∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE=4，∠CAD=∠EAD，
∴BE=1，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=3+1=4． 故答案为：4．
考点：翻折变换（折叠问题） 1．（2015秋?市中区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【来源】2016届山东省济南市市中区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】B 【解析】
222
试题分析：连接OP．根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
解：连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ；
222
根据勾股定理知PQ=OP﹣OQ， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； 又∵A（﹣3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3， ∴AB=∴OP=AB=3， ∴PQ=
=2
． =6，
故选B．
考点：切线的性质；坐标与图形性质．
一道反比例函数部分的题目（转）明修栈道,暗渡陈仓——用“设而不
求”法解
(2012-06-22 10:24:54) 转载
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如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶
点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反
比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为__________.
答案：（
思路分析：
+1，﹣1）
考点解剖：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
解题思路：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设
P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则P1C =OB1
=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入
反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），
易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3F=P3E=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
解答过程：
解：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图，
设P1（a，），则CP1=a，OC=， ∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D， ∴OB1=P1C=A1D=a，
∴OA1=B1C=P2D=﹣a，
∴OD=a+﹣a=，
∴P2的坐标为（，﹣a），
把P2的坐标代入y=（x＞0），得到（﹣a）?=2，解得a=﹣1（舍）或a=1， ∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，）， 又∵四边形P2P3A2B2为正方形， ∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，
∴P3E=P3F=DE=，
∴OE=OD+DE=2+，
∴2+=b，解得b=1﹣（舍），b=1+，
∴==﹣1，
∴点P3的坐标为 （+1，﹣1）．
故答案为：（+1，﹣1）．
规律总结：结合图形，根据全等三角形的性质和反比例函数解析式xy=k表示的几何意义可以得到正方形面积，另外可以设出未知数表示相应的坐标和线段，有些未知数可以从整体来表示，设而不求，本题综合应用了反比例函数，全等三角形，三角函数的问题，是一道难度较大的题目，学生的得分率极低. 在求解数学问题时,常会碰到一些问题,它所涉及的量比较多,量与量之间的关系也不太明显.若只根据题意,直接设未知数,解决问题较难.此时若通过设辅助未知数,把那些不明显的关系表示出来,而在求解含辅助未知数的方程(组)时,则可根据其特点,巧妙地将辅助未知数消去,而不必求出这
如图，在直角坐标系中，直线y1?2x?2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2?（x?0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①SΔADB?SΔADC； ②当0＜x＜3时，y1?y2； ③如图，当x=3时，EF=
kx8； 3④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【来源】2015年初中毕业升学考试（辽宁朝阳卷）数学（带解析） 【答案】C． 【解析】
试题分析：对于直线y1?2x?2，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA和△CDA中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC，OA=AD，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴SΔADB?SΔADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确；
∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2?4，由函数图象得：当0＜x＜2x
比例线段17．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）．
CEEAADAEDEADEFCF B． C． D． ????ABACBCBDABCBCFFB
【来源】2010-2011学年宁夏银川市八年级下学期期末考试数学试题（带解析） 【答案】C
DEADADAE?【解析】?ADE??ABC，可得，,而不是 ?BCABABACCEEADEADEFCF，?CEF??CAB,可得，， ???BCBDABCBCFFB故选C
46．已知a:b?2:3, 那么下列等式中成立的是
a?b5a?b1??3a?2b2a?3bb2b3 A． B． C． D．【来源】2011届北京市门头沟区初三第一学期期末数学卷 【答案】A
【解析】析：根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积． 解答：解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b； A、3a=2b；故本选项正确； B、2a=3b；故本选项错误； C、由a+b/b=5/2
得，2a+2b=5b，即2a=3b；故本选项错误； D、由a-b/b=1/3
得，3a-3b=b，即3a=4b；故本选项错误； 故选A．
65．已知3x＝2y，那么x＝__________． y【来源】2016届上海市奉贤区九年级上学期期末调研考试数学试卷（带解析） 【答案】【解析】
试题分析：∵3x=2y，∴2． 3x22=．故答案为．
3y3考点：比例的性质． 61．如果xxy?，则= . 23x?y【来源】2015届江苏省泰州市姜堰区九年级上学期期中考试数学试卷（带解析） 【答案】【解析】
试题分析：根据题意：设2. 5xxy2a2??a，则x?2a，y?3a，那么?．故=23x?y2a?3a5填：2． 5，则
= ．
67．若
【来源】2016届安徽省合肥市蜀山区九年级上学期第三次月考数学试卷（带解析） 【答案】
【解析】
试题分析：根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换． 解：根据题意，
设x=2k，y=3k，z=4k， 则
=
， ．
故答案为：
考点：比例的性质．
45．△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，那么下列各式正确的是( ). A.ADBFABEFADBFAEAD= B.= C.= D.= DBECACFCDBFCECBF【来源】2015届山东省新泰市放城镇初级中学九年级上学期片区竞赛数学试卷（带解析） 【答案】C. 【解析】
试题分析：根据题意画出图形，如图：
∵DE∥BC，∴ADAE?，故A、D错误； DBECABEF?，故B错误； ACEC∵EF∥AB，∴△ABC≌△EFC，∴∵DE∥BC，EF∥AB，∴ADAEAEBFADBF??? ， ∴ ，故C 正确； DBECECFCDBFC故选：C.
考点：1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理 31．如果四条线段a、b、c、d构成ac＝，m＞0，则下列式子中，成立的是（ ） bd（A）bcac?m＝； （B）＝； adbd?ma?bd?ca?cc＝； （D）＝． bdb?dd（C）【来源】2013届上海市闸北区中考一模数学试题（带解析）
【答案】D 【解析】
试题分析：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 设a?1,b?3,c?2,d?6,m?4 ?acbd?,??，A不正确 bdaca1c?m2?43????，不正确 b3d?m6?45a?b1?32d?c6?22??????，不正确 b33d63B中，C中，D中，a?c1?21c21?????，正确 b?d3?63d63故选D
考点：比例线段
点评：表示比例线段时，一般要注意书写的顺序，也就是对应线段。一旦错了一点，都会造成整个求解过程的错误，需要学生细心对待。
54．已知a，b，c，d是成比例线段，a=3cm，b=8cm，d=4cm，则c= cm．
【来源】2016届广东省南海区石门实验中学九年级上学期第二次质检数学试卷（带解析） 【答案】3 2【解析】
试题解析：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴ac?， bd∵a=3cm，b=8cm，d=4cm， ∴3c?， 843（cm）． 2∴c=考点：比例线段． 39．（2015?嘉兴）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（ ）
的值为
A． B．2 C． D．
【来源】2016届山东省济南市市中区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】D 【解析】
试题分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到得到答案．
解：∵AH=2，HB=1，
=
，计算
∴AB=3，
∵l1∥l2∥l3， ∴
=
=，
故选：D．
考点：平行线分线段成比例
相似多边形
14．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（ ）
A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2
【来源】2016届河南省平顶山市宝丰县九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】B 【解析】
试题分析：根据折叠性质得到AF=AB=a，再根据相似多边形的性质得到
=
，即=
，
然后利用比例的性质计算即可． 解：∵矩形纸片对折，折痕为EF， ∴AF=AB=a，
∵矩形AFED与矩形ABCD相似， ∴
=
，即=
，
∴（）=2， ∴=
．
2
故选B．
考点：相似多边形的性质．
此时四边形MNPQ的面积 S=S△MON-S△POQ=2
122
×8×6?(?t+6t)=t-6t+24 2=（t-3）+15（0＜t＜4）
∴当t=3时，S的最小值为15． 考点：一次函数综合题．
79．在矩形ABCD中，AB=3厘米，AD=4厘米，点P以每秒厘米的速度在BC上从B往C运动，同时点Q以每秒1厘米的速度在CA上从C往A运动，设运动时间为t秒．
（1）当PQ平行于AB时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使点P、Q、D三点在同一直线上？若存在，求出t；若不存在，请说明理由；
（3）当△PQC为等腰三角形时，求t的值．
【来源】2016届江苏省泰州市白马中学九年级上学期10月质检数学试卷（带解析） 【答案】（1）t=；（2）当t=或t=
时，△PQC为等腰三角形．
时，点P、Q、D三点在同一直线上；（3）t=
或t=
【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）根据相似三角形的性质得到
=
，代入数据计算即可；
（3）分CQ=CP、QP=QC、PQ=PC三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质进行计算即可． 解：（1）∵∠B=90°，AB=3厘米，AD=4厘米， ∴AC=
=5厘米，
由题意得，BP=t，CQ=t，则CP=4﹣t， ∵PQ∥AB， ∴
=
，即=
，
解得t=；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
如图2，当点P、Q、D三点在同一直线上时，解得t1=则当t=
（舍去），t2=
，
=
，即
=
，
时，点P、Q、D三点在同一直线上；
（3）当CQ=CP时，4﹣t=t， 解得t=
；
当QP=QC时，
如图3，作QE⊥BC于E， 则PE=EC=（4﹣t）， ∵QE∥AB， ∴
=
，
即=，
解得t=；
当PQ=PC时，
如图4，作PF⊥AC于F， 则FC=QC=t， ∵PF⊥AC，∠B=90°， ∴△CFP∽△CBA， ∴
=
，即，
或t=或t=
时，△PQC为等腰三角形．
=
，
解得t=
综上所述，t=
相似三角形分类讨论
44．已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则
的值是 ．
【来源】2016届山西省长治市沁源县九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】或
．
【解析】
试题分析：首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
解：∵菱形ABCD的边长是8， ∴AD=BC=8，AD∥BC，
如图1：当E在线段AD上时， ∴AE=AD﹣DE=8﹣3=5， ∴△MAE∽△MCB， ∴
=；
如图2，当E在AD的延长线上时， ∴AE=AD+DE=8+3=11， ∴△MAE∽△MCB， ∴∴
=
．
． ．
的值是或
故答案为：或
考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
与相似有关的综合题
75．如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C．求证：△DEG∽△ECF； （3）在（2）的条件下，已知EF=2，CE=3，求GE的长．
【来源】2016届江苏省泰州市靖江市九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】 试题分析：（1）根据平行线的性质得到∠AMD=∠AFE，等量代换得到∠AMD=∠A，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据题意证明∠GDE=∠FEC，根据相似三角形的判定定理证明；
2
（3）证明△BDG∽△BED，得到BD=BE?BG，根据平行四边形的性质和题意求出BD=2，根据相似三角形的性质计算即可． （1）证明：∵DM∥EF， ∴∠AMD=∠AFE， ∵∠AFE=∠A， ∴∠AMD=∠A， ∴DM=DA；
（2）证明：∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C， ∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， ∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C， ∴△DEG∽△ECF；
（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B， ∴△BDG∽△BED， ∴
=
，即BD=BE?BG，
2
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形， ∴EF=DM，
又∵DM=AD，AD=BD， ∴EF=BD=2，
∵BE=CE，EF=2，CE=3， 2
∴2=3?BG， ∴BG=， ∴GE=3﹣=． 考点：相似形综合题．
最小值的求法
61．（2015秋?句容市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 ．
【来源】2015-2016学年江苏省镇江市句容市八年级上学期期中数学试卷（带解析） 【答案】4 【解析】
试题分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可． 解：连接CE，交AD于M， ∵∠C=90°，AC=4，CB=3， ∴AB=5，
∵沿AD折叠C和E重合，
AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由?ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF， ∴∠BAF=∠F， ∴∠DAF=∠F， ∴AD=FD，
∴△ADF是等腰三角形， 同理△ABE是等腰三角形， AD=DF=9； ∵AB=BE=6， ∴CF=3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2， 又BG⊥AE， ∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16， 又∵?ABCD
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选：A．
15．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
DFABEC A．2：3：5 B．4：9：25 C． 4：10：25 D．2：5：25
【来源】2014届浙江慈溪育才中学九年级第一学期第二次月考数学试卷（带解析） 【答案】C. 【解析】
试题分析：由题意得△DFE∽△BFA，∴DE：AB=2：5，DF：FB=2：5，∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25．故选C．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 44．（2015秋?娄星区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，则CE的长为 ．
【来源】2016届湖南省娄底市娄星区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】 【解析】
试题分析：由两线段平行，同位角相等，即可证出三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，结合已有的量即可解决本题． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=3，BC∥AD， ∵E为BC上一点，
∴CE∥AD，∠FEC=∠FAD，∠FCE=∠D， ∴△FCE∽△FDA， ∴
=
=
，
又∵CD=3，CF=1，AD=4， ∴CE=，
故答案为：．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质
22．若M是线段AB的黄金分割点（MA＞MB），设AB=2cm，则线段MA的长为（ ）cm． A． B．3﹣ C．1 D．﹣1
【来源】2016届浙江省温州市永嘉县岩头中学九年级上学期第一次月考数学试卷（带解析） 【答案】D
试题分析：根据黄金分割点的定义，知MA是较长线段；则MA=出MA的长．
解：由于点M为线段AB=2cm的黄金分割点，且MA是较长线段， 则MA=AB=（﹣1）cm．
AB，代入数据即可得
故选D．
考点：黄金分割．
8．（2014秋?昆明校级期末）如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC长10cm，设DG=xcm，DE=ycm，
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，四边形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
【来源】2016届云南省昆明三中九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】（1）
；（2）当x=5时，四边形DEFG面积最大，最大面积是20．
【解析】 试题分析：（1）设DE=y，则MH=y，AM=AH﹣MH=8﹣y，因为DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，建立等式；
（2）设四边形DEFG的面积为S，则S=DE×DG=xy=x（8﹣x），运用二次函数性质解决问题． 解：（1）设AH与DG交于点M，则AM=AH﹣MH=8﹣y， ∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC， ∴
=
，即
；
+8x，
，
整理，得
（2）设四边形DEFG的面积为S，则S=DE×DG=xy=x（8﹣x）=﹣当x=﹣
=5时，S=﹣×25+8×5=20，
所以当x=5时，四边形DEFG面积最大，最大面积是20． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值．
80．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
【来源】2016届江苏省泰州市白马中学九年级上学期10月质检数学试卷（带解析）
【答案】（1）；（2）．
【解析】 试题分析：（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程的性质可得DE=DG，可得结果； （2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM=
=4，
，即可得到结论．
，则可表示出DG的长，由正方形
∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形， ∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM， ∴
，
解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=
，
；
∴正方形DEFG的边长为（2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：∴DE=
．
．
，
故答案为：
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
相似三角形的构造
46．如图，在△ABC中，AD为中线，
=，则
= ．
【来源】2016届江苏省泰州市白马中学九年级上学期10月质检数学试卷（带解析） 【答案】
【解析】
试题分析：过D作DH∥AC交BE于H，由AD为中线，得到BH=HE，求得CE=2DH，通过△DHF∽△AEF，得到
=，求得AE=DH，即可得到结论．
解：过D作DH∥AC交BE于H， ∵AD为中线， ∴BH=HE， ∴CE=2DH， ∵∴
=， ，
∵DH∥AE，
∴△DHF∽△AEF，
∴=，
∴AE=DH， ∴AC=∴
DH，
=．
考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理． 4
相似图形应用
64．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，BO的延长线
交AC于点D，若BC＝3，CD＝1，则⊙O的半径等于 ．
【来源】2013学年浙江省杭州市拱墅区第一学期期末教学质量调研九年级数学试题（带解析） 【答案】3 4【解析】
试题分析：可辅助线由相似比解答；过点O作OE⊥BC,交BC于E，∵⊙O为△ABC的内切圆∴圆心到三边到距离等于半径长，∴△BOE∽△BDC,∴BE:BC=OE:CD,即（3-r）:3=r:1,解得r=3。 4考点：三角形内切圆定义，相似三角形性质。
点评：熟知上述定义性质，结合题意易求之。本题难度不大，作辅助线是解题到关键，属于
基础题。 10．（2015秋?市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）连接OC交BE于点F，若
，求
的值．
【来源】2016届山东省济南市市中区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】（1）见解析；（2）
．
【解析】 试题分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解． 解：（1）证明：连接OE， ∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BEC=90°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠CBE=∠DBE， ∴∠CBE=∠OEB， ∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB=90°， 即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC， ∴∵∴∴
， ， ， ，
∵OE∥BC，
∴△OEF∽△CBF， ∴
．
考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．
相似与函数综合题
71．（本题满分14分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角
2
坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【来源】2015届广东省广州市花都区九年级下学期综合测试数学试卷（带解析） 【答案】（1）AD=3．y=﹣x+2
4025x；（2）t=或；（3）存在，①M1（-4，-32），N1（4，
137），N3（4，﹣）．
-38）②M2（12，-32），N2（4，-26）③M3（4，【解析】
试题分析：（1）利用△BDC≌△EDC，CE=BC，OC=AB，由勾股定理易得EO=6，则AE可求，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在△ADE中，由勾股定理能求出AD的长，因为抛物线过原点，所以
2
解析式中c=0，设解析式为y=ax+bx，再将D，C两点坐标代入求出a，b值，即可求出抛物
线的解析式．（2）分两种情况讨论：当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∵∠PCQ与∠AED是对应角（同是∠CEO的余角），∴AD和PQ是对应边，△ADE的各边长都知道，设运动t秒时相似，表示出三角形CPQ的各边长，两种相似情况下的对应线段成比例，即可求出t值；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；顶点坐标即是M点坐标，由平行四边形性质易求出N点坐标；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），由平行四边形性质用M表
示出M点坐标，再把M点坐标代入抛物线解析式，从而求得M，N点坐标．
试题解析：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．在Rt△EOC中，由勾股定理
22
易得EO=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：x+4=
22
（8﹣x），解得：x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，
0）∴解析式中c=0，设解析式为y=ax+bx，将D，C两点坐标代入：2
解得，，∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2
x．（2）分两种情况讨论：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+
∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．①当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，即==，解得t=，解得t=．∴当t=．②或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平
）；②EC为平行四边形的边，
分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣则ECMN，设N（4，m），则当M在N点左侧时，M点坐标M（4﹣8，m+6），或M在N点右
侧时，M点坐标为M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，
此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为： ①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，﹣）．
），N3（4，
考点：1．二次函数及动点问题；2．三角形相似的判定；3．平行四边形性质与二次函数综合题．
73．如图，直线l：y＝?3x+6与x轴、y轴分别交于点M，N．点P从点N出发，以每秒14个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）直接写出点M，N的坐标； （2）当t为何值时，PQ与l平行？
（3）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最小值． 【来源】2015届山东省济南实验中学中考一模数学试卷（带解析）
2
【答案】（1）M（8，0），N（0，6）；（2）t=2．4秒时，PQ与l平行．（3）S=（t-3）+15（0＜t＜4），15． 【解析】
试题分析：（1）将M和N代入直线ly＝?3x+6中即可求出M和N的坐标； 4（2）当OP×OM=OQ×ON时，PQ与1平行，求出此时的时间t即可； （3）四边形MNPQ的面积可以看成△OMN的面积-△OPQ的面积，利用此等量关系即可列出关系式．
试题解析：（1）M（8，0），N（0，6） （2）当PQ与l平行时，△NOM∽△POQ
MONO86??即 QOPO2t6?t∴10t=24，即t=2．4
∴当t=2．4秒时，PQ与l平行． （3）如图所示：
当P点在线段NO上运动t秒时，OP=6-t，OQ=2t ∴S△POQ＝12
OP?OQ=-t+6t 2