1用DFT计算线性卷积：（了解） 算法流程如下：
x1(n)(0?n?N1?1)补零到N点N?N1?N2?1N点DFTX1(k)T(k)N点IDFTt(n)?g(n)x2(n)(0?n?N2?1)补零到N点N点DFTX2(k)
数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来经处理后马上输出去。然而：
y(n)?x(n)?h(n)?k????x(k)h(n?k)
?引入两个问题：
? x(n)没有全部进入，如何实现卷积？ ? 全部进入再卷积，又如何保证实时实现？
解决方法通常是将较长序列进行分段，然后计算每段子序列和较短序列的线性卷积，最后再将各段线性卷积结果序列进行相加得到结果。这类方法包括：重叠相加法和重叠
保留法。 2用DFT对模拟信号进行谱分析
编程实现：给定模拟信号x(t)?2sin(4?t)?5cos(8?t)，以t?0.01n(n?0:N?1)毫秒进行取样， 用DFT进行信号频谱分析：
① 若要能区别该信号中的两个频率分量，试问取样信号的长度至少为多少？共取多少采样点？②所用DFT的点数N分别等于128、256、1024，画出信号的N点DFT的幅度谱。③讨论幅度谱结果，N为多少时能分辨出信号中的所有频率分量？ clear;
N1=64;n1=0:N1-1; N2=256;n2=0:N2-1; N3=1024;n3=0:N3-1; t=0.01*n1;
x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); X=dft(x,N1); subplot(321);plot(t,x);title(' x(t)---N=64');
subplot(322);plot(t,abs(X));title(' abs(X)---N=64'); t=0.01*n2;
x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); X=dft(x,N2); subplot(323);plot(t,x);title('x(t)---N=256');
subplot(324);plot(t,abs(X));title(' abs(X)---N=256'); t=0.01*n3;
x=2*sin(4*pi*t)+5*cos(8*pi*t); X=dft(x,N3); subplot(325);plot(t,x);title('x(t)---N=1024');
subplot(326);plot(t,abs(X));title(' abs(X)---N=1024');
x(t)---N=64100-10100-10100-10200100010005000400020000 abs(X)---N=6400.20.4x(t)---N=2560.60.800.20.40.60.8 abs(X)---N=256012x(t)---N=10243012 abs(X)---N=10243051015051015
八、 思考题
1. 圆周卷积与线性卷积的关系，二者是否相同？在什么条件下相同？ 2. 离散信号的卷积运算有何用途？
3. DFT变换中补零对信号频谱的分辨率有影响吗？补零后频谱图有何变化？
4. 实验内容3中，若要能区别该信号中的两个频率分量，取样信号的长度至少为多少？ N分别为60、500时能否分辨出信号中所有频率分量？与（2）的结果比较。
实验五 离散傅立叶变换和快速FFT
一．实验目的
1.在理论学习的基础上，通过本实验，进一步加深对DFT的算法原理及性质的理解（因为FFT只是DFT的一种快速算法，所以FFT的结果必然满足DFT的基本性质）； 2.熟悉并掌握按时间/频率抽取FFT算法原理和子程序的应用； 3.学习用FFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法；
4.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题（如：混叠、泄露、栅栏效应等），
分析其原因，以便在实际中正确应用FFT。 二．实验原理
1. FFT 原理：DFT如果直接计算的话，计算量非常大，而且不利于信号的实时处理，在实际应用中遇到很大的困难，由此出现了很多快速的计算DFT的方法，在此我们以基2的时间抽取快速傅立叶算法为例。
2. 混叠：序列的频谱是被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱，避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高。
3. 泄露：用截短的序列来近似很长甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT对信号进行频谱分析，所得的频谱是原序列频谱的扩展。为了减少泄露的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。
4. 栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变化的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”所拦住，不能被观察到。减小栅栏效应的方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“栅栏”的位置，使频谱的峰点或谷点暴露出来。 三．实验内容
1.求序列x=[5 2 7 4 1 1 3 9]的快速傅立叶变换，并绘出幅频特性曲线； 提示：采用fft(x,N)函数，N为FFT的点数，当序列长度小于N时，系统自动在序列末尾补零；当序列长度大于N时，系统自动截断序列多余的部分。 x=[5 2 7 4 1 1 3 9];
N=length(x); xk=fft(x,N); n=0:N-1; stem(n,abs(xk));
3530252015105001234567
2.设一序列中含有两种频率成分，f1=2 Hz，f2=2.05Hz，采样率取为fs=10Hz，即 x(n)=sin(2?f1n/fs)+sin(2?f2n/fs)，根据公式2fs<
Nf1?f2，要区分出这两种频率成分，N必
须满足多少？
⑴取x(n)(0?n<128)时，计算128点FFT，并绘出幅频特性曲线；
⑵取x(n)(0?n<128)时，补384个0，计算512点FFT，并绘出幅频特性曲线； ⑶取x(n)(0?n<512)时，计算512点FFT，并绘出幅频特性曲线；
⑷分别改变FFT变换的点数和采样时间，对结果进行分析，对比看有何不同。
提示：补零时可采用zeros函数；(4)中，N，t的取值为N=512，t=0.1n；N=1024，t=0.1n；N=512，t=0.05n；N=1024，t=0.05n四种情况。 f1=2; f2=2.05; fs=10; N1=128; N2=512; n1=0:N1-1; n2=0:N2-1;
n3=n1*fs/N1; n4=n2*fs/N2; n5=n2*fs/N2; xn1=sin(2*pi*f1.*n1/fs)+sin(2*pi*f2.*n1/fs);
xn2=sin(2*pi*f1.*n2/fs)+sin(2*pi*f2.*n2/fs); xk1=fft(xn1,N1);xk2=fft(xn1,N2);xk3=fft(xn2,N2); subplot(311);plot(n3,abs(xk1));title('128点'); subplot(312);plot(n4,abs(xk2));title('512点补零'); subplot(313);plot(n5,abs(xk3));title('512点');
128点1005001005004002000012345512点补零678910012345512点678910012345678910
f1=2; f2=2.05; fs1=10; fs2=20; N1=512; N2=1024;
n1=0:N1-1; n2=0:N2-1; n3=n1*fs1/N1; n4=n1*fs2/N1; n5=n2*fs1/N2; n6=n2*fs2/N2; xn1=sin(2*pi*f1.*n1/fs1)+sin(2*pi*f2.*n1/fs1); xn2=sin(2*pi*f1.*n2/fs1)+sin(2*pi*f2.*n2/fs1); xn3=sin(2*pi*f1.*n1/fs2)+sin(2*pi*f2.*n1/fs2); xn4=sin(2*pi*f1.*n2/fs2)+sin(2*pi*f2.*n2/fs2); xk1=fft(xn1,N1);xk2=fft(xn2,N1); xk3=fft(xn3,N2);xk4=fft(xn4,N2);
subplot(411);plot(n3,abs(xk1));title('512点 t=0.1n'); subplot(412);plot(n4,abs(xk2));title('512点 t=0.05n'); subplot(413);plot(n5,abs(xk3));title('1024点 t=0.1n');