二次函数
山东省德州市临邑二中 孙法光
知识梳理
知识点1.二次函数的定义 重点：掌握二次函数的定义 难点：定义的灵活运用
①一般地，如果y=ax+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当b=c=0时，二次函数y=ax是最简单的二次函数． 例如果函数y?(m?3)xm22
2
?3m?2?mx?1是二次函数，那么m的值为 。
?m2?3m?2?2解题思路：由二次函数定义?则m=0
?m?3?0练习１、在圆的面积公式 S＝πr 中，s 与 r 的关系是（ ）
A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系
２、已知函数 y＝(m＋2) xm22
?2是二次函数，则 m 等于（ ）
A、±2 B、2 C、－2 D、±2
答案：1.D 2.B
知识点2.二次函数的图像及性质
重点：掌握二次函数的二次函数的图像及性质 难点：图像及性质的灵活运用
b4ac?b22
对于y=ax+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）+k而言
2a4a2
其顶点坐标为（h，k），?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．顶点坐标也可由配方法求出。
填表： 抛物线 y=ax22 对称轴 顶点坐标 开口方向 当a＞0时， 开口 当a＜0时, 开口 Y=ax+k Y=a(x-h)22 y=a(x-h)+k Y=ax+bx+c 2
增减性：分对称轴左右两侧描述，二次函数y=ax+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而 最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内 ①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最 值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。 ②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
例1 抛物线y?x?2x?4的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 解题思路：运用对称轴和顶点坐标公式，则开口方向朝上，对称轴x=-1,顶点（-1，-5）
22例2函数y?2x、y??2x、y?22
12x的图象的共同特征是（ ） 2（A）开口都向上，且都关于y轴对称 （B）开口都向下，且都关于x轴对称 （C）顶点都是原点，且都关于y轴对称 （D）顶点都是原点，且都关于x轴对称
解题思路：利用二次函数y=ax的图象与性质，例2选C.
2
例3已知二次函数.（1）用配方法化为的形式.（2）写出它的
顶点坐标和对称轴，并画出它的图象.（3）根据图像指出：①当x取何值时，y随x值的增大而减小. ②当x取何值时，y有最大（小）值，值是多少？
解题思路：（1）.
＝?1212x?8x?3＝??x?4??4?3＝44???1?x?4?2?1 4 （2）对称轴x=-4,顶点（-4，1） （3）x>4 (4) x=-4，y最大为1
练习1.抛物线y?(x?1)2?3的对称轴是（ ） A．直线x?1 2.若A（?B．直线x?3
C．直线x??1
D．直线x??3
13512，B（?,y2），C（,y3）为二次函数y?x?4x?5的图象上的三点，则,y1）444y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．y1?y2?y3B．y2?y1?y3C．y3?y1?y2D．y1?y3?y2 答案1.A 2.B
知识点3.二次函数解析式的三种形式 重点：掌握二次函数解析式的三种形式 难点：函数解析式的三种形式的灵活运用
二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为： 一般式：y=ax+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式； 顶点式：y=a（x－h）+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；
2
22
交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；
例1 已知：函数y?ax2?bx?c的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A）y??x?2x?3 （B）y?x?2x?3 （C）y??x?2x?3 （D）y??x?2x?3
2222y 3 -1 o 3 x
解题思路：运用二次函数交点式：y=a（x－x1）（x－x2），则y=a(x+1)(x-3),把（0，3）代入 则a=-1,选A
例2 由右边图象写出二次函数的解析式．
解题思路：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点， 已知顶点坐标可以设顶点式．
解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)． 设解析式为y=a(x＋1)+2
∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)+2，即y=-2x-4x．
本题也可设成一般式y=ax+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，
2
2
2
2
练习1、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。
2、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。
答案：1、解：y＝a (x＋2)2＋1 －2＝a (1＋2)2＋1 a＝－3 ∴y＝－3 (x＋2)2
＋1
1＝ca＝12
2、解：设 y＝ax＋bx＋c，则：1＝4a＋2b＋c，解得b＝－2 ∴y＝x－2x＋1
4＝9a＋3b＋cc＝12
11知识点4.抛物线的平移和轴对称 重点：掌握抛物线的平移和轴对称 难点：利用平移和对称解决问题
无论b，c值为多少，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。
①抛物线y=ax2+bx+C上（下）平移n（n＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 ；
②抛物线y=ax2+bx+C左（右）平移n（n＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 。
③物线y=ax2+bx+c关于X轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
④物线y=ax2+bx+c关于Y轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
例二次函数y=－x+2x－1通过向 （左、右）平移 个单位，再向
2
___________（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数y=－x的图象.
2
解题思路：y=－x+2x－1的顶点为（3，2），y=－
2
x的顶点为（0，0），因此可以根
2
据顶点坐标确定平移的方向和距离.