概率论与数理统计及其应用习题解答
P{3X?2Y?6Z?7}?P{3X?2Y?6Z??7}??(?7?0)?1??(1)?0.1587 7
13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到m(g)时结束。以
Z(g)记容器中饮料的重量。设台秤的误差为X~N(0,7.52)，X以g
计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正） （1）写出Z,X,m的关系式； （2）求Z的分布；
（3）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。 解：（1）根据题意Z,X,m有关系式m?Z?30?X或者Z?m?30?X； （2）因为X~N(0,7.52)，所以Z~N(m?30,7.52)； （3）要使得P{Z?450}?0.95，即要
?450?(m?30)?P{Z?450}?1?????0.95，
7.5??所以要求???m?480m?480?m?492.3375。?1.645，，即?0.95??(1.645)?7.5?7.5?所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，m至少为492.4g。
14,在上题中若容器的重量Y(g)也是一个随机变量，Y~N(30,9)，设
X,Y相互独立。
（1）求Z的分布；
（2）确定m使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。
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解：（1）此时Z?m?Y?X，根据Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得
Z~N(m?30,65.25)。
（2）P{Z?450}?1????可得
m?48065.25?450?(m?30)??m?480??????????0.90??(1.282)， 65.25???65.25? m?490.36。 ?1.28，即215，某种电子元件的寿命X（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。
解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量X1,?X100，
1100X?Xi。则E(X)?2，D(X)?0.04。根据独立同分布的中心极?100i?1限定理可得
P{?Xi?180}?P{X?1.8}?P{i?1100X?21.8?21.8?2?}?1??()??(1)?0.84130.20.20.2
16，以X1,?X100记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，E(Xi)?25(kg),D(Xi)?1,i?1,2,?100.X1,?X100服从同一分布，且
1100相互独立。X?Xi，求P{24.75?X?25.25}的近似值。 ?100i?1解：根据题意可得E(X)?25(kg),D(X)?极限定理可得
P{24.75?X?25.25}?P{1。由独立同分布的中心10024.75?25X?2525.25?25??}??(2.5)??(?2.5) 0.10.10.1 47
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?2?(2.5)?1?0.9876
17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间
(?0.5?10?7,0.5?10?7)服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于
0.5?10?6的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）
1400解：以X1,?X400记这400个数据的舍入误差，X??Xi。则400i?110?14E(X)?0,D(X)?。利用独立同分布的中心极限定理可得
4800P{?Xi?0.5?10?6}?P{?0.125?10?8?X?0.125?10?8}
i?1400 ?P{?0.125?10?8104800?14?X104800?14?0.125?10?8104800?14}
??(0.2512)??(?0.2512) ?2?(0.866)?1?0.6156
18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为X，
}，P{X?190}，P{X?180}；求P{170?X?185（2）问至少需要安装多
少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。
解：（1）根据题意，X~B(1000,0.2)，且E(X)?200,D(X)?160。 由De Moivre-Laplace定理，计算得
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185?0.5?200170?0.5?200P{170?X?185}??()??()
160160
??(?1.15)??(?2.41)?(1?0.8749)?(1?0.9920)?0.1171；
190?0.5?200P{X?190}?1??()?1??(?0.83)?0.7967；
160180?0.5?200P{X?180}??()??(?1.54)?1?0.9382?0.0618。
160（2）设要安装n部电话。则要使得
P{X?50}?1??(0.2n?49.50.16n50?0.5?0.2n0.16n)?1??(49.5?0.2n0.16n)?0.95
就要求?()?0.95??(1.645)，即
0.2n?49.50.16n?1.645，从而
0.04n2?20.232964n?2450.25?0，解出n?304.95或者n?201（舍去）。
所以最少要安装305部电话。
19，一射手射击一次的得分X是一个随机变量，具有分布律
X 8 9 10 0.01 0.29 0.70 pk （1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。
（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。 解：根据题意，E(X)?9.69，D(X)?94.13?9.692?0.2339。 （1）以X1,?X10分别记10次射击的得分，则
10P{?Xi?96}?P{i?1i?1?X10i?96.9?96?96.92.3392.339}??(96?96.92.339)??(?0.59)?0.277649
概率论与数理统计及其应用习题解答
（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量Y，则
)。由De Moivre-Laplace定理，计算得
}?1??(6?0.5?900?0.01900?0.01?0.99)?1??(?1.17)?0.8790。
（第4章习题解答完毕）50
Y~B(900,0.01P{Y?6