中学代数研究作业
第一章
自然数系和0
1、用自然数的序数理论证明：
数 与 数 系
（1）3?4?7 （2） 2、把
n23?4?12
个互不相等的自然数排成一个n级方阵，取每行数的最大数，
得n个数，设其中最小的一个是x；再取每列数的最小数，又得n个数，设其中最大的一个是y.试比较x与y的大小. 3、考察下列等式 2+3+4=1+8 5+6+7+8+9=8+27 10+11+12+13+14+15+16=27+64
????? 试猜想一个一般公式，并加以证明.
4、证明：在2n?2n （n?N）个相等的小方格组为的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这样3个小方格构成的L形块恰好铺满. 5、证明：可以把自然数1，2，3，??，n 相邻两数之差不超过2. 6、 已知
f(1)?f(2)?1
(n?3)
围成一圈， 使每
f(n?2)?f(n?1)?f(n) n?1,2,?
求证 对任何m,n?N，有
f(n?m?1)?f(n)f(m)?f(n?1)f(m?1)
7、 设 f(n)?2n?1
?1.
?3n?1?g(n)??
??fg(n?1),n?2,3,?,?? 求证
g(n)?2n?1 1
中学代数研究作业
8、现有111张卡片，在每张卡片上都写上一个自然数，若这111个自然数的和小于3136，证明至少有3张卡片上的数相等. 9、 已知f(m,n)对任何m,n?N，满足
?f(1,n)?n?1,??f(m?1,1)?f(m,2),?f(m?1,n?1)?f(m,f(m?1,n)),?
求证：1）f(2,n)?n?2 2）f(3,n)?2n?2 3）f(4,n)?2n?2整数环 1、已知
p10a?b,p10c?d，求证 pad?bc.
?1.
a?b?2
2、设2不整除a，求证 8a23、设a,b?Z， 求证 2a3?b3的充要条件24、已知
a?k?10n.
，n?N ，k?N??0? ，
求证：(a?1)(a?3)(a?7)(a?9)的末三位数是189. 5、证明：前n个自然数的和的个位数码不能是2，4，7，9. 6、已知
f(1)?f(2)?1
f(n?2)?f(n?1)?f(n)f(n).
n?1,2,?
求证 当4n时，37、证明从1，2，??，100里任意取出的51个数中，至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数. 有理数域
1、 把下列分数可以化成怎样的循环小数，并且指出循环节长：
2
中学代数研究作业
1）
166 ； 2）
2925； 3）
34608 ； 4）
41001.
2、把下列小数可以化成分数 1）0．83654 2）0.37689345 3、已知
f(1)?f(2)?1 f(n?2)?f(n?1)?f(n)。。.. n?1,2,?
an表示f(n)的个位数码，求证 0.a1a2?an?是有理数. k,n?N,an表示 1k?2k???nk
4、已知 的个位数码，
求证 5、将
17980.a1a2?an?是有理数.
分解成三个单位分数之和，能够分成四个吗？
实数集
1、 下列闭区间是否组成闭区间套？能否确定唯一的实数？ 1）??13?n?2??24??n，?，?，?，?,?，，?; ??22??33??n?1n?1???3??2n?1?，1?，?，1?，?,?，1?，?; 242n??????b,d 2）??12、设a,b,c,d?Q,3、已知 0＜ak＜
是无理数，且a?b?c?d, 求证：a?c,b?d 中至少有两个数，
2 ，k2?0,1,?,n, 求证在a0,a1,?,an它们差的绝对值小于
n .
a,n4、设a＞0，b＞0，a,b互素，n求证nabb不全是整数，
是无理数.
b)是无理数.
5、设a＞1，b＞1，a,b互素，求证lg(a6、证明
2?3是无理数.
7、求适合x2??x??2?0的一切实数.
3
中学代数研究作业
复数域
1、 已知在三角形ABC中，?C求证： ?AC2、 设?1?cos??BD??2，D是AB上任一点，
??AB?CD?2??BC?AD?2?2
?isin??8是实数，求?.
3、 用复数的乘法证明： 1） 2）
arctanarcsin1345?arctan?arcsin_15513?arctan?arcsin17?arctan?18??4
1665?2
?64、在复平面内zz=3表示怎样的图形，求角的终边与这个图形 交点A所对应的复数.把OA按逆时针方向旋转到OB，
4???????求B点所对应的复数.
5、设P为定直线AB外任一点，把AP按逆时针方向旋转到AP?，
2??????? 再把BP按顺时针方向旋转到BP??，求证P?与P??的中点是定点. 2???????6、计算
（3?i）(1?i)10050
第二章 式、代数式、不等式
整式 1、如果
x?Ax?Bx?cx?d432?8x?是x2?Cx?D的完全平方，求A、B、C、D.
2、求ax3?bx2为完全平方式的条件. 能被x2?h23、如果ax3?bx2?cx?d整除，证明
ad?bc .
4、将下列各式作因式分解并指出所用方法 （1）a2?ab?6b?5a?35b?362
（2）bc(b?c)?ca(c?a)?ab(a?b) （3）(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?120
4
中学代数研究作业
（4）(a2?ab?b)?4ab(a?b)222
（5）(x?2)(x?3)(x?4)(x?6)?6x2 （6）a8?ab?b448
分式与根式 1、已知x22、已知
?x?1?0，求xxa?2b?cya?c14?1xz14的值. ，求证
ax?2y?z?bx?z?cx?2y?z??a?2b?c.
3、求下列各多项式的值： （1）x?（2）x?9?6223?3?22,f(x)?4x?40x?46x?1032
2,y?3?3?22,f(x,y)?3x?5xy?3y2
4、求下列各根式的值： （1）x?（2）x?5、求
5?15?1,y?5?15?1,x?y22
.
y?6,xy?4,x?y,x?x?yy2?3?2?2?3?2?2?2?3?2?2?2?3的值.
6、化简下列各式 （1）
4?7?12?40?35；
（2）
4?23?25?123?22
（3）??x??1??21??2n?11??? ??x?2???xn?12x??x??x? (x?1)
5
中学代数研究作业
指数式与对数式
1、已知log23?1.6,求log7254的值. 2、已知log147?a ，14b3、已知lg(1?4、已知?19)?a,lg(1??5，求log181243528的值.
)?b，试用a、b表示lg2,lg3. 求证 ???5(???)?1.
?log1218,??log54,
三角式与反三角式 1、证明 2、证明
cos?cos2?cos2??cos2??2nsin22n?1n?1?sin?.
cosx2cosx22cosx23?cosx2n?nsinx2sinx2n
第三章 方程
1、解方程 （1）?x2（2）?x2?7x?5??3x?21x?1922
?9(2x?5)(2x?7)?91
?2、用观察法、换元法、比例变形、因式分解等方法解下列方程： （1）求?x?1??x?2??x?3??5?6?7的有理根. （2）求x3?x2（3）x?1x?3x?3?0的实数根. 1a?a?
（4）(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?44 (5)(6)
6
x?5x?13x?7x?24x?30322?2x?7x?202x?11x?36x?45322
x?x?5?2x?5x?25?2x
2中学代数研究作业
3）已知m、n是有理数，方程x2求m?n的值. 4）设x1、x2是方程x25）已知m26）已知x??m?1，n?x?3?02?mx?n?0有一个根是5?2，
的两个不同的根，求x31?4x2?192的值.
?n?1，m?n32，求m5?n5的值. 的值.
?5x?a11?2，求
x?2x?x?87）当a在什么范围内取值时，方程x2两个相异实数根？ 8）能使关于x的方程
x?1x?1?x?1x?1?有且只有
2x?a?2x?12?0
只有一个实根的所有a的值的总和等于多少？
第四章 函数
1、如果A??1,2,3,4,5?,B??a,b,c,d,e?，确定下列各个序偶的集合中哪些是从A到B的函数？其中哪些是一对一而且到上的函数？并求它们的定义域. （1）f??(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)?
（2）g??(2,a),(3,a),(1,a),(5,a),(4,a)?
（3）h??(1,e),(5,d),(3,a),(2,b),(1,d),(4,a)?
（4）j??(1,a),(2,b),(3,c),(4,x),(4,e)? （5）k??(5,a),(1,e),(4,b),(3,c),(2,d)? 2、下列各个关系中，哪些是R到R的函数？其中哪些是一一对应？求出它们的值域,并指出哪些关系不是函数，为什么？ （1）s??(x,y)x,y?R,y?x? （2） t??(x,y)x,y?R,x? （4）v??(x,y)x,y?R,y2?y?1?12?
（3）u??(x,y)x,y?R,x?y?2?
（5）w??(x,y)x,y?R,y?2,当x?0时；y??2,当x?0时；y?0,当x?0时?
7
中学代数研究作业
3、求证函数y4、求函数y??x?xax21x2在区间（0，??）内有最小值
的最大值.
3232.
?b2(a?0,b?0)5、求证函数y?6、已知y（1）y??11?x12x?x?1?2x?x?1，当x?0时取最小值2.
的图像，用怎样的变换可作
，（2）y?1x?2x?22x?2x?22的图像？
7、根据参数a，求方程x28）已知映射f?3?a?1的解的个数.
2对应法则f:y??x?2x,对于实数:A?B,其中A?B?R，A中不存在原象，则k的取值范围是
?1 C、k?1
k?B,在集合
A、k?1 B、kD、k?1
9）下列函数中与函数y?A、y?x?2x?2x3相同的是
?2x B、y??x C、y??2x3 D、y?x2?2x
10）已知函数f(x)的定义域为（0，1），求f(x2)的定义域；已知函数
（0，1），求f(x)的定义域；已知函数f(x?1)的f(2x?1)的定义域为
定义域为??2,0?，若k?(0,1),求F(x)?答案：?x?1?x?0或0?x?1?；2f(x?k)?f(x?k)的定义域； x?3?；?x1??xk?1?x?1?k?
11）已知函数y?答案：0?k?1
kx?6kx?k?8的定义域是R，求实数k的取值范围.
12）（2007湖北模拟）记min?a,b?为a,b两数的最小值，当正数x,y变化时，t??x?min?x,2也在变化，则t的最大值为 2??x?y?y?22 . 答案：当x?
时，t取最大值
22.
8
中学代数研究作业
13）（2008上海春招）函数是 . 答案：??2，1???1，3? 14）求下列函数的值域 （1）y?x?x?1； （2）y?2f(x)??x?x?6x?12的定义域
x?2x?1 （3）y?12?x?x2.
3?答案：（1）?，?????4?(2)???,1???1,????4?(3)???,0???,???
?9?15）求函数y?2x?x?1的值域.
15?提示：换元法 答案：?,??? ??8?1x1?，当x??时，求f(x)的值域. ?,2??2?16）已知f(x)?1?17）（2007湖南）函数
?4x?4,x?1,?f(x)???x2?4x?3,x?1?的图象和函数
g(x)?log2x的图象的交点个数是 A、4 B、3 C、2 D、1
(?1?x?0),(0?x?1),?x?1?18）设函数y????x?求它的反函数.
19)(2007且
?1?log3(x?1)(x?4),?湖南模拟) 设函数y??x?4的反函数f(x?4)?2??1(x)，
f1()?a8，则f(a?7)? A、-2 B、-1 C、1 D、2
20、用番号标出下列函数单调性证明中的基本步骤，并用下划线方式指出其规范书写中的关键词.
9
中学代数研究作业
求证：函数f(x)?x2在（0，+?）上是增函数.
x2证明：设x1，x2是（0，+?）上的任意两个实数，且x1?f(x1)-f(x2)=x12，则
-x=(22x1?x2)(x1?x2)
?0
由x1，x2是（0，+?）上的任意两个实数，得x1?x2由x1?x2，得x1?x2?0
f(x2)?0
于是f(x1)-即f(x1)?f(x2)
x2所以，f(x)?在（0，+?）上是增函数.
第二章 式、代数式、不等式
1、（1）求解不等式
x?1x?2?0，并逐步标明解题依据
（2）写出列方程解应用题的基本步骤.
2、写出用图解法解不等式f(x) ?y?x2?22?9x?y?9?0 ?22x?y?9?x?y1?xy?33. 5、解不等式：(x?1)4 ?(x?3)4≥272 答案：x≤-5或x≥1 第五章 数列 1）在数列?an?中，a1?1，an?1?1?14an，bn?22an?1，其中n?N? （1）求证：数列?bn?是等差数列； (2) 求证：在数列?an?中对任意n?N?，都有an?1 10 ?an. 中学代数研究作业 2）（2008海淀区期末）设数列?an?的前n项和为Sn,a1以2为公比的等比数列。 ?1且数列?Sn?是 （1）求数列?an?的通项公式；（2）求a1?a3???a2n?1 ?1? 答案：（1）an???n?1?2??(n?1)22n?1； （2） (n?2)?13。 3）（2007海淀区模拟）已知数列?an?的前n项和为Sn, an?7Sn?2(n?2),a1?2 （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1olg2an，Tn?bn?1?bn?2???b2n，是否存在最小的正整数kk12， 使得对于任意的正整数n，有Tn?恒成立？若存在，求出k的 值；若不存在，请说明理由。 答案：（1）an?23n?2； ?4（2）存在最小的正整数k ，使得Tn?k12恒成立。 11 中学代数研究作业 2）（2008海淀区期末）设数列?an?的前n项和为Sn,a1以2为公比的等比数列。 ?1且数列?Sn?是 （1）求数列?an?的通项公式；（2）求a1?a3???a2n?1 ?1? 答案：（1）an???n?1?2??(n?1)22n?1； （2） (n?2)?13。 3）（2007海淀区模拟）已知数列?an?的前n项和为Sn, an?7Sn?2(n?2),a1?2 （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?1olg2an，Tn?bn?1?bn?2???b2n，是否存在最小的正整数kk12， 使得对于任意的正整数n，有Tn?恒成立？若存在，求出k的 值；若不存在，请说明理由。 答案：（1）an?23n?2； ?4（2）存在最小的正整数k ，使得Tn?k12恒成立。 11