第六章 不 等 式第2课时 二元一次不等式(组)与简单
的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88
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考情分析 会从实际情境中抽象出二元一次次不等式组. 不等式组；了解二元一次不等式的考点新知
① 会从实际情境中抽象出二元一② 了解二元一次不等式的几何意几何意义，能用平面区域表示二元义，能用平面区域表示二元一一次不等式组；会从实际情境中抽次不等式组. 象出一些简单的二元线性规划问③ 会从实际情境中抽象出一些简题，并能加以解决． 单的二元线性规划问题，并能加以 解决.
1. (必修5P74练习题1改编)若点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是________．
答案：a<0
解析：点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则2a＋3<3，解得a<0.
x－y＋4≥0，??
2. (必修5P77练习题2改编)不等式组?x＋y≥0，所表示的平
??x≤3面区域的面积是________．
答案：25
解析：直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3，7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S△1
ABC＝×5×10＝25. 2
x＋y≥2，??
3. (必修5P84习题4改编) 已知实数x、y满足?x－y≤2，则z＝
??0≤y≤3，2x＋y的最小值是________．
答案：1
解析：如图所示作出可行域，可知当z＝2x＋y过点A(－1，3)时z最小，此时z＝1.
4. (必修5P80练习题2改编)设变量x、y满足约束条件：
y≥x，??
?x＋2y≤2，则z＝x－3y的最小值为________． ??x≥－2，
答案：－8
解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.
x≥0，??
5. 若不等式组?x＋3y≥4，所表示的平面区域被直线
??3x＋y≤4分为面积相等的两部分，则k＝________．
7
答案：3
4
解析：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋3过4??4定点?0，3?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋3能平分平面区
??
?15?4
??，域．因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点M22.当y＝kx＋3过点???15?5k47
?，?时，＝＋，所以k＝. 2233?22?
4
y＝kx＋3
1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域， y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域， y ② 检验它的坐标是否满足所给的不等式； ③ 若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域． (3) 二元一次不等式组表示的平面区域 不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念 名称 约束条变量x、y满足的一次不等式组 件 目标函 定义 欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数 数 可行域 最优解 线性规 划问题 值问题 [备课札记] 约束条件所表示的平面区域称为可行域 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小 题型1 二元一次不等式表示的平面区域 x－y＋5≥0，?? 画出不等式组?x＋y≥0，表示的平面区域． ??x≤3 例1 解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示x－y＋5≥0，?? 直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组?x＋y≥0，表示的 ??x≤3平面区域如下图所示． 备选变式（教师专享） x＋y>0，?? 在平面直角坐标系中，不等式组?x－y＋4≥0，(a为常数)，表示 ??x≤a的平面区域的面积为9，那么实数a的值为________． 答案：1 x＋y>0，?? 解析：不等式组?x－y＋4≥0，表示的平面区域如图阴影部分． ??x≤a11 S＝2|BC|×(a＋2)＝2(2a＋4)×(a＋2)＝9. 又a>－2，∴ a＝1. 题型2 线性规划问题 例2 设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件： x－4y≤－3，?? ?3x＋5y≤25， 求z的最大值和最小值． ??x≥1， 解：变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．(如图) 作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈R可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x，y)满足2x＋y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的t最大，以经过点B(1，1)的直线l1所对应的t最小．所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3. 变式训练 x－y＋6≥0，?? 已知实数x，y满足?x＋y≥0，若z＝ax＋y的最大值为3a＋ ??x≤3，9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为__________． 答案：[－1，1] 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴ －1≤－a≤1，即－1≤a≤1. 题型3 线性规划的实际应用 例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg；生产乙产品1桶需耗A原料2 kg，B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z＝300x＋400y， ??2x＋y≤12， 且? x≥0，??y≥0， 画可行域如图所示， 3z 目标函数z＝300x＋400y可变形为y＝－4x＋400， 这是随z变化的一簇平行直线， x＋2y≤12， ???2x＋y＝12，?x＝4， 解方程组?∴ ?即A(4，4)， ??x＋2y＝12，y＝4，?? ∴ zmax＝1 200＋1 600＝2 800(元)． 故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元． 备选变式（教师专享） 某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和x＋y≤300，?? y分钟，总收益为z元．由题意，得?500x＋200y≤90000， ??x≥0，y≥0. 目标函数为z＝3000x＋2000y. x＋y≤300，?? 二元一次不等式组等价于?5x＋2y≤900， ??x≥0，y≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0. ??x＋y＝300， 联立?解得x＝100，y＝200. ??5x＋2y＝900， 记点M的坐标为(100，200)． 平移直线l，易知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值． ∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)． 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 1. (2013·南通模拟)已知0＜a＜1，loga(2x－y＋1)＞loga(3y－x＋2)，且λ＜x＋y，则λ的最大值为________． 答案：－2 ??3x－4y－1<0，解析：2x－y＋1<3y－x＋2，即?作出可行域，则 ??2x－y＋1>0， z＝x＋y经过点(－1，－1)时最小，故x＋y>－2，所以λ的最大值为－2. x＋y－3≤0，?? 2. 若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件?x－2y－3≤0，则 ??x≥m，实数m的最大值为________． 答案：1 解析：可行域如下： x＋y－3≤0，?? 所以，若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件?x－2y－3≤0， ??x≥m，则3－m≥2m，即m≤1. x－y≤10，?? 满足?0≤x＋y≤20，则 ??0≤y≤15， 3. 设变量x、y 2x＋3y的最大值是 ________． 答案：55 ??x＋y＝20， 解析：由?得A(5，15)，且A为最大解，∴ zmax＝2 ?y＝15? ×5＋3×15＝55. 4. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/ 亩 黄瓜 韭菜 4 t 6 t 亩 1.2万元 元 0.9万元 0.3万元 价 0.55万年种植成本/每吨售为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________． 答案：30亩、20亩 解析：设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x、y，则总利润z＝(4×0.55 －1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y， x＋y≤50，?? 此时x、y满足条件?1.2x＋0.9y≤54，画出可行域知，最优解为 ??x≥0，y≥0，(30，20)． ??y≥0， 5. 直线2x＋y－10＝0与不等式组?表示的平面区 x－y≥－2，??4x＋3y≤20 域的公共点有________个． 答案：1 x≥0， ??y≥0， 解析：画出不等式组?表示的可行域，如图阴影部 x－y≥－2，??4x＋3y≤20 分所示(含边界)． x≥0， 因为直线2x＋y－10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直4 线4x＋3y＝20的斜率－3，故只有一个公共点(5，0)． x＋y－11≥0，?? 1. 设不等式组?3x－y＋3≥0， 表示的平面区域为D，若指数函 ??5x－3y＋9≤0数y＝ax的图象存在区域D上的点，则a的取值范围是________． 答案：1 解析：先画出如图所示的可行域，当函数ax的图象过点A(2，9)时，有a2＝9，∴a＝3.又a＞1，∴1＜a≤3. 0≤x≤1，?? 2. 设z＝2y－2x＋4，其中x、y满足条件?0≤y≤2，求z的最 ??2y－x≥1，大值和最小值． 0≤x≤1，?? 解：作出满足不等式组?0≤y≤2，的可行域，如图所示作直线l： ??2y－x≥12y－2x＝t. 当l过点A(0，2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8， 当l过点B(1，1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4. x－4y≤－3?? 3. 已知x，y满足约束条件?3x＋5y≤25，试求解下列问题． ??x≥1(1) z＝x2＋y2的最大值和最小值； y (2) z＝的最大值和最小值； x＋2(3) z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值． 解：(1) z＝x2＋y2表示的几何意义是区域中的点(x，y)到原点(0，10)的距离，则zmax＝5，zmin＝2. y (2) z＝表示区域中的点(x，y)与点(－2，0)连线的斜率，则 x＋21 zmax＝1，zmin＝4. |3x＋4y＋3||3x＋4y＋3| (3) z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示区域中的55点(x，y)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，则zmax＝14，zmin＝5. 4. 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得z＝2.5x＋4y，且x、y满足 ?y≥0，y∈N，?y≥0，y∈N，?? ?12x＋8y≥64，即?3x＋2y≥16， ?6x＋6y≥42，?x＋y≥7，?6x＋10y≥54，?3x＋5y≥27. 作出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分的整数点． x≥0，x∈N，x≥0，x∈N， 让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值． 因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 1. 确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx＋b(<，≥，≤)． 2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值的求解步骤 ① 作出可行域；② 作出直线l0：ax＋by＝0；③ 平移直线l0： ax＋by＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点；④ 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义： ① ② x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； （x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离； y ③ x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值； y－b④ 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值． x－a 请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.