《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号
4. 某工厂滚珠车间，根据长期实践经验，滚珠直径服从正态分布
2四、应用题
1. 某厂生产的电池的寿命均值一直稳定在30（小时），今用新工艺生产电
N(μ,0.05)。现从生产的滚珠中任取6个，测得直径为
11.615.114.914.815.215.1
试求该车间生产的滚珠直径的均值的置信区间. (α=0.05)
5. 某食品公司连续统计了12个月的猪肉销售量（单位：吨）
，数据如下： 45,43.5,46,40,42.5,39.5,43,42.5,36,39,42,45
假设猪肉的销售量X服从正态分布，试求其方差σ2
的置信区间
(α=0.05).
46
池，假定其寿命X~N(μ,σ2
)，参数均未知。从用新工艺生产的电池
中随机地抽取9个，测得 x=32,s2
=9。
1）求μ的置信度为0.95的置信区间；
2）与以往相比，用新工艺生产的电池的寿命均值是否有显著提高
(α=0.05)？
（（
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2. 某洗衣粉包装机，在正常工作情况下，每袋标准重为1000克，标准差不能超过15克，假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布。某天为检查机器工作是否正常，从已包装好的洗衣粉中，随机地抽查10袋，测得净重（克）为：
1020,1030,968,994,1014,1048,998,976,982,950 3. 从甲、乙两校的高考英语试卷中各抽27份和26份，其英语平均分分别
为67分和71分。假定两校学生的高考英语成绩均服从正态分布且标
准差均为8分，试问两校高考英语成绩有无显著差异（α=0.05）？
问这天机器工作是否正常？（
α=0.05）
47
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4. 有两台车床生产同一型号的滚珠，根据以往经验，这两台车床生产的滚
珠的直径服从正态分布。现在从这两台车床生产的产品中分别抽取8
0.670.21
个和9个，测得滚珠的直径的标准差分别为和. 问乙车床
78
2012-2013第1学期概率论与数理统计期中试卷
一 填空题 （每空3分，共30分）
产品的方差是否比甲车床的小？（α=0.05）
1、P(A)=P(B)=P(C)=
48
11，P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=，则416
A,B,C均不发生的概率为_________.
2、设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8，则
P(BA)=__________________.
3、袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的2球颜色相
同的概率为____________.
4、从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为____________.
5、从(0,1)中随机地取出两个数，则两个数之和小于_____________.
6、一个工厂有一、二、三3个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40% ，如果每个车间成品中的次品率分别为5%，4%，2%，则从全厂产品中任取一件，取出的是次品的概率为_____________.
7、在某一问卷调查中，有50%的被访者会立刻答完并上交问卷表，在没有立刻上交问卷表的被访者中，有40%的人会在调查人员的电话提醒下送回问卷表. 如果只有4人参加这样的问卷调查，则至少有3人没有任何回音的概率为___________________________.
6
的概率为5
《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号
8、已知随机变量X的分布列为：P(X=k)=
1
，k=1,2,3,??，则k2
P(2 9、设随机变量 的分布列为P(X=i)= i ,i=1,2,3，则2a P(X=2)=_______________. 10、设随机变量X的分布函数 （13分）随机变量 2、 ?cx,0 ，求（1）c；（2）P(X≤1)；（3）一元二次X~f(x)=? 0,其它? ?0, ?0.4,?F(x)=? ?0.8,??1, 二 计算题 x ?1≤x<1，则P(1≤ 1≤x<3x≥3 X≤3)=_________________. 方程x+2Xx+1=0有实根的概率. 2 1、（15分）设考生的报名表来自三个地区，分别有10份、15份、25份，其中女生的分别为3份、7份、5份。随机地从一地区先后任取2份报名表，求：（1）先取的那份报名表是女生的概率；（2）已知先取的那份报名表是女生，则该表来自于第一个地区的概率；（3）先取的那份报名表是女生的，且后取到的报名表是男生的概率．. 49 （12分）设随机变量X~U(0,4)，用Y表示对X独立重复观测中，事3、 件A={X≥1}首次发生时观测的总次数，求：（1）概率P(A)；（2）概率P(Y≥4)；（3）数学期望EY. 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 2011-2012学年第一学期《概率论与数理统计》试卷 一、填空题（本题共6小题，每小空2分，满分20分） 1. 设A、B是随机事件，P(A)=0.8，P(B)=0.6，则当A与B互不相容时，P(A?B)=_____________，当A与B相互独立时， P(A?B)=_____________. 2. 设 ??2 3 ?x,x∈[1,8] （10分）设随机变量X的密度函数为f(x)=?，F(x)是4、 3? 其它?0, P(A)=0.5 , P(B)=0.4 , P(A|B)=0.6 ，则 P(A?B)=_____________，P(A+B)=_____________. 3. 假设笼子里有6只黑猫、4只白猫，打开笼子，猫依次跑出，则第6只 跑出的是黑猫的概率为 ______ . 4. 设随机变量X服从参数为2的指数分布，则EX=___________， X的分布函数，求Y=F(X)的密度函数fY(y). 50 EX2= . 5. 设X1,??,Xn是来自总体X~U(0,θ)的一个样本，样本均值为X，若cX是参数θ的无偏估计量，则c=_______，D(cX)=_______. 6. 设某微机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用. 若各终端使用与否是相互独立的，则由中心极限定理知，有不少于10个终端在使用的概率为_____________. 二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分） 1. 设X~N(μ,σ)，那么当σ增大时，P(|X?μ|<σ)将 ( ). 2 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 第一章 随机事件与概率 §1.1 随机事件 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）. （2）在以原点为圆心的单位圆内任取一点，记录它的坐标. 2.设A,B,C是三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生而B,C都不发生. （2）A,B都发生而C不发生. （3）三个事件恰有一个发生. （4）三个事件至少有一个发生. （5）三个事件至少有两个发生. （6）三个事件不多于两个发生. (7) A,B,C都不发生. 3. 指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并说明理由. （1）A∪B=AB∪B； （2）(A∪B)C=A∩B∩C； （3）(AB)(AB)=φ； （4）若A?B，则A=AB； （5）若AB=φ且C?A，则BC=φ. 1 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §1.2 随机事件的概率 1.设事件A与B互不相容，P(A)=0.3，P(B)=0.6，求P(A∪B). 2.设A,B,C是三个随机事件，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= 18 ，P(A)=P(B)=P(C)= 1 4 ，求A,B,C至少有一个发生的概率. 3. 设P(A)=13，P(B)=1 2 . 在下列三种情况下求P(BA)的值： （1）AB=φ； （2）A?B； （3）P(AB)=1 8 . 4. 设A、B为两个事件，P(B)=0.5，P(A?B)=0.3，求P(A∩B). 2 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §1.3 古典概型与几何概型 1. 一批产品共10件，其中一等品3件，二等品5件，三等品2件，现从中任取3件，求：（1）恰好有两件一等品的概率；（2）至少有2件产品的等级相同的概率． 2. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率. 3. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 4. 在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之差的绝对值小于1 2 ”的概率. 3 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §1.4 条件概率 1. (1) 已知P(A)=1/4,,P(B|A)=1/3,P(AB)=1/2,求P(A∪B). (2) 已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5, 求条件概率 P(B|A∪B). 2. 掷两枚均匀的骰子, 已知它们出现的点数各不相同, 求其中有一个点数为4的概率. 3. 假设有3箱同型号的零件，分别装有25件，20件，15件，而一等品分别有20件，18件，12件. 现在等可能地任选一箱，从中先后各随机抽取一个零件（第一次取到的放回）：（1）计算两次都取到一等品的概率；（2）已知两次都取到了一等品，求取自第一箱的概率. 4. 甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中有5个红球3个白球，从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求：（1）乙袋中取得红球的概率.（2）已知从乙袋中取到红球，求从甲袋中取到一个红球一个白球的概率. 4 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §1.5 事件的独立性 1．P(A)=0.3,P(C)=0.6,P(BA)=0.4,P(B∪C)=0.72，B与C独立，求P(A∪B). 2. 加工一个产品要经过三道工序, 第一二三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品是独立的, 求经过三道工序生产出的是废品的概率. 3．某种电子元件寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使 用1000小时后，最多只坏了一个的概率. 4．甲乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们命中的概率为0.4及0.5，则 甲先投中的概率为多少？乙先投中的概率为多少？ 5 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §5.4 假设检验概述 §5.5 单正态总体的参数假设检验 1. 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，标准差保持在0.06Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62Ω,标准差不变，问新工艺下此零件的平均电阻有无显著变化？（α=0.05） 3．9名测量人员独立测量同一块土地，分别得到面积数据为(单位：km) 2 1.24, 1.29, 1.28, 1.26, 1.22, 1.28, 1.26, 1.27, 1.25 设测量值服从正态分布，由观测数据能否说明这块土地面积超过1.26km? （α=0.05） 4．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048. 从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44，问这一天纤度的总体方差是否正常(α=0.05)？ 2 2．某机床生产某种型号零件的直径（单位：mm）在正常状态下服从正态 分布N30,σ(2 )，某日开工后测得6件该型号零件的直径分别为 28，27，31，29，30，27（mm）. 根据测试结果判断该天机床工作是否正常（α=0.05）. 41 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 5．某炼铁厂的铁水含碳量X在正常条件下服从正态分布N(μ,0.108). 现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5个样品，测得含碳量为: 4.421， 4.052，4.357， 4.287， 4.683 . 据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.108？(α=0.05) 2 2 42 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §5.6 双正态总体的参数假设检验 1. 设甲、乙两台车床生产同一种产品，今从甲车床生产的产品中抽取30件，测得平均重量为130克，从乙车床生产的产品中抽取40件，测得平均重量为125克. 假定两台车床生产的产品的重量都服从正态分布，方差分别为σ1=60,σ2=80. 问在显著性水平α=0.05下，两台车床生产的产品重量是否有显著差异？ 2 2 3. 有甲、乙两台机床加工相同的产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件，测量它们的直径（单位：mm），数据如下： 2 n1=8,x=19.925,s12=0.216;n2=7,y=20,s2=0.397, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径均值有无显著差异？假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布，且总体方差相等. (α=0.05) 2 2. 甲、乙两厂生产同种灯泡，其寿命X,Y分别服从正态分布N(μ1,σ1)， 2 N(μ2,σ2)，已知他们寿命的标准差分别为84h和96h. 现从两厂生产的 灯泡中各取60只，测得平均寿命分别为1295h和1230h, 能否认为甲厂生产的灯泡的寿命比乙厂生产的灯泡的寿命长？（α=0.05） 43 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 第五章 自测题 一、填空题 6. 一名汽车销售经理正在考虑采取一种新型的奖励计划以提高销售量。目前，平均每月销售14辆汽车。经理通过研究想知道这种新型的奖励计划能否增加销量。在该项研究中，合适的原假设和备择假设为 1. 设总体X的均值EX=μ，方差DX=σ，其中μ,σ是未知参数， 2 x1,x2,??,xn是来自X的一组样本观测值，则μ的矩估计为 ?=_______，σ2的矩估计为σ?2=_______． μ2. 已知总体X服从参数为λ的泊松分布，x1,x2,??,xn是来自X的一组样 ． 7. 假设检验的实际推断原理是 ． 8. 设x1,??,x10是来自N(μ,σ)的样本，其中σ未知，考虑假设检验问题H0:μ=10?H1:μ≠10，显著水平α=0.05，则此检验的拒绝域为 ．（t0.025(9)=2.26） 2 2 ?=_______． 本观测值，则λ的矩估计为λ?αxα?10 (α>0,α是未知参3. 设总体X的密度函数f(x,α)=? 其他?0 数)，x1,x2,??,xn是来自X的一组样本观测值，则似然函数 二、判断题 1. 设总体X的密度函数为f(x,θ),θ是未知参数，对于总体的一组样本观 测值(x1,x2,??,xn)，则 L(λ)=_______________． 4. 设总体X的均值EX= ∏f(x,θ)是参数θ的函数． ( ) i i=1 n ?=k(3X1+2X2?X3) μ，方差DX=1， μ?，使得似然函数的对数取最大2. 最大似然估计就是要找出一个估计量θ为μ的一个估计量，其中X1,X2,X3为X的样本，k为常数，则当 ?)=maxlnL(θ)． ( ) 值，即lnL(θ3. 对于给定的置信度，任一未知参数的置信区间都是唯一的． ( ) ?)= ． ?为μ的无偏估计量，此时D(μk= 时，μ5. 设θ为总体X的未知参数，θ1,θ2为统计量，若(θ1,θ2)为θ的置信度 为1?α(0<α<1)的置信区间，则P{θ1<θ<θ2}=___________． 44 1n22 (X?X)都是总体方差σ4. 对于任一总体X，样本方差S=∑i n?1i=1 2 的无偏估计量． ( ) 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 5. 任一总体的未知参数θ的最大似然估计量一定是无偏估计量． ( ) 6. 假设检验中，若检验法选择正确，且计算无误，则计算精确就可避免做 出错误判断． ( ) 2. 用最大似然估计法估计几何分布P{X=k}=p(1?p) k?1 , k=1,2,??, 中的未知参数p. 三、计算题 1. 设总体X~N(μ,22 ), X1,X2,X3是它的样本，试问： μ?232 1＝7X1+7X2+7X3, μ?1 2＝X131+4X+5 212 X3， μ?111 3＝3X1+6 X2+2X3 是否都是μ的无偏估计量，并问哪个估计量最有效？ x 3. 设总体X的密度函数为f(x,σ)=12σe?σ,?∞ 45 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 5. 设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=?? 2(x+y),0≤x≤y≤1 ，? 0,其他（1）求X,Y的边缘密度函数，并判断X,Y是否相互独立； （2）求P{X+Y<1}；（3）求E(XY). 6. 为方便计算，在进行加法运算时，对每个加数都四舍五入取到百分位， 其各加数的舍入误差可以认为是服从(?0.5×10?2， 0.5×10?2 )上均匀分布的相互独立的随机变量。现有100个加数相加，试以99.7%的概率断定其误差所在的范围(?a，a). 31 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 第四章 数理统计的基础知识 §4.1 总体与样本 §4.2 统计量 1. 设容量n=9的样本的观察值为（8，7，6，9，7，7，5，8，6），则样 本均值X与样本方差S分别为多少？ 2 3．(1) 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,??,Xn是来自总体 的样本，试写出样本的概率分布. (2) 设总体X服从参数为λ的指数分布，X1,X2,??,Xn是来自总体的 样本，试写出样本的概率密度函数. 2．设X1,X2,??,Xn是取自总体X的样本，X,S分别为样本均值与样本 方差，假定μ=EX,σ2 §4.3 常用的统计分布 §4.4 抽样分布 1. 设总体X服从正态分布N(42,5.4)，从总体X中随机抽取一容量为 2 2 25的样本，求样本均值X落在40.8到43.8之间的概率. 32 =DX均存在，试求EX,DX,ES. 2 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 2. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本， 2 4. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令统计量 2 X=α(X1?2X2)2+β(3X3?4X4)2，若统计量X服从χ2分布，试计 算α,β的值． Y=(X1+X2)2+(X3?X4)2, 若CY～χ2(2)，求常数C. 5. 设X1,??,X8和Y1,??,Y10分别是取自总体N(?1,2)和N(2,5)的样 22 本，且相互独立，S1和S2 2 3．假设总体X与总体Y相互独立且都服从N(0,3)，X1,X2,??,X9和 2 分别是两个样本的样本方差，试求 5S12 24S2 服从的 Y1,Y2,??,Y9是分别来自总体X和Y的样本. 试证明：统计量T= 33 分布. X1+X2+??+X9Y+Y+??+Y 21 22 29 ~t(9). 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 第四章 自测题 一、选择题 1. X1,X2,??Xn是来自正态总体X~N(μ,σ)的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( ) n 2 X12+X2+??+X92 Y1,Y2,??,Y16分别为来自X和Y的样本, 则 2 2 Y1+Y22+??+Y16 2 服从的分布为( ) (A) F(16,9) (B) F(9,16) (C) F(9,9) (D) F(16,16) (A) maxXk (B)X?μ (C) 1≤k≤n ∑σk=1 Xk (D) minXk 1≤k≤n 6. 设X～N(μ,σ)其中μ已知，σ未知，X1,X2,X3是样本，则下列 选项中不是统计量的是 ( ) 22 2. 设随机变量X的密度函数为 f(x)= 12πe ? (x+3)24 ,x∈(?∞,+∞)， (A) X1+X2+X3 (B) max{X1,X2,X3} (C) ∑ 3 则服从N(0,1)分布的随机变量为( ) Xi2 2 (A) X+3X?3X+3X?3 (B) (C) (D) 2222 2 i=1σ (D) X1?μ 2 2 7. 设X~N(μ,σ)，且μ已知，σ未知，X1,X2,??,Xn是X的一个容 量为n的样本，下列各式中哪个不是统计量（ ） 2 (A) X1+X2 (B) ∑Xi?5μ (C) ∑Xi (D) X1?σ i=1 i=1 n n 3. X服从正态分布，EX=?1，EX =4，X1,X2,??,Xn是来自总体 1n X的样本，X=∑Xi，则X服从的分布为（ ） ni=1 (A) N(?1,) (B) N(?1,) (C) N(? 2 3n4n113,4) (D) N(?,) nnn 8. 假设总体X~U[ 11 ?θ,+θ],其中θ为未知参数，又假设22 4. 设X~N(0,σ)，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ） 1n X1,X2,??,Xn是来自总体X的一组样本，令Y=∑(Xi?μ)2， ni=1 则当μ为( )时，Y不是统计量. (A) nXnXnXnX (B) (C) (D) SSS2S2 5. 设总体X~N(0,16),Y~N(0,9),X,Y相互独立,X1,X2,??,X9和 34 (A) 1n ∑Xi (B) maxXi (C) EX (D) DX 1≤i≤nni=1 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 1n1n22 9. 设X~N(0,1)，X=∑Xi，S=∑(Xi?X)，服从自由 ni=1n?1i=1 度为n?1的χ分布的随机变量是（ ） 2 (C) ∑Xi~ i=1 n 2 χ2(n) (D) XS~t(n?1) 2 12. 设X1,X2,??X16是取自总体X~N(1,σ)的样本，X为样本均值， 2 (A) ∑Xi (B) S (C) (n?1)X (D) (n?1)S i=1 n 22 2 已知Y=aX+b~N(0,1)，则有（ ） (A) a= 10. 设X1,X2,??Xn为来自正态总体N(μ,σ)简单随机样本，X是样本 均值，记S1= n 4 2 σ,b=?4,b= 4 σ4 (B) a=σ,b=?σ (D) a=σ,b=σ 2 (C) a=? 2 1n1n222 ，(X?X)S=∑i∑(Xi?X)，2 n?1i=1ni=1 n σσ13．设总体X与Y相互独立，且都服从N(0,σ)，X1,X2,X3和 2 S3 11222 则服从自由度为n?1=∑(Xi?μ)，S4=∑(Xi?μ)， ni=1n?1i=1 Y1,Y2,Y3,Y4分别是来自X和Y的样本，则统计量 分布为( ) i=14 ∑Xi 3 2 服从的 的t分布的随机变量是（ ） i=1 ∑(Yi?Y)(A) t= X?μS1/n?1X?μS3/n (B) t= X?μS2/n?1X?μS4/n (A) N(01,) (B) F(3,3) (C) F(3,4) (D) t(3) 二、填空题 1.设X1,X2,??,Xn是来自总体X~N(1,3)的一个简单随机样本，X是 样本均值，则EX=__________,DX=_____________. 2. 设105，110，120，125，118为总体X的一组样本值，则样本均值 2 (C) t= (D) t= 11．设X1,X2,??Xn是取自总体N(0,1)的样本，X,S分别为样本均值与 样本标准差，则下列正确的是（ ） (A) X~N(0,1) (B) nX~N(0,1) X=________, 样本方差S2=_________. 35 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 3．设X1,X2,??,X4是来自总体的一个简单随机样本，总体X~ χ2(n)， 三、计算题 1. 假设样本X1,X2,??,Xn来自正态总体N(10,2)，样本均值X满足概 率等式P{9.02≤X≤10.98}=0.95，试确定样本容量n的大小. 2 X是样本均值，则EX=___________,DX_________. 4. 设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(μ,σ)的一个简单随机样本， 令W= 2 (X3?X4) i=1 2 ∑(Xi?μ)2 ，则W~__________.（需指明自由度） 5. 设总体X~N(0,σ),X1,??,X3n是取自总体的一个样本，则 2 Y= 22 X12+X2+??+X2n22(X2n+1 + 2 X2n+2 +??+ 2 X3n) 服从 分布.（需指明自由度） 2. 已知总体X和Y相互独立，且X~N(20,3),Y~N(20,5)，分别在总 ni=1 6.设X1,X2,??Xn是取自两点分布总体b(1,p)的样本，则∑Xi的分布为 ________, 当n很大时，样本均值X近似服从_______分布. 7．设X1,??X9是取自总体N(0,σ)的样本，则统计量 2 体X和Y中抽取m=10,n=25的简单随机样本，X，Y分别为X和 Y的样本均值，试求P{X?Y>0.3}. 36 Y= 11 (X1+??+X5)?(X6+??+X9)服从的分布为__________. 45 2 8．设X1,X2,X3,X4,X5是来自总体X~N(0,σ)的一个简单随机样 本，若 a(X1+X2) 2 X3 + 2X4 + 2X5 服从t分布，则a=__________. 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 3. 设X1,X2,??,Xn是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，试求系数 2 a,b,c,使得统计量： W=a(X2 2 1+X2)+b(X3+X4+X5)+c(X2 6+X7+X8+X9) 服从χ2 分布，并求自由度. 四、证明题 1. 已知X2 1,X2,??,Xn,Xn+1是取自正态总体N(μ,σ)的样本，试证明： Y=X1n+1 nn+1? n+1σ2) . i∑X=1i~N(0, n+1 2．已知：X~t(n)，证明：X2 ~F(1,n). 37 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 第五章 参数估计与假设检验 §5.1 点估计概述 1. 设总体X~N(μ,σ)，其中μ未知，σ已知．又设X1,X2,??,Xn是来自总体X的样本，试指出以下各量是不是统计量？在统计量中哪些是 2 2 μ的无偏估计量？并说明理由． 1211 X1+X2+X3 ； （2）(X2+2μ) ； 2363 n Xi2 （3）X3 ； （4）∑2 . （1） i=1 ?)>0，证明θ?不是θ的无偏估计. ?是θ的无偏估计量，且有D(θ3. 设θ2 2 σ 2．假设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,??,Xn是来自总体X 4. 设X1,X2,??,Xn是来自于总体N(μ,1)的简单随机样本，试证估计量 ∧111212 μ2=X1+X2+X3, μ1=X1?X2+X3, 333333 ∧ 11 X1+X2?X3 22 均是μ的无偏估计量，并指出哪一个估计量最为有效. μ3= ∧ 1n (Xi?X)2。已知的简单随机样本,其均值为X，样本方差S=∑n?1i=1 2 λ=aX+(2?3a)S2为λ的无偏估计，计算a. 38 ∧ 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §5.2 参数的最大似然估计与矩估计 1. 设X1,X2,??,Xn是来自总体X的简单随机样本，试求下列总体分布中未知参数的矩估计与最大似然估计. ?(α+1)xα,0 （1）X的密度函数为f(x;α)=?，α>?1为未知参 0,其他.? 数； （2）X服从参数为θ的指数分布，θ>0为未知参数； 39 （3）X服从参数为λ的泊松分布，λ>0为未知参数。 2．总体X具有分布律 X1 Pθ223 其中θ(0<θ<1)为2， 2θ(1?θ)(1?θ) 未知参数，已知随机抽样取得样本值x1=1,x2=2,x3=1，试求参数θ的矩估计值和最大似然估计值． 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号 §5.3 置信区间 1. 为了对完成某项工作所需时间建立一个标准，工厂随意抽选了16名有 经验的工人分别去完成这项工作。结果发现他们所需的平均时间为13分钟，样本标准差为3分钟。假定完成这项工作所需的时间服从正态分布，试确定完成此项工作所需平均时间的95% 置信区间. 2. 随机地从一批零件中抽取16个，测得长度(cm)为： 3. 从某校初一年级中随机抽取20名学生，他们的数学期末考试成绩为： 81 84 74 98 66 99 84 97 92 69 48 87 72 100 84 88 41 55 49 64 设该年级学生的数学成绩X服从正态分布N(μ,σ)，求 （1）该年级学生的数学平均成绩μ的95％的置信区间； （2）该年级学生数学成绩的方差σ的95％的置信区间. 2 2 40 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10， 2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11. 设零件长度分布为正态分布，试求总体μ的90％的置信区间： （1）若σ=0.01(cm)，（2）若σ未知.