x/2?102x?102?1?10f(x)?log2?log2，f(1)?log2?log24?2 333（A）log （C）1 （D）2 ?2?x1?x1??1的定义域是?xx??1?。?2??0?x?log22?x??1? 22??（2）函数y?5?1（的反函数为 ??-??x???）x?1（A）y?log5(1?x), (x?1) （B）y?5, (???x???) 1?x （C）y?log5(x?1), (x?1) （D）y?5?1, (???x???) x?y?5x?1??5x?y?1?xlog55?log5(y?1)?x?log5(y?1)??? 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示?y?log5(x?1)；定义域：x?1?0,???x?1????????????????（6）设0?x?1，则下列不等式成立的是 2222x（A）log0.5x?log0.5x （B）2x?2 （C）sinx?sinx （D）x?x yy?22y?2xxy?sinx2y?sinxy?log0.5Xx3 ??y?2x2为增函数?0?x?1?值域(0,2)x2??????2>2x，排除（B）；????x值域(1,2)y?2为增函数????22?0?x?1?x?x,sinx （A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4 5[logx242=log（24?24）?logx24?4x2004年 415lg2?54lgx， 54lgx?54lg2， lgx?lg2，x?2 ] 2?2?133?423??4??log22?4?4?12? （16）64?log2= 12 ?64?log21616??2312005年 （12）设m?0且m?1，如果logm81?2，那么logm3? （A）2006年 （7）下列函数中为偶函数的是 （A）y?2x （B）y?2x （C）y?log2x （D）y?2cosx （13）对于函数y?3x，当x?0时，y的取值范围是 （A）y?1 （B）0?y?1 （C）y?3 （D）0?y?3? 2（14）函数f(x)?log3(3x?x)的定义域是 1111?1111?4?? （B） （C） （D） log3?log3?log81??2?mmm?2332?4442??（A）(??,0)?(3,+?) （B）(??,?3)?(0,+?) （C）(0,3) （D）(?3,0) ?3x?x?2?8（19）log28?16=?1 ?log2?12>0?x?3x<0?0?x?3? 21216?l2og?2?343?log?2?2?4??3? 4?12007年 （1）函数y?lg的定义域为 （x-1）（A）R （B）?xx?0? （C）?xx?2? （D）?xx?1? ?1?（2）lg48?lg42???= ?4?031??31?1?2（A）3 （B）2 （C）1 ?lg48?lg42???=lg44?lg442?1=??1=1? （D）0 22?4?????0（5）y?2的图像过点 （A）(?3, x18) （B）(?3,16) （C）(?3,?8) （D）(?3,??) 4 （15）设a?b?1，则 （A）loga2?logb2 （B）log2a?log2b （C）log0.5a?log0.5b （D）logb0.5?loga0.5 2008年 13y?log0.77xy?log2xyy?log1.3x①同底异真对数值大小比较： 增函数真(数)大对(数)大，减函数真大对小.如log30.5?log30.4, log0.34?log0.35; ②异底同真对数值大小比较： 同性时：左边[点(1,0)的左边]底大对也大，右边[点(1,0)的右边]底大对却小. 异性时：左边减(函数)大而增(函数)小，右边减小而增大. 如log0.40.5>log0.30.5, log0.45 （A）9 （B）3 （C）2 （D）1?log24?()0=log222?1=2?1=1? ?3??1?（6）下列函数中为奇函数的是 （A）y?log3x （B）y?3x （C）y?3x2 （D）y?3sinx （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 （A）y?x2 ?（B）y?2x （C）y?log2x （D）y?cosx （9）函数y?lgx?3-x的定义域是 （A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（?∞，3] [由lgx得x>0，由3-x得x?3，?xx?0???xx?3?=?x0 （11）若a?1，则 ?12（A）log1a?0 （B）log2a?0 （C）a?0 （D）a?1?0 2y???1?a?1????a，???y?0，故选（A）?分析①：设y?log1a???2??2?? ?分析②：y?loga?是减函数，由y?loga?的图像知在点（1,0）右边, y?0，故选（A）?11??22??四、函数 2001年 2(3) 已知抛物线y?x?ax?2的对称轴方程为x?1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ） (A) (1,?3) (B) (1,?1) (C) (1,0) (D) (?1,?3) ???x0?1, ???ax??=1?a??20?? 222??a?4?(?2)(?2)?4?(?2)????3?? y0???44? 5 x?ax?2的对称轴方程为x?1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ） (A) (1,?3) (B) (1,?1) (C) (1,0) (D) (?1,?3) ???x0?1, ???ax??=1?a??20?? 222??a?4?(?2)(?2)?4?(?2)????3?? y0???44? 5 (7) 如果指数函数y??ax的图像过点(3,?)，则a的值为（ ） 81(A) 2 (B) ?2 (C) ?12 (D) 12 (10) 使函数y?log2(2x?x2)为增函数的区间是（ ） (A) [1,??) (B) [1,2) (C) (0,1] (D) (??,1] ?2x?x2?0?x2?2x?0?0?x?2???2∵ y?2x?x开口向下，对称轴为：??b2?? x?????1??2a2?(?1)??2∴(0，1]为y?log(2x?x)的增区间.2??yxy=2x?x2y?log2(2x?x)2(13)函数f(x)?5?5x?x?6x2是（ ） (A) 是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 (16) 函数y? (21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线x?1对称，其中一个函数的表达式为 y?x?2x?1,求另一个函数的表达式。 2解法一 函数y?x?2x?1的对称轴为x??1， 2log13(4x?3)的定义域为____________。 y减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正?log1(4x?3)?0??????????????3??????3?x?1?0<4x?3?1?3<4x?4???4?x顶点坐标:x0=?1，y0???4a??2?4?1?(?1)4?12??2 22 设函数y?x?b?x?c?与函数y?x?2x?1关于x?1对称，则 2函数y??x?b?x?c?的对称轴x??3 ?=3，y0???2 顶点坐标: x0b???????2?1?3??6， 由x0得：b???2ax02a??? 由y0b??4ac?4a2?y0得：c?4ay0?b?4a22?4?(?2)?642?7 所以，所求函数的表达式为y??x?6x?7 22解法二 函数y?x?2x?1的对称轴为x??1，所求函数与函数y?x?2x?1关于x?1对称，则 所求函数由函数y?x?2x?1向x轴正向平移4个长度单位而得。 2 设M(x0,y0)是函数y?x?2x?1上的一点，点N(x,y)是点M(x0,y0)的对称点，则 2 6 2 y0?x0?2x0?1，??x0?x?4?y0?y，将??x0?x?4?y0?y2代入y0?x0?2x0?1 得:y?x2?6x?7.即为所求。 (22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量 将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 x0.5x)元/本，售量为b(1?)本。设此时销售总金额为y，则： 解 涨价后单价为a(1?100100y=a(1?x100)b(1?0.5x100)=ab(1?0.5x100?0.5x210000)，令y?=ab(0.5100?x10000)=0，得x?50 所以，x?50时，销售总金额最大。 2002年 （9） 若函数y?f(x)在[a,b]上单调，则使得y?f(x?3)必为单调函数的区间是（ ） A．[a,b?3] B．[a?3,b?3] C．[a?3,b?3] D．[a?3,b] ? 因y?f(x)与y?f(x?3)对应关系相同，故它们的图像相同；因y?f(x)与y?f(x?3)的??自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x?3)的图像比y?f(x)左移3个长度单位.??? 因f(a)?f(x?3)时，必有x?3?a，即x?a-3;?? ?????????????f(b)?f(x?3)时，必有x?3?b，即x?b-3.???????????所以，y?f(x?3)的单调区间是[a?3,b?3]????4x?10（10） 已知f(2x)?log2，则f(1)等于（ ） 3141（A）log2 （B） （C）1 （D）2 324x/2?102x?102?1?10?log2, f(1)?log2?log24?2?， ?f(x)?log2??333??（13） 下列函数中为偶函数的是（ ） （A）y?cos(x?1) （B）y?3 （C）y?(x?1)2 （D）y?sin为2，求b的值。 解 设两个交点的横坐标分别为x1和x2，则x1和x2是方程x2?bx?3=0的两个根， 得：x1?x2??b，x1?x2?3 又得：x1?x2?22x2x （21）（本小题12分） 已知二次函数y?x2?bx?3的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离 ?x1?x2???x1?x2??4x1?x2?b?12?2，b=?4 2（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy?u?40xy?20?4(2x?2y)?40?400?20?4(2x?2???20?2)?40? x?16004?400，y?400x400x) 400x)?16000?160(x? ?16000?160?(x?20x故当x? ?0，即当x?20时，池壁与池底的造价之和最低且等于： 7 u?16000?160?(x?400x)?16000?160?(20?40020)?22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年 （3）下列函数中，偶函数是 （A）y?3x?3?x （B）y?3x2?x3 （C）y?1?sinx （D）y?tanx （10）函数y?2x3?x2?1在x?1处的导数为 ?（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 ??yx?1?(6x?2x)2x?1 ?6?2?4??（11）y?lg(x?x?1)的定义域是 2（A）?xx??1? （B）?xx?2? （C）?xx??1或x?2? （D）? ?lg(x2?x?1)?0?x2?x?1?1?x2?x?2?0?x??1或x?2??xx??1??或 x?2???? y （17）设函数f(t-1)?t2?2t?2，则函数f(x)?x2?1 （20）（本小题11分） 设f(x)?ax，g(x)?解 依题意得： 1?f(2)?g()?2a?2b??8 ?a?b??2 ①?a1?2 ?a2??1 ?2解得 ，???? 即 ， ，???1ab1b??1 b?2 ?1?2?a?b?1 ②?f()?g(3)??? 333?3xb111，f(2)?g()=?8，f()?g(3)=，求 a、b的值. x233（21）（本小题12分） 设f(x)??x2?2ax?a2满足f(2)?f(a)，求此函数的最大值. 解 依题意得： ?4?4a?a??a?2a?a，即a?a?4?0，得：a1?a2?2 f(x)??x?4x?4??(x?4x?4)??(x?2)?8， 22222222可见，该函数的最大值是8（当x?2时） 2004年 （10）函数f(x)?sinx?x （A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数 3（15）f(x)?x?3，则f?(3)= 3（A）27 （B）18 （C）16 （D）12 （17）y?5sinx?12cosx?????13 5125??y?13(sinx?cosx)?13(sinxcos??cosxsin?)=sin（x??），cos?=， ??131313??（20）（本小题满分11分） 设函数y?f(x)为一次函数，f(1)=8，f(?2)=?1，求f(11) 解 依题意设y?f(x)?kx?b，得 ?f(1)?k?b?8k?3，得，f(x)?3x?5，f(11)=38 f(?2)??2k?b??1b?58 ? （22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg；若多种一株，每株减产1kg。 试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种x（x?50）株葡萄时产量为S，依题意得 S?x?70-(x-5?0?)，x0??1x2?0x2b2a???60，S0=120?60?60=3600(kg) 2?（?1）1202 所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg. 2005年 （3）设函数f(x)?x2?1，则f(x?2)? （A）x2?4x?5 （B）x2?4x?3 （C）x2?2x?5 （D）x2?2x?3 （6）函数y?x?1的定义域是 （A）?xx?1? （B）?xx?1? （C）?xx?1? （D）?xx??1或x?1? ?x（9）下列选项中正确的是 ?1?0?x?1??1?x?1，即：x??1 或 x?1? （A）y?x?sinx 是偶函数 （B）y?x?sinx 是奇函数 （C）y?x?sinx 是偶函数 （D）y?x?sinx 是奇函数 5（18）设函数f(x)?ax?b，且f(1)?，f(2)?4，则f(4)的值为 7 253??33?f(1)?a?b??a?注：?2?????????2????????f(x)?x?1????????f(4)??4?1?7 22??f(2)?2a?b?4b?1??（23）（本小题满分12分） 2x已知函数y1?x?2x?5的图像交y轴于A点，它的对称轴为l；函数y2?a（a?1）的图像交y轴 于B点，且交l于C. （Ⅰ）求?ABC的面积 （Ⅱ）设a?3，求AC的长 2解（Ⅰ）y1?x?2x?5的对称轴方程为：x??ylAy2?32xy1?x?2x?5b2a???22?1 C依题意可知A、B、C各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、C(1,a) B得：AB=(0?0)?(5?1)=4 在?ABC中，AB边上的高为1（x?1），因此，S?ABC=12?4?1=2 2222x（Ⅱ）当a?3时，点C的坐标为C（1，3），故AC=(0??)?(5??)=5 2006年 （4）函数y?x?2x?3的一个单调区间是 （A）?0,??? （B）?1,??? （C）???,2? （D）???,3? （7）下列函数中为偶函数的是 x（A）y?2 （B）y?2x （C）y?log2x （D）y?2cosx 2 9 （8）设一次函数的图像过点（1，1）和（?2，0），则该函数的解析式为 （A）y?13x?23 （B）y?13x?23 （C）y?2x?1 （D）y?x?2 y1?y2y?11?0112??y?y1 ?????3(y?1)?x?1?y?x??x?x?x?xx?11?(?2)333?112?（10）已知二次函数的图像交x轴于（?1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为 （A）x?1 （B）x?2 （C）x?3 （D）x?4 （17）已知P为曲线y?x3上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3x?y?2?0 （B）3x?y?4?0 （C）3x?y?2?0 （D）3x?y?2?0 ?k?y??x?1??3x2?x?1?3, P点的坐标：(1,1), y?1?3(x?1)?3x?y?2?0? ??（20）直线y?3x?2的倾斜角的度数为60 ????180 ?2007年 （1）函数y?lg的定义域为 （x-1）（A）R （B）?xx?0? （C）?xx?2? （D）?xx?1? （5）y?2x的图像过点 （A）(?3,18) （B）(?3,16) （C）(?3,?8) （D）(?3,??) （6）二次函数y?x2?4x?5图像的对称轴方程为 （A）x?2 （B）x?1 （C）x?0 （D）x??1 （7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是 （A）f(x)?11?x2 （B）f(x)?x2?x （C）f(x)?cosx3 （D）f(x)?2x ???f(x)??(x2?x)?22?(B) f(?x)?(?x)?(?x)?x?x??f(x)? ???（10）已知二次函数y?x?px?q的图像过原点和点(?4，0)，则该二次函数的最小值为 （A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12 ??函数图像过(0,0)和(?4,0)??22??q?022?y?x?4x?(x?2)?4?y??4?? min?16?4p?0?p?4?（18）函数y?x?x在点(1,2)处的切线方程为 y?3x?1 ??k? （A）y?log3x （B）y?3x （C）y?3x2 （D）y?3sinx （7）下列函数中，函数值恒大于零的是 （A）y?x2 （B）y?2x （C）y?log2x （D）y?cosx （8）曲线y?x2?1与直线y?kx只有一个公共点，则k= （A）?2或2 （B）0或4 （C）?1或1 （D）3或7 y?2x?2yxy??2x??????y?x2?1的切线y??2x就与y?x2?1只有一个公共点，???2?y?x?1y???2?????2y?2x?y?2x??x??1,k?y???2xy?2x????（9）函数y?lgx?3-x的定义域是 （A）（0，∞） （B）（3，∞） ?（C）(0，3] （D）（?∞，3] [由lgx得x>0，由3-x得x?3，?xx?0???xx?3?=?x0 （13）过函数y?6x上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则?OPQ的面积为 （A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设Q点的坐标为x，则S?OPQ?12yx?12?6xx?3] 五、数列 2001年 (11) 在等差数列?an?中，a5?8，前5项之和为10，前10项之和等于（ ） (A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70 =10，d=3 2225(a10?a6)5(a5?5d?a5+d)5(2a5?6d)5(2?8?6?3)=S5?=S5?=10?=95 S10=S5?2222==5(a1?a5)5(a5?4d?a5)5(8?4d?8)注：S5=?an?1(23) (本小题11分) 设数列?an?，?bn?满足a1?1，b1?0且??bn?1?2an?3bn?an?2bnn?1,2,3,......。 (i)求证an??3bn和an???3bn都是等比数列并求其公比； ? (ii)求?an?，?bn?的通项公式。 ?1， 2， 7， 29， ???， 2an?1?3bn?1??an?：证(i) ? 0 1， 4， 43???， an-1?2bn-1???bn?：，? ?a an?n3bn:1， 2?3bn? 可见an?an?1??3bn?1?3， 7?43， 29?153， ???， a?3b ?:1， 2?3， 7?43， 29?153， ???， a?3b 3b?与?a?3b?的各项都不为0. =2a?3b?3a?23b=?2+3?a??3?23?b=?2+3??annnnnnnnnnnnnn?3bn ?q=an?1?3bn?13bn?an??=2+3， 所以，an????3bn是等比数列且其公比为q=2+3 3an?3?23bn=2??an?1? 3bn?1=2an?3bn?3an?23bn=2?11 ?????3an???3bn ?an?1?an?3bn?13bn=2?3 所以，an??3bn是等比数列且其公比为q=2??3 (ii) 由an?a1qn?1得 ??an????an?3bn=(2?3bn=(2?1??(2?3)n?1?(2?3)n?1?a=n??3) 2?， 得：? n?133) ?b=?(2?3)n?1?(2?3)n?1?n?6??n?12002年 （12） 设等比数列{an}的公比q?2，且a2?a4?8，则a1?a7等于（ ） （A）8 B．16 （C）32 （D）64 （a1?a7?a2q322 ?a4q?a2a4q?8?2?32）21?2n?1n?2n?22（24）（本小题12分）数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an?xn?(n?1)?1?a1a2???an。 2， （Ⅰ）求证{xn}是等比数列； （Ⅱ）记Sn?x1?x2???xn，求Sn的表达式。 证（Ⅰ）因an>0，(n?1)2?1?>?，故{xn}为正数列。当n>2时 xnxn?1=(n?1)?1?a1a2???ann?1?a1a2???an?1=2(n?1)?1?n?1?22222=2(n?1)?1?n?1?22an=(n?1)?1?n?1?2221?2n?1n?2n?22 n?1n?2n?2=2 可见{xn}的公比是常数（Ⅱ）由x1?2，故{xn}是等比数列。 xn3?2得：5?2?1??2，q?5xn?1a1(1?q)1?q3nSn?x1?x2?????xn??2n?3?2(1?1?n?32)2n?2(2?1)(2?1)?(2?1) (2?2)n?2nn3 ?2n?2?2?2?(2)?(2)?22?22003年 （23）已知数列?an?的前n项和Sn?2an?3. （Ⅰ）求?an?的通项公式， （Ⅱ）设bn?nan2n，求数列?bn?的前n项和. 解（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?2a1?3，故a1?3， 当n?2时，an?Sn?Sn-1?2an?3?(2an?1?3)?2an?2an?1， 故an?2an?1，q?nan2nanan?1n?1?2an?1an?13n， 2?2，所以，an?a1qn?1?3?2n?1 （Ⅱ）bn??n?3?22n?∵q?bnbn?13nn2?? ，∴?bn?不是等比数列 3(n?1)n?1212 ∵d?bn?bn?1?3n3(n?1)3??， ∴?bn?是等差数列 22233?n)n(b1?bn)?n3n22??(n?1) ?bn?的前n项和：Sn?224(2004年 （7）设?an?为等差数列，a5?9，a15?39，则a10? （A）?? （B）?? （C）?? （D）?? 1?? a?a?9d,??a?a?2a?18d?2a,??a是a和a的等差中项，a?(a?a)?241015151101051510515??2??（23）（本小题满分12分） 设?an?为等差数列且公差d为正数，a2?a3?a4?15，a2，a3?1，a4成 等比数列，求a1和d. 解 由a2?a3?a4?3a3?15，得a3?5， a2?a4?10???????① 由a2，a3?1，a4成等比数列，得a2?a4?(a3?1)2?(5?1)2?16 ② ??a2?a4?10????????①?a2??2???????d?a3?a2?5?2?3由?，得?，? a?a?d?2?3??1?12??a2?a4?16 ②?a2?8(大于a3,舍去) 122005年 （13）在等差数列?an?中，a3?1，a8?11，则a13? （A）?? （B）?? （C）?? （D）?22 ?a8?a3?(8?3)d?1?5d?11, d?2, a13?a3?(13?3)d?1?10d?1?10?2?21? ?或者这样解：a是a和a的等差中项，?2a=a+a，a=2a?a=2?11?1=21831381331383??（22）（本小题满分12分） 已知等比数列?an?的各项都是正数，a1?2，前3项和为14。求： （Ⅰ）数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?log2an，求数列?bn?的前20项之和。 解（Ⅰ）S3?a1(1?q)1?q3?2(1?q)1?q3?2(1?q)(1?q?q)1?q2?14， 得q?q?6，?2?q1?2n?1n?1n?2?2?2 ，所以，an?a1q?q2??3(不合题意,舍去)n（Ⅱ）bn?log2an?log22?n， 数列?bn?的前20项的和为S20?1?2?3???20?2006年 （6）在等差数列?an?中，a3?1，a5??7，则a7? (1?20)?202?210 （A）?11 （B）?13 （C）?15 （D）?17 ?a5?a3?(7?3)d?1?2d??7, d??4, a7?a5?2d??7?2?(?4)=?15? （22）（本小题12分） 已知等比数列?an?中，a3?16，公比q?（Ⅰ）数列?an?的通项公式； （Ⅱ）数列?an?的前7项的和。 13 12。求： ?1??1?解（Ⅰ）a3?a1q，a1???=16，a1=64，an?a1qn?1?64????2??2?22n?1?27?n?2?261?n?27?n 7??1??64?1????7n??2??a1(1?q)1???1?????（Ⅱ）S7???128?1????=128?1???127 11?q128??2??????1?22007年 （13）设等比数列?an?的各项都为正数，a1?1，a3?9，则公比q? （A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3 （23）（本小题满分12分） 已知数列?an?的前n项和为Sn?n(2n?1), （Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断an?39是该数列的第几项. 解（Ⅰ） 当n?2时，an?Sn?Sn-1?n(2n?1)?(n?1)?2(n?1)?1??4n?1 当n?1时，a1?S1?1?(2?1?1)?3，满足an?4n?1， 所以，an?4n?1 （Ⅱ） an?4n?1?39，得n?10. 2008年 （15）在等比数列?an?中, a2=6，a4=24，a6= 22??a4242??96? （D）384 （A）8 （B）24 （C）96 ?a2a6?a4?a6?a26??（22）已知等差数列?an?中，a1?9，a3?a8?0 （Ⅰ）求等差数列的通项公式 （Ⅱ）当n为何值时，数列?an?的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则 a3?a1?2d，a8?a1?7d，a3?a8?a1?2d?a1?7d?2a1?9d?0 将a1?9代入2a1?9d?0得：d??2， 该等差数列的通项公式为an?a1?(n-1)d?9?(n-1)?(?2)?11?2n （Ⅱ）数列?an?的前n项之和 Sn?n(a1?an)2?n(9?11?2n)2?10n?n 2n?52??10?2n?0，n?5，Snmax?(10n?n)令Sn?25 六、导数 2001年 (22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 x0.5x)元/本，售量为b(1?)本。设此时销售总金额为y，则： 解 涨价后单价为a(1?10010020.5xx0.5x0.5x0.5xy=a(1?)b(1?)=ab(1??), 令y?=ab(?)=0，得x?50 1001001001000010010000所以，x?50时，销售总金额最大。 2002年 14 （7） 函数y?12x?x?3的最小值是 257（A）? （B）? （C）?3 （D）?4 2211217????2x?1,x??,ymin?2? y（?）?（?）?3????2222??（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造 价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy?16004?400，y?400x 400x2u?40xy?20?4(2x?2y)?40?400?160(x?y)?16000?160(x?令u?=0，得1?400x)， u?=160(1?)400x2 ?0，x?20(x??20舍去) umin??16000?160?(x?)?x???400?x?20?16000?160?(20?40020)?22400(元) 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年 （10）函数y?2x3?x2?1在x?1处的导数为 （A）5 （B）2 （C）3 （D）4?y??x?1?(6x?2x)2x?1?4? ?2004年 （15）f(x)?x3?3，则f?(3)= （A）27 2005年 （17）函数y?x(x?1)在x?2处的导数值为 5 ??y?3?f?(3)?3x2x?3?27? （B）18 （C）16 （D）12 x?2?(2x?1)x?2?5?? （21）求函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分） 22解 令y??3x?3?3(x?1)?3(x?1)(x?1)?0，得x1?1，x2??1（不在区间[0,2]内，舍去） yx?0?0, yx?13?1?3?1??2, y3x?2?2?3?2?2 3可知函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为?2. 2006年 （17）已知P为曲线y?x上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3x?y?2?0 （B）3x?y?4?0 （C）3x?y?2?0 （D）3x?y?2?0 ?k?y??x?13??3x2?x?1?3, P点的坐标：(1,1), y?1?3(x?1)?3x?y?2?0? ?2007年 （12）已知抛物线y?4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 （A） 45或?245 （B） 54或?54 （C）1或?1 （D）3或?3 1y??22由y?2px和y?4x得p=2, x?p?5???x?4 ?y??4????k???1? ?2x??（18）函数y?x?x在点（1，2）处的切线方程为 y?3x?1 15 2 （11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有 （A）12种 （B）8种 （C）6种 （C2） （D）4种 42006年 （11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有 （A）?种 （B）?种 （C）??种 （P33?P22） （D）??种 2007年 （16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？ 2（A）400 （B）380 （C）240 （D）190?C20? 2008年 （12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有 （A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种 （甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为C?25PnPmmm?n(n-1)…(n-m?1)m!?5?42?10） 十六、概率与统计初步 2001年 (15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ） (A) 2002年 （15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ） ?P31P21（A） （B） （C） （D） ?251055?C513231413343 (B) (C) (D) 113?1?P3(1)?C3 ?0.5?(1?0.5)?3/8??8??? ?（19）设离散型随机变量?的概率分布列是 ? p －2 0．3 0 0．2 1 0．1 2 0．4 则?的数学期望是 0.3 （?0.2?0.3+0?0.2+1?0.1+2?0.4）。 2003年 （12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是 ?C32?111（A） ?2? （B） （C） （D） 5?C6?31041（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下 99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110 则该篮球队得分的样本方差为 56.16 2004年 （11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是 （A） 12 （B） 13 （C）14 （D） 18 （19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm） 31 180， 188， 200， 195， 187 则身高的样本方差为 47.6 2005年 （15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为 ?2P77?11（A） （B） ?8? （C） （D） 24?P8?81611（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下： 98.6，100.1，101.4，99.5，102.2 该样品的方差为 1.7 （g2）（精确到0.1g2） 列表求解如下： xi 98.6 15100.1 101.4 99.5 102.2 x (98.6+100.1+101.4+99.5+102.2)=100.36 xi?x ?1.76 3.0976 2?0.26 0.0676 21.04 1.0816 ?0.86 0.7396 1.84 3.3856 ?xi?x ?2s 2s?1nn?(xi?x)?i?11n(3.0976?0.0676?1.0816?0.7396?3.3856)?1.7 2006年 （16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为3的概率是 111212（A） （B）(P??) （C） （D） 339933（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm） 13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6 则该样本的方差为 0.2725 2007年 （17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为 （A）0.01 （B）0.02 ?(1?0.8)(1?0.9)? （C）0.28 （D）0.72 （20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11 则该样本的方差为 4.5 2008年 （16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是 （A） 122515110 （B） （C） （D） （21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下: 1004 1001 998 999 1003 则该样本的样本方差为 5.2 cm2 32