汕头市2007年高二年级统一测试题
理 科 数 学
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A∪B）= P（A）+ P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A∩B）= P（A）· P（B）
圆锥的侧面积公式 S=?rl 其中r、l分别表示圆锥的底面半径和母线 球的表面积公式 S=4?R 其中R表示球的半径
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；
2．第13题、14题、15题为选答题，考生选答其中两题，三题都答的只计算前两题得分。
2第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知m?R, 向量a??m,1?，若a?2，则m? ( )
A ．1 B．3 C．?1 D．?3 2．已知R为实数集，M?{x|x2?2x?0},N?{x|x?1}，则M?(CRN)?( )．
A．{x|0?x?1} B．{x|0?x?2} C．{x|x?1}
D．?
3． 满足条件a?4,b?32,A?450的?ABC个数是 （ ） A．一个 B．两个 C．无数个 D．零个
4．已知命题p：\?x?[1,2],x2?a?0\，命题q： \?x?R,x2?2ax?2?a?0\。若
命题\p且q\是真命题，则实数a的取值范围为 （ ） A． a??2或a?1 B． a??2或1?a?2
C． a?1 D． ?2?a?1 5．(x3?1xxA．84 B．－84 C．36 D．－36
)9的展开式中常数项是 （ ）
6．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ） 2
主视图
23 左视图
俯视图
A．2，23 B．22，2 C．2，4 D．4，2
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7．已知??{(x,y)|x?y?6,x?0,y?0}，A?{(x,y)|x?4,y?0,x?2y?0}，若向区域?上随机投一点P， 则点P落入区域A的概率为 ( )
A．
12 B． 33 C．
21 D．
99x2y28．已知点F1、F2分别是椭圆2?2?1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆
ab交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是 ( )
A．
y
1123 B． C． D． 2323A F1 B F2
第二部分 非选择题（共110分）
x 第8题图
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卷题中横线上） 9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5 ，现用分层抽样的方法抽出一个样本，样本中A型号的产品共有16件，那么此样本容量共 件．
10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是
211．抛物线y??x?6与直线y?5围成的图形的面积
开始a?1,s?1a?4?否 是 输出s 是__ ___.
s?s?9结束a?a?1x12．已知f?x?是奇函数，满足f?x?2??f?x?当x??0,1?时，f?x??2?1 ，则
1??f?log2?= ．
24??
▲ 选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分。
13．如图，⊙M和⊙O交于A、B两点，点M在⊙O上，⊙O的弦MC分别与弦AB、⊙M交于D、E两点，若MD?1,DC则⊙M的半径为 ．
CBEMDO?3,
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A第13题图11?的最小值是 ． 2ab3??15．在极坐标系中，已知点A（1，）和B(2,),则A、B两点间的距离是 ．
4414．设a,b为正数，且a?b?1，则
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16．（本小题满分12分）
已知tan??2． （Ⅰ）求tan?
17．（本小题满分12分）
设函数f(x)?logax（a为常数且，已知数列f(x1),f(x2),?f(xn),?是a?0,a?1）公差为2的等差数列，且x1?a2. （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）当a?
??????的值； （Ⅱ）求cos2?的值． ?4?11时，求证：x1?x2???xn?. 23
18．（本小题满分14分）
已知7件产品中有4件正品和3件次品.
(Ⅰ)从这7件产品中一次性随机抽取3件，求正品件数不少于次品件数的概率； (Ⅱ)从这7件产品中一次性随机抽取5件，记其中次品件数为?，求?的数学期望．
19．（本小题满分14分）
如图，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA?AB?2，
BC?4,E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD； （Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值．
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20．（本小题满分14分）
已知椭圆C的两个焦点分别为F1（0,－22）,F2（0,22）,离心率e?（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）经过椭圆C的左顶点A和焦点F1（0,－22）、F2（0,22）作圆，一条不与坐标轴平行的直线l与圆交于不同的点M、N,且线段MN的中点的横坐标为?取值范围.
21、（本小题满分14分）
已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是（0，5），且f(x)在区间［－１，４］上的最大值是12． （Ⅰ）求f(x)的解析式；
（Ⅱ）是否存在自然数m,使得方程f(x)?2． 21,求直线l斜率的237?0在区间（m,m+1）内有且只有两个不等的x实根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）设函数h(x)?f(x)（ x>0），若存在实数a，b（a 第 4 页 汕头市2007年高二年级统一测试理科数学 参考答案及评分标准 一、选择题：（每小题5分，共40分） 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 A 5 A 6 C 7 D 8 D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．80 10．9?729 11．三、解答题： 3341?215．5 12．? 13．2 14 232?tan????415. 解：（Ⅰ）∵tan??2，?tan????? ， ……2分 ??4?1?tantan?41?2??3． ……4分 ?1?1?2sin??2． ……6分 （Ⅱ）?tan??2， ∴ cos? ∴sin??2cos?． tan∴sin??4cos?． ……8分 22∴1?cos??4cos?． ∴cos??22?221． ……10分 5 ∴cos2??2cos??1?2?16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?f(x1)?logaa2?213?1??． ……12分 55d?2?f(xn)?2?(n?1)?2?2n 即:logaxn?2nxn?a2n 。 --------6分 n1?1?（Ⅱ）当a?时，xn??? ， 2?4?1?1?1????n4?4?41??1??1x1?x2???xn???1????? 。 ----------12分 13???4???31?417．（Ⅰ）抽出的产品中正品件数不少于次品件数的可能情况有 2130C4C3?C4C3?22种， ----------3分 n3从这7件产品中一次性随机抽出3件的所有可能有C7?35种， ----------5分 第 5 页 抽出的产品中正品件数不少于次品件数的概率为（Ⅱ） 22。 ----------7分 353 23C4?C36 ?5C721? P 1 41C4?C33 ?5C7212 3C4?C3212 ?5C721----------12分 E??1?312615。 ----------14分 ?2??3??212121718．解法一：（Ⅰ）?PA?平面ABCD，CD?平面ABC，?PA?CD.………2分 ?ABCD是矩形, ?AD?CD. 而PA?AD?A, ?CD?平面PAD. ……………4分 CD?平面PDC， ?平面PDC?平面PAD. ……………………6分 （Ⅱ）连结AC、EC，取AD中点O， 连结EO ， 则EO//PA, ∵PA?平面ABCD， ∴EO?平面ABCD. 过O作OF?AC交AC于F，连结EF， 则?EFO就是二面角E?AC?D所成平面角. ………………………8分 由PA?2，则EO?1. 在Rt?ADC中，AD?CD?AC?h 解得h?45. 525. ………………………10分 535而EO?1，由勾股定理可得EO?. ………………………12分 525OF2cos?EFO??5?. ……………………14分 EF3355解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z 轴建立 因为O是AD的中点，所以OF?空间直角坐标系，则A(0，0，0) , B(2，0，0), C(2，4，0) , D(0，4，0) ， E(0，2，1) , P(0，0，2) . ………………………2分 ????????????∴AB＝(2，0，0) , AD＝(0，4，0) , AP＝(0，0，2) , CD＝(－2，0，0) , ????AE＝(0，2，1) , AC＝(2，4，0) . ………………………3分 （Ⅰ）?CD?AD?0, ?CD?AD.又?CD?AP?0, ?CD?AP . ……5分 ?AP?AD?A, ?CD?平面PAD, 而CD?平面PDC, ∴平面PDC⊥平面PAD. ………………………8分 第 6 页 （Ⅱ）设平面AEC的法向量n= ?x,y,z?,令z?1，则n??x,y,1?. ?x?1??2y?1?0?n?AE?0??x,y,1???0,2,1??0?由?即?????1 z ?x,y,1???2,4,0??0?2x?4y?0?y????n?AC?0?2P ?1?,1?. ………………11分 2?????平面ABC的法向量AP＝(0，0，2) ． ∴n=?1,???E A D y cos?n,AP??n?APn?AP?23?22?2． 3B x C 所以二面角E?AC?D所成平面角的余弦值是 2． ……………………14分 319．解（Ⅰ）由题意知:椭圆焦点在y轴上，中心在坐标原点，且2c?42,e??ca2…3分 2 …………… 5分 ?c?22,a?4,b2?8 ， x2y2??1 ． ……………6分 由已知条件知椭圆的焦点在y轴上，故其方程为: 816(Ⅱ) 解:设直线l的方程为y=kx+b, M?x1,y1?,N?x2,y2?,其中点为?x0,y0?, 则由（Ⅰ）知A(－22，0 )，所以过三点A(－22，0 )、F1（0,－22）、F2（0,22） 的圆的方程是 x?y?8， ……………8分 将y=kx+b代入x?y?8得:(1?k)x?2bkx?b?8?0 ， ……………9分 22222221?bk????由题设条件可得?1?k2 ， ……………11分 2???(2bk)2?4(1?k2)?(b2?8)?0?1?k221?k2212,b?8(1?k) ?()?8(1?k2)?k2?化简整理得:b? ，……12分 2k2k31解得：k?3131 ， ……………13分 或k??31313131)?(,??) ． ……………14分 3131第 7 页 ∴直线l斜率的取值范围是 (??,?20．解:（Ⅰ）∵f(x)是二次函数，f(x)＜0的解集是（0，5）， ∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0）， ………………………… 2分 ∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a, …………… 3分 由已知得6a=12,∴a=2 ， ∴f(x)=2x(x-5)=2x-10x (x∈R) ， …………… 5分 （Ⅱ）方程f(x)+ 3 2 2 373 2 =0等价于方程2x-10x+37=0 ， ………… 6分 x设h(x)= 2x-10x+37.则h'(x)?6x2?20x?2x(3x?10)， 10') 时,h(x)?0,h(x)是减函数, ……… 7分 310'当x∈(,+∞) 时, h(x)?0,h(x)是增函数, ……… 8分 3101∵h(3)=1＞0，h()=?＜0，h(4)=5＞0， 3271010∴方程h(x)=0在区间(3,)，(,4)内分别有唯一实数根， 33当x∈(0, 而在区间（0，3），（4，+∞)内没有实数根。 ……………………… 9分 ∴存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+ 37=0 在区间（m,m+1）内有且只有两个不同 x的实数根。 ……………………………10分 （Ⅲ）若存在实数a，b（a ①当a,b?(0,5)时，由于[a,b]?(0,5),h(x)?5（x>0）的定义域为[a，b]时，值域x5?1在[a，b]上是减函数， x?5?1?kb??a故?．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在． ……………11分 5??1?ka??b②当a?（0，5）,b??5,???时， h(5)?0在值域内，值域不可能是[ka，kb]， 所以a，b不存在． ………………12分 ③ 当a,b?[5??)时，[a,b]?[5,??) ， 此时h(x)?1?55?1? 在[a,b]上是增函数， xx第 8 页 ?51??ka2???f(a)?ka,?ka?a?5?0?a ∴? 即 ? ，??2， ??f(b)?kb.?kb?b?5?0?1?5?kb??ba， b是方程kx2?x?5?0的两个根． 即关于x的方程kx2?x?5?0有两个大于５的实根．……………………13分 设这两个根为x1，x2．则x1+x2= 15，x1·x2=． kk1????0?1?20k?0,?k????20∴?(x1?5)?(x2?5)?0 ， 即 ?1 ， ??1?10?0.?(x?5)(x?5)?0??k??k2?1?10?可解得0?k? 1?1? 故k的取值范围是?x0?k??．……………14分 2020??注：答题纸没电子稿，另附文本稿。 第 9 页