3.真空中一平面电磁波表达式为Ey?Ez?0，Ex?E0cos??t???y??，在t?t0时刻，c?y?y0 处的电场强度指向x轴负向，则该时刻处的磁场强度方向应该是[ B ]
A. X轴负向 B.Z轴负向 C.X轴正向 D. Z轴正向 答［B］
解：电磁波的表达式得知，电磁波的传播方向沿y轴负方向。对于平面波，波的传播方向就是能流方向，即坡印亭矢量方向。由坡印亭矢量，得到电场、磁场方向满足如下关系
???S?E?H 如图，可见，在t?t0时刻，y?y0 处，磁场强度方向必定沿着z轴负方向。
4.对于平面电磁波，E和H的相位 ，在空间任一点E和H的量值关系为 ，
??????E和H的偏振方向彼此 ，且均与波的传播方向 ，从而可知电磁波是 。
答：相同；
?E??H；垂直；垂直；横波。
５.由两块圆形导体板组成的平板电容器，圆板半径为1cm，中间为空气。当以5A的电流
dE；（２）极板间的位移电流密度Jd；dt（3）极板间的位移电流Id；（４）在圆板边缘处的磁感应强度B。
充电时，求：（１）电容器内部的电场强度变化率
解：平板电容器以恒定电流充电，板上的电荷量随时间正比增加；板上的电荷要在电容器内产生电场，电场强度随电荷量的增加，正比增强；电容器内变化的电场，产生位移电流；位移电流在电容器内产生磁场。
（1）极板上电量随时间的变化：Q?It ,
电荷面密度随时间的变化：??QIt? ， SS 极板间电场强度随时间的变化： E?则电场随时间的变化率：
?It??0?0S ，
dEI??1.8?1015V/m?S dt?0SIt（2） 极板间的电位移随时间的变化：D??? ，
S 位移电流密度：Jd?（3）极板间的位移电流：IddDI??1.6?104A/m2 dtS?JdS?I?5A ，
（4）极板内，只有位移电流。由于极板是圆形板，具有轴对称性，因此，位移电流在板内产生的磁场也具有轴对称性。由安培环路定理
??22dD2I2?RB??I???RJ???R???R??0I B?dl??I ?0d0d000d ，CdtS?IB?0?1.0?10?4T
2?R６.如图１５－１所示，平板电容器之间加交变电场
E?720sin(105?t)V?m?1 。
求距电容器中心连线r?0.01m处的P点，经过2?10s， 位移电流产生的磁场强度的大小。 解：极板间的位移电流密度
?5dDdEJd???0?720?105??0cos(105?t)
dtdt以r为半径绕极板中心作圆形安培环路，由安培环路定理： 2?rH??r2Jd ，解出
rJd?3.6?105??0cos(105?t)?10?5A/m 2７.真空中沿z轴负向传播的平面电磁波，其磁场强度的表达式为
z?? H?iH0cos?t???SI?，求电场强度的波的表达式。
?c?H? 解：
??????u??uk?E?H, H?Hi
[SI] ???0??0zE?jH?jH0cos?(t?)?0?0C
作业16
1.在地面参考系测得一星球离地球5光年，宇航员欲将此距离缩为3光年，他乘的飞船相对
地球的速度应是[ ]
A. 1c B. 3c C. 4c D. 9c
25510答：［C］
解：这里，要求宇航员的钟走3光年，是原时：?t?3；地面上的时钟测量，宇航员走5光年，是测时：?t?5。因此由?t/?/?t1?uc22，得到
5?31?u2c2，u?4c。 5注意：地面上仍然认为宇航员走了5光年。
2.火箭的固有长度为L，其相对地面以?1作匀速直线运动。若火箭上尾部一射击口向火箭首部靶子以?2速度发射一子弹，则在火箭上测得子弹从出射到击中靶的时间间隔为[ ]。
LLLL??????1??1? D. 1??1? A. B. C. ?2?1??2?1??2?2?c??c?答：［B］
解：事件发生在火箭上，与地面无关。当然，地面上测量这一时间间隔是不同的。
3.在K惯性系中x轴上相距?x处有两只同步钟A和B，在相对K系沿x轴以u速运动的惯性系K中也有一只同样的钟A。若xx轴平行，当AA相遇时，恰好两钟读数都为零， 则当A与B相遇时K系中B钟的读数为 ，K系中A钟的读数为 。
/
//
//
22//?x?xu2答：，1?2
uuc解：如图，在K系测量，A和B的距离为?x，钟A正在以速度u从A向B运动，钟A从A到达B所用的时间为
//
?x u这也就是B钟的读数。
?t??K/看来，A和B以速度?u运动，A和B的距离?x/是测量长度，因此
/由于A和B在K系中是静止的，所以，K系中测量，A和B的距离?x是原长；在系
(?u)2u2?x??x1?2??x1?2
cc?///由于在系K看来，B以速度?u运动，B运动距离??x所用时间?t为 ??x/?xu2?t??1?2
?uuc/
这就是A钟的读数。
/
可见，A钟与B钟相遇时，确实是：A钟读数小、B钟读数大，即似乎确实能分辨出来“A钟慢、B钟快”。
/
//
A/钟相对于K系运动，A/钟确实应该慢；而在K系看来，B钟也是运动的，也经该
慢。这似乎出现了矛盾。
如图，K认为：钟A与钟A相遇时，钟A与钟B根本没有校准，钟B的指针比钟A提前。（或者，从经典物理大致考虑：信号的传播是需要时间的，钟B指针指向“0”这一信号传到A时，将钟A调到“0”，此时，钟B已经过“0”了，即钟B比钟A提前了）。
如图，K认为：在对“AA相遇到A钟与B钟相遇所用时间的测量”中，A和B钟的测量结果是一样的，都比A钟测量的结果短，即A和B钟都慢；只不过是在AA相遇时，
/
///
///B钟的指针“提前”了，从而在A/钟与B钟相遇时，B钟的“读数”比A/钟的“读数”
大。可见，上面的结果，并不违反相对论，反而正是相对论的必然结果。 4.根据狭义相对论的原理，时间和空间的测量值都是 ，它们与观测者的 密切相关。
答：相对的，相对运动状态。
5. K、K系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K系相对与K沿x轴正方向匀速运动。一刚性尺静止于K系中，且与x轴成30角，而在K系中测得该尺与x 轴成45角，试求：K、K系的相对运动速度。 解：如图，在K系中测量，??30，所以 ?y??xtan???xtan300 在K系中测量，??45，所以 ?y/??x/tan?/??x/tan450
由洛伦兹变换，得到
////0//00/0u2?y??y，?x??x1?2
c2u?c
3//6.一匀质矩形薄板，静止时边长分别为a和b，质量m0，试计算在相对薄板沿一边长以v速运动的惯性系中测得板的面密度。
解：在相对于板运动的参照系中，长度收缩，同时质量增大。
质量为：m?质量密度为
m01?v2c2/22/；长度为：a?a1?vc，b?b
m0m0?0m1 ???//22222222abab(1?vc)1?vc1?vcab1?vc7.列车和隧道静止时长度相等，当列车以u的高速通过隧道时，分别在地面和列车上测量，
/列车长度L与隧道长度L的关系如何？若地面观测者发现当列车完全进入隧道时，隧道是
??的进、出口处同时发生了雷击，未击中列车，按相对论的理论，列车上的旅客会测得列车遭雷击了吗？为什么？ 解：（1）由于隧道相对于地面是静止的，而列车是运动的，所以，地面测量隧道的长度是原长，地面测量列车的长度是测长，即地面测量：
22/隧道长L1?l0，列车长L1?l01?uc
//地面测量隧道长L1与列车长L1的关系为：L1?L11?u2c2
由于列车相对于列车是静止的，而隧道是运动的，所以，列车测量列车的长度是原长，列车测量隧道的长度是测长，即列车测量：
22列车长L/2?l0，隧道长L2?l01?uc
地面测量隧道长L2与列车长L2的关系为：L2?L/21?u2c2
（2）地面测得雷击时刻火车完全位于隧道内，没有遭雷击。列车上的测量同样得出列车没有遭雷击。
设列车头到达隧道出口为事件A1，闪电到达隧道出口为事件A2；列车尾到达隧道进口为事件B1，闪电到达隧道进口为事件B2。在地面上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件A1与事件A2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车头与闪电同时到达隧道出口，闪电没有
/击中列车头；在地面上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的，因此在列车上测量，事件B1与事件B2是同时同地发生的两个事件，即在列车上测量，列车尾与闪电同时到达隧道进口，闪电没有击中列车尾。
事实上，“列车头到达隧道出口的事件A1”与“列车尾到达隧道进口的事件B1”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的；“闪电到达隧道出口的事件A2”与“闪电到达隧道进口的事件B2”，是在地面这一惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在列车这一惯性系中测量就不可能是同时的。
设“闪电到达隧道出口的事件A2”在地面测量A2(x1,t1)，在列车上测量A2(x1,t1)；“闪电到达隧道进口的事件B2” 在地面测量B2(x2,t2)，在列车上测量B2(x2,t2)。由于t1?t2,x2?x1?l0，则
/t1/?t2??(t1?////ux1ux2uu)??(t?)??(x?x)??l0?0 221c2c2c2c2可见，出口处雷击先发生，此时列车头部未出隧道；入口处雷击后发生，此时列车尾部进入
隧道。
8.伽利略相对原理与狭义相对论的相对性原理有何相同之处？有何不同之处？ [答] 相同：力学规律对一切惯性系成立；
不同：狭义相对论的相对性原理要求所有物理规律对一切惯性系成立。 9.“同时性”的相对性是针对任意两个事件而言的吗？ [答] 不是，要求两个事件发生在不同地点。
同时同地发生的两个事件，在任何惯性系中测量都是同时发生的。
作业17
1.实验室测得粒子的总能量是其静止能量的K倍，则其相对实验室的运动速度为[ ]
A.
ccc1?K2 C. B.
K?1KKK2?1 D.
cKcKK?1
答：［C］
解：mc2?Km0c2，m?m01??21??2.把一静止质量为m0的粒子，由静止加速到??0.6c，所需作的功为[ ]
A. 0.18m0c2 B.0.36m0c2 C.1.25m0c2 D.0.25m0c2 答：［D］
解：Ek?mc2?m0c2?m0c2(，
m02?Km0， ?v?K2?1
11??2?1)?0.25m0c2
3.观测者乙以
3c的速率相对观测者甲运动，若甲携带质量为1kg的物体，则 5 (1) 乙测得物体的质量为： ； （2）甲测得物体的总能量为： ； (3) 乙测得物体的总能量为： 。 答：1.25kg；9?10J；1.125?10J。 解：v?16173c，m0?1kg 5
大连理工大学软件学院大学物理作业及答案
作业1
1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ] A．场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比。
B．对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变。 C．试探电荷受力F的方向就是场强E的方向。
D．若场中某点不放试探电荷q0，则F?0，从而E?0。
答案： 【B】
[解]定义。场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B正确。
2．一个质子，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]
??[解]qE?ma，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。
存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A和B错；质子沿曲线ACB运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB方向的分量（在C点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C错，D正确。
3．带电量均为?q的两个点电荷分别位于X轴上的?a和?a位置，如图所示，则
答案： 【D】
Y轴上各点电场强度的表示式为E= ，场强最大值的位置在y? 。
qyj，y??a/2 答案：E?32??0(a2?y2)2q[解]E?E1?E2 E1?E2?4??0(a2?y2)关于y轴对称：Ex?0,Ey?2E1cos?
?E?Eyj?qy322j
2??0(a2?y)dE沿y轴正向的场强最大处?0
dy? ? dE322222?(a?y)?y(a?y)2?2y y?a/2 y??a/2处电场最强。 dy24．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒MN。且二棒共面，若二棒的电荷线密度均为??，细棒MN长为l，且M端距长直细棒也为l，那么细棒MN35受到的电场力为 。
?2答案：ln2，方向沿MN
2??0[解] 坐标系建立如图：MN上长为dx的元电荷dq??dx受力dF?Edq。 无限长带电直线场强E??， 方向：沿x轴正向。
2??0x?F??dF??2ll?2?2dx?ln2；方向沿x轴正向。 2??0x2??05．用不导电的细塑料棒弯成半径为R的圆弧，两端间空隙为l?l??R?，若正电荷Q均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。 解：设棒上电荷线密度为?，则：??Q,
2?R?l根据叠加原理，圆心处场强可以看成是半径为R,电荷线密度为?的均匀带电园环（带电量为Q1?2?R?）在圆心处产生的场强E1与放在空隙处长为l，电荷线密度为??的均匀带电棒（可以看成是点电荷q???l）在圆心产生的场强E2的叠加。即：
E0?E1?E2;
?E1?0,?E0?E2?q24??0R???llQ?)?? E0?(?RR224??0R4??0R(2?R?l)?) (?R(方向从圆心指向空隙处)。
6．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电荷Q，下半段均匀带有电量?Q，求半圆中心处的电场强度。
解：按题给坐标，设线密度为?，有：??Q/(?2?
R) 。上下段分割，任意dQ在圆心产生
dE?(?) 对称性：E0x?0,Eo?Eoy?2E?y(2E?y)，dE?y??dE?cos?
?E0?2??dE?cos???2?dQcos?Qcos???2?Rd????4??0R24??0R2?2?0R202 方向沿y轴负方向。
7．线电荷密度为?的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为R，试求O点的场强。
答案：按题给坐标，O点的场强可以看作是两个半无限长直导线、半圆在O点产生场强的
????叠加。即：E0?E1?E2?E3
??由对称性，E1和E2在y方向的矢量和为零；在x方向矢量和是单根的2倍。 上半无限长导线取电荷元dq1??dx，它在O点的场强沿x方向的分量：
1qdxxdE1x??
4??0(R2?x2)R2?x2E1x????224??0?(R?x)01??dxxR2?x2??18??0??0?d(R2?x2)(R2?x2)1R2?x2
?4??0R?????E1x?E2x??i ，E1?E2??2??0R2??0R?由对称性，E3在y方向的分量为零。
在圆弧上取电荷元dq3??Rd?，它在O点的场强的x方向分量，
dE3x?14??0?Rd?R2cos?
?2E3x????4??21?Rd?0R2cos??1?2??0R?，E3?1??2??0Ri
????E0?E1?E2?E3?0
8．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？
答案：理论上说金属带正电后因失去电子，质量有所减少，但测量很困难。 9．以点电荷为中心，半径为R的球面上，场强的大小一定处处相等吗？
答案：如果点电荷是静止孤立的且周围介质均匀分布，则半径为R的球面上，场强大小一定处处相等，在其它情形，不一定处处相等。比如，点电荷周围还有其它的带电体，则球面上的场强应是各场强的叠加，可能不处处相等。
作业2
1．如图所示，把点电荷?q从高斯面外P移到R处?OP?OR?，
O为S上一点，则[ ]
A.穿过S的电通量?e发生改变，O处E变
B.?e不变，E变。 C.?e变，E不变。D.?e不变，E不变。
答案：【B】
[解]闭合面外的电荷对穿过闭合面的电通量无贡献，或者说，
闭合面外的电荷产生的电场，穿过闭合面的电通量的代数和为零；移动点电荷，会使电荷重新分布，或者说改变电荷的分布，因此改变了O点的场强。
2．半径为R的均匀带电球面上，电荷面密度为?，在球面上取小面元?S，则?S上的电荷受到的电场力为[ ]。
?2?S?2?S?2?SA. 0 B. C. D. 22?0?04??0R答案：【B】
解：应用高斯定理和叠加原理求解。如图所示。
面元?S上的电荷受到的库仑力是其他电荷
?在面元?S处产生的总电场强度E1与面元?S上的电荷量?Q???S的乘积：
???F1??QE1???SE1。
???S?SE面元处电场强度是面元电荷在此产生的电场强度E2与其他电荷在面元?S????处产生的总电场强度E1的矢量和，E?E1?E2。
首先，由高斯定理求得全部球面分布电荷在面元?S处产生的总电场强度 ??? E?R?0其次，面元?S上的电荷量?Q???S对于面元?S来说，相当于无限大带电平面，因此，面元?S上的电荷量?Q???S在面元?S处产生的电场强度为
???E2?R 2?0由叠加原理，其他电荷在面元?S处产生的总电场强度为
?????E1?E?E2?R
2?0面元?S上的电荷量?Q???S受到的库仑力为 ??????2?F1??QE1???SE1???SR??SR
2?02?0注：本题可以用叠加原理直接进行计算，太麻烦。
3．如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于[ ]。 A.
qq B. 6?012?0qqC. D.
24?048?0答案：【C】
[解] ：如果以A为中心，再补充上7个相同大小的立方体，则组成一个边长为小立方体边长2倍大立方体，点电荷q位于大立方体的中心。
由高斯定理，穿过大立方体表面的电通量为q/?0，大立方体的6个正方形表面相对于点电荷q是对称的，所以，穿过大立方体一个侧面的电通量是总电通量的1，即穿过大立
6方体一个侧面（可以考虑abcd所在的侧面）的电通量为
q6?0。
大立方体一个侧面，是由4个小立方体一个侧面组成的，而这4个小立方体侧面对于点电荷q也是对称的，所以，穿过小立方体一个侧面的电通量是穿过大立方体一个侧面的电通量的1，即穿过小立方体一个侧面的电通量为
4q24?0。
4．一半径为R长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?，在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r?r?R?，则P点的电场强度的大小= ，当r??L时，
E? ，当r??L时，E? 。
解：当r??L时，在柱体中垂面附近，带电柱体可以被看作无限长。以带电柱体的轴为对称轴，过P点作一个高为l（l??L）的柱面为高斯面，
如图所示。则由对称性，柱面高斯面的上下底面处电场强度处处与高斯面的法线垂直，电通量为零；柱面高斯面的侧面上，电场强度近似处处相等，并与高斯面的法线方向平行。则穿过高斯面的总电通量为
????????E?dS?E?dS?E?dS?E?????????dSSS1S2S3?????E?dS?2?rlES2
而高斯面包围的电荷量为
Q??l
由高斯定理，得到
2?rlE??l?0，E?? 2??0r如果r??L，则带电柱面体可以被看作点电荷，则
E??L
4??0r2
??dlOB与感生的涡旋电场EiOB垂直。因此，OA和OB上的电动势为零
???OA??d?OA??EiOA?dlOA?0
???OB??d?OB??EiOB?dlOB?0
由法拉第电磁感应定律，回路OACBO上的感应电动势为
?OACBO??OA??ACB??BO??OA??ACB??OB??ACB??d?OACBOdB??SOACBOdtdt
则弧线ACB上的电动势为
?ACB??dBdBSOACBO SOACBO，?ACB?dtdt弧线AB上的电动势为
dB|SABO2 dt回路OADBO上的感应电动势为
?OADBO??OA??ADB??BO??OA??ADB??OB??ADB?AB2?|??d?OADBOdB??SOADBOdtdt
则直线ADB上的电动势为
?ADB??dBdBSOADBO SOADBO，?ADB?dtdt由于SOACBO?SOADBO，所以?ADB??ACB
3.如图13-3所示,闭合线圈共50匝,半径r=4cm,线圈法线正向与磁感应强度之间的夹角
??600,磁感应强度B?(2t2?8t?5)?10?2T。求：t?3s时感应电动势的大小和方向。
解：穿过一个线圈的磁通量为：
????B?S?BScos?
感应电动势为：（取俯视时，逆时针方向为感生电动势的正方向）
?i??Nd?dB??NScos?dtdtd??N?r22t2?8t?5?10?2cos?
dt??N?r2?4t?8??10?2cos??????????it?3s??2.51?10?2V
dB?50T.S?1的均匀速率增加,已知dt４.如图１３－４所示，一均匀磁场被限制在R?1的圆柱形空间内,磁场以
???3,oa?ob?0.4m,求:等腰梯形导线框中的感应
电动势,并指出其方向。
解：线框abcda所围面积中只有abefa一部分有磁通量,此面积
S/?1212R??oasin??0.454m2, 回路abcda方向与磁场方向一致 22感应电动势?i??t10d?dB??S'??22.7V,负号表示其方向由d到c。 dtdt5.如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨
上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以
?v?100cm.s?1的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体
杆中的电动势。
解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：
t?????10?(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5eLvt
导体杆中的电动势为：
ttt????d?dd?tt????101010?i?????BLvt???Lv?1.5et???1.5Lv?1??e??0.15?1??e ??dtdtdt??10??10??6.一块金属在均匀磁场中平移或旋转，金属中会产生涡流吗?
[答] 不会产生涡电流。因为涡旋电动势是由磁场随时间变化产生。 7.变压器的铁芯总是做成片状的,而且涂上绝缘漆互相隔开，为什么? [答] 减少涡旋电流
5如图13-5所示，随时间变化的均匀磁场,磁感应强度B?1.5eT，在其中放一固定的U形导轨,导轨上有一长为L?10cm的导体杆可无摩擦滑动，设t?0时可滑动杆cd与ab重合，并开始以v?100cm.s的速度匀速向右运动，求任一瞬时导体杆中的电动势。
解：穿过导体杆L与导轨形成的线圈的磁通量：
t??????(t)?B(t)?S(t)?B(t)??Lvt??B(t)Lvt?1.5e10Lvt
?1?t10回路中的感生电动势为：
ttt????d?dd?tt?????i?????BLvt???Lv?1.5e10t???1.5Lv?1??e10??0.15?1??e10 ??dtdtdt??10??10??这是整个回路的感生电动势。 在t时刻，回路的长度为 l?2L?2vt
则在t时刻，导体棒cd上的感生电动势为
?icdLLLt??10???i??i??0.15?1??e
l2L?2vt2L?2vt?10?t在t时刻，导体棒cd上的动生电动势为
?cd??vBL
在t时刻，导体棒cd上的动应电动势为
Lt?????icd??cd??vBL?0.15?1??e2L?2vt?10?t?10
作业14
1关于长直螺线管的自感系数L的值，下列说法中错误的是[ ]。
A.螺线管的半径越大，L越大 B.充有铁磁质的L比真空的L大 C.通以的电流I的值越大，L越大 D.单位长度的匝数越多，L越大． 答：【C】
解：长直螺线管的自感系数 L??n2V，与螺线管是否通电流无关。 2.对于单匝线圈取自感系数的定义为L??。当线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布I不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L［ ］
A.变大，但与电流不成反比关系 B.不变 C.变大，与电流成反比关系 D.变小 答：【B】
解：自感系数只与线圈的几何形状，大小及周围磁介质分布有关，与是否通有电流无关。 ３.中子星表面的磁场估计为10T，则该处的磁能密度为 。
?3kg?m按质能关系，质量密度为 。 1解： 磁场能量密度为w?B2
2?0取中子星表面附近体积V，体积V内具有的磁场能量为Wm?wV，质量为m??V。
8按爱因斯坦质能关系E?mc，则
2Wm?wV?12?0B2V?E?mc2??Vc2， ??12?0c2B2，其中c为真空光速。
４.半径为2.0cm的螺线管，长30.0m，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。 求：（1）求此螺线管的自感系数。 （2）当螺线管中电流以3.0?10A?s的速率变化时，在线圈中产生的自感电动势多大？
[解]（1）L??nV??n ?7.58?10?5222?1?R2L?4??10?7?(1200/30.0)2???0.022?30.0
亨利
dI?2.27?10?2V dt5.如图14-1，面积为S1总匝数N1的线圈，套在面积为S2长为l总匝数为N2的螺线管2上 ，螺线管中通有电流I2，
（2）?L?L求：（1）线圈1中的磁通量； （2） 线圈与螺线管的互感。
解：螺线管2产生的磁场（认为在线圈2内部，外部为零）
B2??0n2I2 ?21，其中 n2?N2 l
（1）螺线管2产生的磁场，穿过线圈1的磁通量（磁链）
?N1B2S2?N1?0n2I2S2，其中 n2?N2l（2）螺线管与线圈之间的互感系数
?21M??N1?0n2S2
I26.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，筒和圆柱之间充以电介质，电介质和金属的?r均可作取1。
求： 此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回）时，单位长度内存储的磁能，并通过和自感磁能的公式比较求出单位长度电缆的自感系数。 解： 磁场被限制在同轴电缆内，由安培环路定理可得
?Ir?2?R21??IH???2?r0???(0?r?R1)(R1?r?R2) (r?R2)磁场能量也只储存在电缆内，在（0?r?R1）范围内，取长度为
l的一段柱壳
dV?2?rldr （0?r?R1），其中储存的磁能为
Wm1??wdV??VR10?0I2l3?0I2lR3?0I2l rdr?rdr?44?016?4?R14?R11同样在（R1?r?R2）范围内，取长度为l的一段柱壳
dV?2?rldr（R1?r?R2），其中储存的磁能为
R2VR1 Wm2?wdV????0I2?0I2lR2
2?rldr?ln4?R18?2r2因此，长度为l的一段电缆中储存的总磁能为
?0I2lRWm?Wm1?Wm2?(1?4ln2) 16?R1单位长度内储存的磁能为
Wm?0I2Rwm??(1?4ln2)
l16?R1由自感磁能与自感系数的关系 Wm?1LI2，得
2L??0R(1?4ln2) 8?R17.如果电路中通有强电流，当突然打开电闸断电时，就有一大火花跳过电闸，为什么？
[解] 断电时电流变化剧烈，由于自感，在电闸的两极积聚大量的正负电荷，形成很强的电场，击穿空气。
8.两个相距不太远的线圈，如何放置可使其互感最大？如何放置可使其互感为零？ 解：平行放置互感最大，垂直放置互感为0
作业15
1.下述说法中正确的是[ ]
A.位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律。 B.位移电流由变化的磁场产生的
C.位移电流的磁效应不服从安培环路定理 D.位移电流是由变化的电场产生的 答：［D］
解：变化的电场产生位移电流（或者说，变化的电场产生磁场）。在产生磁场方面，位移电流与传导电流是一样的，位移电流的磁效应服从安培环路定理。但位移电流不是电子的定向移动，因此，位移电流不产生焦耳热效应。
麦克斯韦的“位移电流”假说，与他的“涡旋电场”假说不同，在涡旋电场的作用下，电子是会作定向移动的。
2.下列说法中正确的是[ ]
A.变化的电场所产生的磁场，一定随时间变化 B.变化的磁场所产生的电场，一定随时间变化 C.有电流就有磁场，没有电流就一定没有磁场 D.变化着的电场所产生的磁场，不一定随时间变化 答：［D］
解：变化的电场所产生的磁场，与电场随时间的变化率成正比B?dEdE ，而 可以dtdt是常数，即电场随时间的变化率固定时，变化的电场所产生的磁场也是不随时间变化的，dBdBA错。变化的磁场所产生的电场，与磁场随时间的变化率成正比E? ，而 可以
dtdt是常数，即磁场随时间的变化率固定时，变化的磁场所产生的电场也是不随时间变化的，
B错。在电流的周围存在磁场，即有电流就有磁场；变化的电场也可以产生磁场，C错。
?/?/证明： 用高斯定理，可以证明图中B1?B2；
??用安培环路定理，可以证明图中B1?B2
命题得证
作业10
1.如图10-1所示, 半导体薄片为N型，则a、b两点的电势差Uab [ ]。
A.小于零
B.等于零 C.大于零 答案：【A】
解：N型半导体是电子导电，电子在外电压的作用下，沿电流相反方向漂移。这一定向运动，在外磁
???场的作用下，电子受到洛伦兹力，F??ev?B，方向由b指向a，即电子还要向a端漂移。这样，在a端积聚负电荷，在b端积聚正电荷，形成一个由b指向a的横向电场，这一横向电场阻止电子向a端积聚。随着电子的积聚，横向电场越来越大，当电子受到的横向电场的
库仑力与电子受到的洛伦兹力达到平衡时，电子不再宏观的横向漂移，形成稳定的横向霍尔电场，在a、b两端形成稳定的霍尔电压。
由于b端是正电荷、a端是负电荷，所以，b端电势高、a端电势低。
2.如图10-2所示,半圆形线圈半径为R，通有电流I，在磁场B的作用下从图示位置转过
300时，它所受磁力距的大小和方向分别为[ ]。
?R2IBA. ,沿图面竖直向下
4?R2IBB. ,沿图面竖直向上
43?R2IBC. , 沿图面竖直向下
43?R2IBD. , 沿图面竖直向上
4答案：【D】
解：载流线圈的磁矩为
???1?m?IS?ISn??IR2n
2载流线圈在磁场中受到的磁力矩为
????12?M?m?B??IRn?B
2?如图，在没有转动前，n垂直于纸面向外，与磁场垂直，载流线圈受到的磁力矩最大
M?1?IR2B 20方向为竖直向上，在这一磁力矩的作用下，线圈将转动。从上俯视，线圈逆时针转动。
当线圈转过30时，n与磁场成60角，则此时线圈受到的磁力矩为
?0132M?mBsin60???R2IBsin60???RIB
24方向为：竖直向上。 如图，俯视图。
3.在一无限长刚性载流直导线产生的磁场中，把同样的载流导线分别从a处移到c处、从b处移到c处（a、b、c位置如图10-3所示）。在移动过程中导线之间保持平行，若两次移动磁力做的功分别记为Aac和Abc，则[ ]。 A. Aac?Abc?0 B. Aac?Abc?0 C. Aac?Abc D. Aac?Abc
??答案：【B】 Fdr
???解：由毕萨定律和安培力dF?Idl?B，可以判断出，
载流直导线受到的安培力指向圆心。因此，无论载流直导线从a移动c，还是从b移动c，安培力都作正功，不为零。
如图，从a移动c，安培力作功
????dAac?F?dS?F?dr?Fdr； 从b移动c，安培力作功
??dAbc?F?dS?FdScos??Fdr。
而从a移动c和从b移动c，矢径r的变化是一样
?的，因此，两种情况，安培力作功相同。 4. 一长直导线载有10A的电流，在距它为a?2cm处有一电子由
?16于运动受洛仑兹力f的方向如图10-4所示，且f?1.6?10N。
设电子在它与GE组成的平面内运动，则电子的速率
?? ，在图中画出?7?的方向。
答案：v?10m/s
解：电子在GE平面内运动，即速度与洛伦兹力在同一平面内。而G点的磁场方向垂直纸面（GE平面）向里，所以电子运动速度与磁场垂直。
???f?qv?B，f?qvB
而G点的电磁感应强度为
?0I4??10?7?10 B???10?4(T)
2?a2??0.02所以，电子的运动速率为
f1.6?10?167v???10m/s ?19?4qB1.6?10?10由洛伦兹力公式，可以找出电子（带负电荷）在G点的速度方向，如图。可见，电子将逆时针旋转。
5.在空间有同样的三根直导线，相互间的距离相等，各通以同强度同方向的电流，设除了磁相互作用外，其他影响可忽略，则三条导线将 运动。 答案：向三角形中心运动。
解：如图，因为同向电流导线相吸引。所以，三条载流导线向三角形中心O运动。 6.厚度2cm的金属片，载有20A电流，处于磁感应强度为2.0T的均匀磁场中，（如图10-5所示），测得霍尔电势差为4.27?V。 （1）计算片中电子的漂移速度。 （2）求带电电子的浓度。 （3）a和b哪点电势较高？
（4）如果用P型半导体代替该金属片，a和b哪点电势高？
解：(1) 当稳定时，金属中自由电子所受磁场的洛仑兹力与霍尔电场库仑力平衡
VH lVH4.27?10?6vd??Bl2.0?2?10?2 ?1.07?10?4(m/s)(2)ab两端的霍尔电势差为
1IBVH?
neh evdB?eEH?e得电子浓度为
n?IB?2.93?1028(1/m3)
eVHh(3) 如图，在金属中，在外电场的作用下，自由电子的运动方向与电流的方向相反。由洛伦
?????兹力F?qv?B??ev?B
可知，电子受到的洛伦兹力方向是由a指向b，电子向b端偏转。b端积聚负电荷，a端积聚正电荷。所以a点电势高，b点电势低。
(4)P型半导体是空穴导电，即正电荷导电，如图。正电荷空穴的运动方向与电流方向相同。洛伦兹力
???F?qv?B，仍然是由a指向b，但此时是正电荷空穴向b端偏转，b端积聚正电荷，a端积聚负电荷。所以b点电势高，a点电势低。
7.一矩形线圈，边长为8cm和10cm，其中通10A电流，放在B?0.5T的均匀磁场中，线圈平面与磁场方
向平行（10-6所示）。 求：（1）线圈所受力矩的大小和方向；
（2）若此线圈受力矩作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，力矩做功多少？
解：(1) 载流线圈在磁场中所受的磁力矩为
?????M?m?B?ISn?B
当载流线圈平面与磁场平行时，载流线圈平面的法线
?方向n与磁场垂直，磁力矩最大
M?mB?Il1l2B?0.04(N?m)
方向：载流线圈平面的法线方向n垂直纸面向外，所以，磁力矩方向竖直向上。 (2) 在载流线圈转动过程中，磁力矩做的功等于：
A?I(?2??1)
?这里：?1?0；?2?BS?Bl1l2 所以：A?IBS?0.04J
作业11
1.载流长直螺线管内充满相对磁导率为?r的均匀抗磁质，则螺线管内中部的磁感应强度B和磁场强度H的关系是[ ]。
A. B??0H B. B??rH C. B??0H D. B??0H 答案：【D】
解：对于非铁磁质，电磁感应强度与磁场强度成正比关系
B??0?rH 抗磁质：?r?1，所以，B??0H
2.在稳恒磁场中，关于磁场强度H的下列几种说法中正确的是[ ]。 A. H仅与传导电流有关。
B.若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零。 C.若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 D.以闭合曲线L为边界的任意曲面的H通量相等。 答案：【C】
L????????解：安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分只与传导电流
?有关，并不是说：磁场强度H本身只与传导电流有关。A错。
?闭合曲线内没有包围传导电流，只能得到：磁场强度H的闭合回路的线积分为零。并
?不能说：磁场强度H本身在曲线上各点必为零。B错。
???高斯定理??B?dS?0，是说：穿过闭合曲面，场感应强度B的通量为零，或者说，.??以闭合曲线L为边界的任意曲面的B通量相等。对于磁场强度H，没有这样的高斯定理。
?不能说，穿过闭合曲面，场感应强度H的通量为零。D错。
???安培环路定理?H?dl??I0，是说：磁场强度H的闭合回路的线积分等于闭合回路
LS包围的电流的代数和。C正确。
3.图11-1种三条曲线分别为顺磁质、抗磁质和铁磁质的B?H曲线，则Oa表示 ；Ob表示 ；Oc表示 。 答案：铁磁质；顺磁质； 抗磁质。
Oc（或Oc）4.某铁磁质的磁滞回线如图11-2 所示，则图中Ob（或Ob）表示 ；
表示 。 答案：剩磁；矫顽力。
5.螺线环中心周长l?10cm，环上线圈匝数N?300，线圈中通有电流I?100mA。（1） 求管内的磁场强度H和磁感应强度B；（2）若管内充满相对磁导率?r?4000的磁介质，
则管内的H和B是多少？（3）磁介质内由导线中电流产生的B0和磁化电流产生的B各是多少？
'''?解：(1) 做一圆形的环路，由H 的安培环路定理：
???H?dl?? I
H?2?r?NI ，
H?NINI??nI?300 (A/m) 2?rl 对管内，此时无磁介质，则：
?r?1 ?B0??0H?3.77?10-4T
(2) 管内充满磁介质时，?r?4200 ?B??0?rH?1.58T
(3) 磁介质内由导线中电流产生的磁场B0??0H?3.77?10-4T
由磁化电流产生的磁场B??B?B0?1.58T 6.一无限长圆柱形直导线，外包一层相对磁导率为?r的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质外半径为R2，导线内有电流I通过（见
图11-3）。求：（1）介质内、外的磁感应强度的分布，画出B?r图线；（2）介质内、外的磁场强度的分布，画出H?r曲线。
解：在以圆柱轴线为对称轴的圆周上，各处磁场强度大小相等且沿圆周切线方向。应用H的安培环路定理，
???H?dl?2?rH??I0
L? r2 r2r2在导体内，r?R1：?I0?I?I2，2? rH?I2 (r?R1), 2?R1R1R1在导体外，r?R1：?I0?I，2? rH?I (r?R1), 2?rH?I (r?R1),
因此
?I/ (2? r) (r?R1)H?? 2Ir/(2?R) (r?R)11???0Ir/(2?R12) (r?R1)?B???0?rI/ (2? r) (R1?r?R2)
??I/ (2? r) (r?R)02?
??7.介质中安培环路定理为?H?dl??Ii，?Ii为正向穿过闭合回路L的传导电流的代数
L和，这是否可以说：H只与传导电流有关，与分子电流无关？ 答案：不能。
??解：介质中的安培环路定理说明定理的左端，即H的环流只也传导电流有关，与分子电流
???无关；并不可以说H只与传导电流有关，与分子电流无关。这里H的环流和H是两个不同
的概念。
r
R1
作业 12
1.在如图12-1所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合导线圈内作振动时（忽略空气阻力），则[ ]。 A.振幅不变
B.振幅先减小后增大 C.振幅会逐渐加大 D.振幅会逐渐减小 答案：【D】 解：楞次定律。
当磁铁在闭合导线圈内作振动时，穿过线圈的磁场变化，在线圈中产生感生电动势，在闭合线圈中有感生电流。这一电流又产生磁场，但总是阻碍由于磁铁的振动而引起的穿过线圈的磁场的变化。弹簧与磁铁组成的振子的振动能量会逐渐减小，因此，振幅会逐渐减小。
振子会损失能量，损失的能量，通过线圈中的感生电流转化为焦耳热。? 2.如图12-2所示，在均匀磁场B中，有一半径为R的导体圆盘，盘面与磁场方向垂直，当圆盘以匀角速度?绕过盘心的与B平行的轴转动时，盘心O与边缘上的A点间，其电势差VO?VA等于[ ]。
??1122221122C. ?RB D. ??RB
44A. ?RB B. ??RB
答案：B】
解：由于导体圆盘，相当于有无数多由盘心到盘边的直导线绕盘心O转动，切割磁场线，生的动生电动势为
??因此，会在盘心O与盘边产生动生电动势。在OA上，距盘心r处取线元dl?dr，它所产
??????d?OA?(v?B)?dl?(v?B)?dr
?????v由图可见，与B垂直、(v?B)与dr方向相同，所以 ???d?OA?(v?B)?dr?vBdr??rBdr
?OA??d?OAOA????OA??B?dr?????OA?Brdr??R0 12?Brdr??BR2电动势的方向为低电势指向高电势，即
?OA?UA?UO??BR2，UO?UA???BR2
3.如图12-3所示，一长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以恒定速度?移动，直导线ab中的动生电动势为 。 答案：0
?1212??解：取取线元dl，则
???d?ab?(v?B)?dl
????由于v与B共面（平行于纸面），则(v?B)垂直于纸面，?而dl也平行于纸面，所以
d?ab?0，?ab??d?ab??d?ab?0
ababI?20cm，4.长直导线通有电流I?5A，在其附近有一导线棒ab，
离长直导线距离d?12cm（如图12-4所示）当它沿平行于直导线
的方向以速度??10m?s平移时，导线棒中的感应电动势多大？哪端的电势高？（导线棒与长直导线共面且垂直）
?1??解：如图，建立直角坐标系，取线元dl?dxi，则
??v?vj
无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒ab处）
??0I??0I?B?(?k)??k
?x2?x??则线元dl?dxi的动生电动势为
???d?ab?(v?B)?dl??0I???(?vj?k)?dxi2?x? ?0I??(?vi)?dxi2?x?I??v0dx2?x整个金属棒中感应电动势为
d?l?0I?0I??l?d??5dx??ln??0.98?10V ?ab2?x2?dd由于?ab?Ub?Ua?0，所以，a端电势高。 ?ab??d?ab??v5.如图12-5所示，长直导线中通有电流I?6A，另一矩形线圈与长直导线共面共10匝，宽a?10cm，长L?20cm，以??2m?s的速度向右
?1?运动，求：d?10cm时线圈中的感应电动势。dl1?
解1：动生电动势。将矩形导体框看成4段导体棒，则每个棒都在无限长载流直导线产生的磁场中运动，都有可能
有动生电动势，总的电动势是每段动生电动势的代数和。
如图，建立直角坐标系，则
??v?vi
无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）
??0I??0I?B?(?k)??k
?x2?x??线元dl1?dyj的动生电动势为
??0I????I??I???d?bc?(v?B)?dl1?(?vi?k)?dyj?(v0j)?dyj?v0dy
2?d2?d2?dL0??线元dl2?dxi的动生电动势为
??0I????0I????d?ce?(v?B)?dl2?(?vi?k)?dxi?(vj)?dxi?0，?ce?0
2?x2?x??线元dl3?dyj的动生电动势为
????0I???d?fe?(v?B)?dl3?(?vi?k)?dyj2?(d?a)
???0I?0I?(vj)?dyj?vdy2?(d?a)2?(d?a)L?bc??d?bc??vbc?0I?I?dx?0L 2?d2?d?fe??d?fe??vfe0?0I2?(d?a)dx???线元dl4?dxi的动生电动势为
??0I????I????d?bf?(v?B)?dl4?(?vi?k)?dxi?(v0j)?dxi?0
2?x2?x?bf?0,?fb???bf?0
以顺时针方向为线框中电动势的正方向，则
?0I??0I?L L,?ef???fe??2?(d?a)2?(d?a)???bc??be??ef??fb??0I??0I??I?11L?0?L?0?0L(?) 2?d2?(d?a)2?dd?a线圈共有N匝，所以，电动势为
E?N??N?0I?11L(?)?2.4?10?5(V) 2?dd?a解2：感生电动势。由于无限长载流导线产生的磁场与场
点到导线的距离成反比，线圈在移动的过程中，穿过线圈平面的磁通量发生变化，因此在线圈中产生感生电动势。
如图，建立直角坐标系。设t时刻bc边距离载流直导线l(t)，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。则速度
v?dl(t) dt无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef处）
???取t时刻x?x?dx的面积元dS?Ldx(?k)，则穿过单匝线圈中dS的磁通量为
????0I??LId??B?dS??k?Ldx(?k)?0dx
2?x2?x穿过单匝线圈的磁通量为
??0I??0I?B?(?k)??k
?x2?x??l(t)?a?0LI?LIl(t)?a???d???B?dS??dx?0ln
2?x2?l(t)l(t)由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为
?LIdd?l(t)?a??0[ln]dt2?dtl(t)
?LI11dl(t)?0LI11??0[?]?[?]v2?l(t)?al(t)dt2?l(t)l(t)?a当l(t)?d时，总电动势为
?LI11E?N??N0[?]v?2.4?10?5(V)
2?dd?a???解3：线框的上下两条边不切割磁力线，所以不产生感应电动势，只有左右两条边切割磁力线产生感应电动势，在d?10cm时，设左边处的磁感应强度为B1，右边处为B2，则此时线框中的磁感应电动势为：
??N?B1Lv?B2Lv??N??0I?ILv?1??0I?1??5Lv?Lv??N0????2.4?10V2??d?a??2??dd?a??2?d06.如图12-6所示，一长方形平面金属线框至于均匀磁场中，磁场方向与线框平面法线的夹角为??30，磁感应
强度B?0.5T，可滑动部分cd的长度为L?0.2m，以
??1m?s?1的速度向右运动，求线框中的感应电动势。
解1：动生电动势。cd段导体棒在匀强磁场中运动，产生动生电动势。cd段导体棒上的动生电动势等于线圈中的电动势。
?线元dlcd的动生电动势为
????d?cd?(v?B)?dlcd?[vBsin(???)]cd?dlcd?vBcos?dlcd
L???cd???cd??vBcos?dlcd?vBLcos??0.0866(V)
cd0
解2：感生电动势。cd段导体棒运动，矩形导体线圈的面积变化，穿过线圈的磁通量变化，在线圈中产生感生电动势。
如图，建立直角坐标系。设t时刻cd边距离载流直导线l(t)，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。
??
取t时刻x?x?dx的面积元dS，则穿过线圈中dS的磁通量为
??d??B?dS?BdScos(???)??BLcos?dx
l(t)穿过线圈的磁通量为
???d????BLcos?dx??BLl(t)cos?
0由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为
???d?ddl(t)??[?BLl(t)cos?]?BLcos??BLvcos??0.0866(V) dtdtdt解3：对产生电动势起作用的是垂直于速度的磁场分量?
?i?B?LV?BLVcos??0.0866 V
7.将尺寸完全相同的铜环和木环适当放置，使通过两环中的磁通量的变化率相等。问：在两
环中是否产生相同的感应电场和感应电流？ 答：会产生相同的感应电场，但在铜环中会有感应电流产生，而在木环中没有感应电流产生。因为铜是导体，而木头不是。
作业13
1.用导线围成的回路（两个以O点为圆心，半径不同的同心圆，在一处用导线沿半径方向相连），放在轴线通过O点的圆柱形均匀磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图13-1所示。如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则（A）,(B) ,(C) ,(D) ,中正确表示涡旋电电场方向及感应电流的流向的是[ ]。
答：D
解：由楞次定律判断感应电流的方向。由于磁场垂直于纸面向里，并且减小，所以，感生电流产生的磁场垂直于纸面向里，由此可以判断出：回路中感生电流的方向是顺时针的。
注意：由于两环之间的导线上没有电动势，所以不同环之间没有电流。 2.均匀磁场限制在圆柱形空间（如图13-2）
dB?0。磁场中dtA,B两点用直导线AB连接，或用弧导线AB连接，则[ ]。 A.直导线中电动势较大 B.只有直导线中有电动势 C.两导线中的电动势相等 D.弧导线中电动势较大
答：A 解：连接OA和OB，则由于感生电场是同心圆。在OA上，
??线元dlOA与感生的涡旋电场EiOA垂直；在OB上，线元