关于高等教育学费标准的探讨
摘要
高等教育收费是个非常复杂的问题，受各种因素的影响。为了探讨我国高校收费的合理性，我们建立“成本分担”理论模型，对我国十四类不同类型的大学进行了数据收集分析，并据此得出了结论。进一步地，为了寻求合适的高校收费标准，以使得高等教育资源能得到最优化配置，我们在前一步模型数据基础上建立了“拉姆齐定价模型” [1]。并通过这个模型求得了实现高等教育资源最优化配置的合理收费理论。
“成本分担”模型认为，高等教育要本着“谁受益, 谁承担”的原则，本文根据中国的具体国情，对约翰斯通提出的“成本分担”模型进行了改进，提出了基于中国国情的责任体简化模型。指出我国高等教育的成本应由学生，政府，学校三方进行承担的原则。为了考察中国目前高等教育收费的合理性，我们我国的高等学校按地区和类别划分为十四个种类，并对每类学校的教育成本分担情况进行分析，并结合我国居民可支配收入的情况，得出了我国高等教育收费基本合理但对弱势群体和贫困地区学生政策优惠力度不够的明确结论。并讨论了学校扩张导致的学校承担部分的上升及其后果。
而后我们在前一模型数据基础上建立其模型二“拉姆齐定价模型”[1]。拉姆齐定价原则是针对公共事业进行定价的最有效的手段。能使得社会整体福利最大化，从而最优化配置了社会的公共资源。拉姆齐定价原则在保证学校和社会双方利益的同时，采用“次最优解”法，使得系统达到帕累托最优。
具体的解法是首先，以纯数学角度将教育总福利最大化得“最优定价”
P(Q)?A'(Q)?B'(Q)?MC(Q)，即定价为边际成本，但不适用我国市场经济体制，综合
学生的利益角度，又进一步引入“次优解”，通过限定学校的收支平衡约束条件，通过拉格朗日乘数法,确定目标函数，其最优解为资金的机会成本(影子价)，得到次优定价公式为: P'(Q)?MC(Q)1??'? 。最后，再对拉姆齐定价公式假设前提的修正，将学校、学
生的利益统一而非割裂，做出修正的拉姆齐定价。
本文的特点在于：
1. 详细的数据分类，将全国大学细化为十四类进行数据的统计与分析，并考虑了诸如
居民可支配收入，学校扩建的银行负债等外部因素的影响。 2. “成本分担”模型合理的评价了我国当前高等教育收费合理性的问题，并得出了明
确的评价结论。 3. 成功地对“拉姆齐定价模型”进行了修正，得到了适合教育体系的拉姆齐定价模型，
并形成了促使教育资源利用最大化的合理的定价理论。为我们制定高等教育学费提供了强有力的理论支持。
关键字：成本分担论，拉姆齐定价模型，边际成本，教育总福利，能力支付原则
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一 问题重述
高等教育是关系我国经济发展，民族振兴的大事。因而如何促进我国高等教育事业的健康发展就成了所有人关心的大事。高等教育质量要靠必要的教育经费来保障。目前我国高等教育经费的来源主要学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对于困难学生，政府提出了“不让一个孩子因为贫困上不起大学”的大学生助学贷款计划。此外还有学费减、免、补等各种方式。
而高等教育的学费问题是个非常复杂的问题。它涉及到众多因素和不同群体的利益，既要保证高等学校有足够资金来保证教育质量和自己的健康发展，又要考虑到人民群众的承受能力。此外还收其他众多社会、历史因素的影响。
问题要求中国的具体国情，结合自己搜集到相关数据，通过数学建模分析以下问题： （1） 对几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。 （2） 根据最终的建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。
二 问题的分析
（一）数据收集
中国高等教育的学费问受很多因素的影响，合理的学费定位既要考虑到保证高等学校有足够资金来保证教育质量和自己的健康发展，又要考虑人民群众的承受能力。我们认为，在假设各种社会不确定因素（如社会稳定，经济正常发展）不变的情况下，我国现阶段的合理的高等教育学费主要受以下六个因素的影响：
（1）国家生均拨款 （2）家庭收入 （3）生均培养费用 （4）学校类型 （5）专业差别 （6）地域差别
而这些数据大部分可以在《2007国家统计年鉴》和《2007中国教育经费统计年鉴》中查找到。我们根据地域性差异和学校类别的差异将全国的大学划分为十四类进行统计分析。 （二）模型
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自1998年高校扩招后，中国高等教育规模迅速扩张，维持高等教育正常运转所需经费剧增，高等教育的供求矛盾成为高等教育发展中遇到的重大问题，高等教育形成卖方市场，造成学费过高，甚至超出了普通家庭的经济承受能力。随着我国市场经济的进一步发展，高等教育产业化的趋势日趋明显,以学生、学校双方利益的统一为前提,高校通过收取合理的学费，让更多的学生有学可上，并希望能达到社会教育资源利用率最大。
高校通过收费可以减轻国家财政负担，也有利于高校产业化的健康发展，使更多的学生收益其中。但考虑到高校产业化不是一夜之间的事情，不可能在短时间内建立其与商品市场相一支的定价机制。而且，高校的定价机制不仅要与我国目前经济状况相适应，还应考虑到具体家庭的实际收入情况，学校的成本问题，国家及其他机构的拨款等因素共同作用。
为了对我国现在的高等教育收费的合理性进行分析，我们建立“成本分担”模型，按照“谁受益, 谁承担”的原则，对上面十四类大学进行了详细的评价，最终得出明确的结论。
在此基础上，我们又建立了经过修正的“拉姆齐定价模型”，使这一公共事业定价准则能很好的应用于教育系统，并给出能促使教育资源利用最大化的合理的定价理论。
三 符号的约定
RCP：生均培养成本地区影响因子（或地区不平衡系数）
： 专业的不平衡系数 ： 生均培养成本
CBr：国家生均拨款
RBr：国家生均拨款的地区不平衡系数
Fee：高等教育的收费
RF：高等教育收费的地区不平衡性
Q： 学生入学数
Q?P?:学生入学需求函数
P(Q):最优定价，是学生入学需求数的逆函数； C(Q):学校的成本函数
F0: 与学生数无关的学校固定成本,包括：土地，设备等
3
A(Q): 高校学生培养成本函数
B(Q): 为高校获得资金函数，包括：国家拨款，社会捐赠，其他科研收入等 MC(Q)：学校的边际成本
?：拉格朗日乘数
?：学校景气引发的学费景气系数
K：为生均培养成本与生均赞助的差
四 模型的基本假设
1. 假设我国经济保持现阶段的健康稳定成长
2. 引用文献中讨论的问题科学合理，能够反映我国的现实情况 3. 调查数据是真实可信的统计数据。 4. 最优定价函数为学生需求入学的逆函数
五 模型的建立与求解
5.1模型一：成本分担论
5.1.1高等教育收费的成本分担论
高等教育的成本分担理论是美国教育经济学家布鲁斯·约翰斯通(D. B ruce Johnstone) 于1986年正式提出的。其《高等教育成本分担: 英国、联邦德国、法国、瑞典和美国的学生资助》一书,按照“谁受益, 谁承担”的原则, 阐述了各分担方的责任。约翰斯通认为高等的教育成本由四部分构成：
①政府或者说纳税人 ②学生家长 ③学生本人
④私人或社会事业捐赠。
成本分担论的理论基础主要建立在以下几个理论上：
1.公共产品理论。这一理论是从高等教育的性质出发来讨论的, 高等教育服务是介于私人产品和公共产品两者之间的准公共产品, 但是高等教育具有巨大的正外部效应, 如可以推动经济增长、改善收入分配的不公平, 增进社会物质文明和精神文明。
2.教育投资个人收益论。高等教育的成本支出是一种人力资本投资, 它具有物质资本的基本特性和类似的性质, 即能带来一定经济收入或其他收益。
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3高等教育的市场效率论。
5.1.2结合中国国情的改进的成本分担论
随着经济的发展，高校教育成本不断上升，各国政府都不得不开始考率使用成本分担模型来重新构造高等教育经费的来源。我国也开始了始于上世纪90年代的高等教育收费制度。但是成本分担理论必须结合各国情况。在我国，人民的收入较低，人均经济水平处于发展中国家的中等水平，我们在坚持“谁受益, 谁承担”的原则的同时，还要坚持维护人民群众利益，保证教育的公平性。
在我国学生一般没有稳定的收入，而且勤工助学只能解决非常一小部分费用，而且学生的自主打工在我国大部分高校不是很普遍，这一点与外国截然不同。中国学生大部分的学费最终都是由家长来承担的，因而学生家长和学生可以合并为一项。因而在中国 教育的受益者有三：受教育者本人，政府，企事业单位。其中关于收益者一，教育可以给受教育者本人带来巨大的回报，教育投资是一种投资的观念已经被大家广泛接受。关于收益者二，其实政府是整个社会群体利益的代表，教育水平的提高可以促进整个社会的物质和文化发展，因而整个社会都是高等教育的直接受益者，而政府则是整个社会和纳税人的代表。关于收益者三，企事业单位是高等教育成果的主要摘取者和教育投资的主要受益者。企业拥有的劳动力和专门人才的数量、质量是企业能否生存和发展的重要条件。例如: 美国公司企业的发展在很大程度上得益于其拥有的大量高素质人才。据统计[2], 美国20世纪初工程师和工人的比例为0.4∶100; 60 年代上升为2∶100; 80年代则达到33∶100。
因而在中国，高等教育经费应主要由这三个受益者来承担，如下图所示:
（?1）学生个人及学生家长?（?2）高校?高等教育成本分担?
?（?3）政府?社会??（?4）企事业单位、社会人士?
5.1.3 成本分担论的数据的收集与整理
要了解但前高等教育体系收费的合理性的情况，必须首先对高校教育成本、学生人均学费、政府人均拨款、企事业单位及社会人事捐款进行分析。为了保证这四个数据的可比性，都要单位统一化，将四个指标全部化为生均费用，单位元/人。
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同时，考虑到这四个因素又受到地区差异、学校差异、专业差异等因素的影响，因而有必要将数据按类统计。同时，在对最终的数据分析上，可以采取三个差异参数乘以全国平均水平来得到，例如甲类地区A类学校的?专业的生均成本计算方法如下：
甲类地区A类学校的?专业的生均成本=全国平均生均成本?地区系数R甲?专业系数
P??学校类别系数FA
（1）生均培养成本的分析
高等教育生均成本是高等教育经济学的核心概念之一,它是指高等学校为实现教育的基本职能(不包括其他职能) ,并达到教学质量的基本标准,在一定的会计期间(一年) 所必须发生的,平均用于每个学生的直接支出和应计费用的总和。它一般由人员经费、公用经费、对个人和家庭的补助支出和固定资产折旧支出等部分构成。如下图所示：
图一 高等学校教育经费支出构成
?教师工资??补助工资?食品价格补贴??职工福利费用?离退休人员费用?? 高等学校生均培养成本?奖、助学金?公务费??固定资产维护费??固定资产折旧费?业务费???其他费用根据下列表一和表二提供的数据，我们利用下面的公式计算出相应的生均成本地区性影响因子：
生均培养成本的地区影响因子RXX=
所在地区费用全国平均费用
表一 中央高校生均培养成本C 单位：元
地区 费用
北京 36506
上海 30911
东北 24600
华北 21951
华南 32223
中部 20760
西部 18323
全国 27054
6
表二 普通高校生均培养成本C 单位：元
地区 费用
北京 28127
上海 23702
东北 12404
华北 10800
华南 19765
中部 10300
西部 10934
全国 12544
注：以上两表通过计算数各省据所得，具体分省资料见附录（一） 资料来源：国家统计局. 2007中国教育经费统计年鉴. 中国统计出版社
为了体现中央院校与地方院校的差异，我们可以利用下面的公式计算生均成本学校类别影响因子：
FXX?全国地方院校费用 （XX=地方院校）? ??全国中央院校费用?1 （XX=中央院校）?
根据上面两个公式我们可以计算得到地区性因子对生均成本的影响因子为（认为全国的平均水平为1）：
表三 中央高校生均教育经费支出的地区性因子R
地区 费用
北京 1.35
上海 1.14
东北 0.91
华北 0.81
华南 1.19
中部 0.77
西部 0.68
全国 1.00
表四 普通高校生均教育经费支出的地区性因子R
地区 费用
北京 2.24
上海 1.89
东北 0.99
华北 0.86
华南 1.58
中部 0.82
西部 0.87
全国 1.00
从上面两表可以看出，地区性因素对高校生均教育成本有很大的影响。这主要是由于不同地区的消费水平，劳动力成本，资源成本的差异造成的。此外，我们还可以看到，普通高校受地区性因子的影响要比中央高校大的多。
（2）国家生均拨款
国家生均拨款是指国家每年预算内拨付学校的人均财政经费。是高校教育经费的 要组成部分。下面两表分别是中央高校和地方高校分地区的生均拨款情况表：
表五 中央高校国家生均拨款 单位：元/人
地区 费用
北京 14476
上海 12245
东北 11500
华北 7250
华南 16500
中部 8100
西部 11455
全国 11956
7
表六 普通高校国家生均拨款 单位：元/人
地区 费用
北京 15770
上海 12901
东北 5830
华北 5200
华南 7200
中部 5120
西部 6700
全国 6395
注：以上两表通过计算数各省据所得，具体分省资料见附录（一） 资料来源：国家统计局. 2007中国教育经费统计年鉴. 中国统计出版社
计算地区因素和学校类别因素对生均拨款的影响因子的公式如下：
国家生均拨款的地区影响因子
R2X=
生均成本学校类别影响因子： FXX?全国地方院校费用 （XX=地方院校）? ??全国中央院校费用?1 （XX=中央院校）?所在地区费用全国平均费用
通过上面的两个公式，我们可以分别计算得到我国中央高校国家生均拨款和普通高校国家生均拨款受地区性因子的影响程度，结果如下面两表所示：
表七 中央高校国家生均拨款的地区影响因子R2
地区 费用
表八 普通高校国家生均拨款的地区影响因子R2
地区 费用
北京 2.46
上海 2.02
东北 0.91
华北 0.81
华南 1.13
中部 0.80
西部 1.05
全国 1.00
北京 1.21
上海 1.02
东北 0.96
华北 0.61
华南 1.38
中部 0.68
西部 0.96
全国 1.00
（3）人均家庭收入的数据分析
2006年我国城镇居民家庭人均可支配收入[4]为11759.5元，农村农村居民家庭人均纯收入3587元。
（4）不同地区高校学费情况的数据分析：
高等学校学费是指高等学校依据国家物价局的规定向受教育者收取的费用。我国不同地区不同高校的平均收费状况如下表所示：
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表九 全国高校学费各地平均情况 单位：元/人
地区 费用
北京 5000
上海 5000
东北 4600
华北 4500
华南 4800
中部 4300
西部 4000
全国 4600
注：此表信息来源于新华网[3]
（5）数据的综合与简单分析
表十 中央高校情况汇总（2007年）
C/元
北京 36506 1.35 14476 1.21 5000 1.09
上海 30911 1.14 12245 1.02 5000 1.09
东北 24600 0.91 11500 0.96 4600 1.00
华北 21951 0.81 7250 0.61 4500 0.98
华南 32223 1.19 16500 1.38 4800 1.04
中部 20760 0.77 8100 0.68 4300 0.93
西部 18323 0.68 11455 0.96 4000 0.87
全国 27054 1.00 11956 1.00 4600 1
Rc
Br/元
RBr
Fee/元
RF
注：C代表生均培养成本(cost)，Rc代表生均培养成本地区影响因子（或地区不平衡系数），Br代表国家生均拨款，RBr代表国家生均拨款的地区不平衡系数，Fee代表高等教育的收费，RF代表高等教育收费的地区不平衡性。
表十一 普通高校情况汇总(2007年) 单位：元/人
C
北京 28127 2.24 15770 2.46 5000 1.09
上海 23702 1.89 12901 2.02 5000 1.09
东北 12404 0.99 5830 0.91 4600 1.00
华北 10800 0.86 5200 0.81 4500 0.98
华南 19765 1.58 7200 1.13 4800 1.04
中部 10300 0.82 5120 0.80 4300 0.93
西部 10934 0.87 6700 1.05 4000 0.87
全国 12544 1.00 6395 1.00 4600 1
Rc
Br
RBr
Fee
RF
9
初步分析：从表中可以看出，1普通高等学校受地区因素影响要比中央高校大的多。另外，学费受地域性影响不是很大，没有生均培养成本和国家生均拨款对地区因素的依赖程度大。此外，普通高校和中央高校的学费水平并没有什么明显差别，几乎是完全一样。
5.1.4 基于成本分担理论对高等教育收费的分析与评价
（1）根据表十和表十一，我们研究的高校可以分为十四类，即根据高校类型分为中央高校和普通高校，按地域可以分为北京、上海、东北、华北等七个地区，这样共有2X7=14类。下面我们将分别对这十四类高校的教育成本分配情况进行定量析。
由于社会企事业单位捐资和集资办学经费占整个高校经费来源的比例非常小, 基本上是在1% -2%之间波动。鉴于此，我们在接下来的分析中就不再讨论社会企事业单位的捐赠所分担的成本。
我们将分别计算十四类学校中个人学费、国家拨款、和其他部分（主要是高校自筹或银行贷款）占生均培养成本的比例。最终结果如表十二所示：
表十二 高校教育成本的构成
中央高校 个人学费所占
比例 国家拨款所占
比例 其它部分所占
比例 普通高校 个人学费所占
比例 国家拨款所占
比例 其它部分所占
比例
30.20%
24.50%
15.90%
10.20%
56.1%
54.4%
47.00%
48.2%
36.4% 39.30%
49.7%
61.3%
17.8%
21.1%
37.1%
41.7%
24.3%
41.8%
36.6%
46.6% 北京
44.2% 上海
34.6% 东北
46.5% 华北
33.9% 华南
40.3% 中部
34% 西部
39.6%
39.6%
46.7%
33.0%
51.2%
39.0%
62.5%
北京 13．7%
上海 16．2%
东北 18．7%
华北 20．5%
华南 14．9%
中部 20．7%
西部 21．8%
8.60% 2.10%
我们把表十二中的数据用折线表示出来，就如图二所示：
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图二 高校教育成本构成70.00`.00P.00%中央高校个人学费所占比例中央高校国家拨款所占比例中央高校其它部分所占比例普通高校个人学费所占比例普通高校国家拨款所占比例北京上海东北华北华南中部西部比例40.000.00 .00.00%0.00%普通高校其它部分所占比例地区
（3） 对运用成本分担理论对上述图表的分析： A 学生个人及学生家长分担部分
从图中可以看出，在十四类学校中，处于富裕地区的北京、上海，华南地区，个人支付的学费占整个学生培养成的较低，而比较贫穷的中部，西部地区，个人支付的教育费用则明显过高，特别是普通高校，在中部，西部和东北的一些省份，其比例已经超过了教育成本的35%，这与国家规定的高等学校收取的学费不能超过其教育成本的25%上限相违背。而且在这些不发达地区，人民的生活水平本来就不高，过高的学费更会加剧地区间的不公平性。
学费的制定不但要考虑学校方面的成本分担原则，在中国这样一个发展中国家，更要坚持能力支付原则，为了使教育公平化，我们必须保证高等教育对所有人都是可获得的，不能使学费定价成为贫困地区学生享受高等教育的一道门槛。我国始于上个世纪的高等教育收费曾经一度过高，严重的超过了居民的可承受能力。我们搜集整理了1996年至2005年高等教育学费占居民可支配收入的情况，如表十三所示：
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表十三 1996-2005年城镇与农村居民对高等教育学费的经济承受能力[8] 全国高校城镇居民 学费占城镇居民 农村居民家庭人学费占农村居民人
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
平均学费（元） 1200 2000 3200 3500 4500 4359 4218 4424 4785 5168
家庭人均 人均可支配收入 可支配收入 的比例（%） 4838.9 5160.3 5425.1 5854.0 6280.0 6859.6 7702.8 8472.2 9421.6 10493.0
25% 39% 59% 60% 72% 64% 56% 52% 51% 49%
均可支配
收入 1926.1 2090.1 2162.0 2210.3 2253.4 2366.4 2475.6 2622.2 2936.4 3254.9
均可支配收入的比
例（%）
62% 247% 148% 158% 200% 184% 207% 161% 161% 159%
将上表数据制作成图像形式，如图三所示
图三 学费占人均可支配收入比例300%0 0%学费占城镇居民可支配收入的比例比例1500P%096199719981999200020012002200320042005年份学费占农村居民可支配收入的比例
从表十三和图三中可以很明显的看到，由于农村和城镇的差异，对于一个农村家庭而言，或者对欠发达地区的家庭而言高等教育的收费已经达到了难以接受的程度。对比同时期的高校收费情况和城乡居民家庭收入情况, 我们可以看出: 一个大学生一年仅学费项就要耗掉一个城镇居民大部分收入, 并超过一个农村居民一年的收入。在2001年学费猛涨之后, 全国平均有60%的城镇居民户、72.154%的农村居民户支付不起当年的高等教育学费和生活费。因而，我们认为目前的高等教育收费在平衡地区差异方面做得还不够到位，而且往往贫穷的地方高等教育收费反而要比发达地区还多。
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B社会分担部分
社会分担部分原本应由两部分构成，但是其中企事业单位及个人的捐赠在我国高等教育成本中占得比例实在是太少了。企事业单位也是高等教育的巨大受益者，也有义务为高等教育支付一定的费用，因而加强对于这方面的政策诱导及积极的舆论导向，有利于我国高等教育事业的健康发展。
社会承担的另一部分就是政府，从图二中可以看出，国家生均拨款在全国来讲平均占到了高等教育成本的40%--50%左右，相对于中国处于发展中国家的财政情况来讲，也基本上是可以的。
C其它部分（学校盈利及其银行贷款）
从图中我们可以看到，其它部分在生均培养成本中所占的比例相当大，有时甚至能达到40%，这部分资金主要来自于高校各种其他的盈利渠道以及银行贷款等。这部分资金有利的推动了高等教育的发展。但我们同时应该注意到，有些学校这部分资金的比例过大，这很有可能是学校盲目扩张，向银行过度贷款而产生的。这部分的过度信贷必定会在将来反应在学生的收费中。目前有很多高校盲目扩张，导致学校债台高筑。根据2007年教育经费统计年鉴显示：中央高等学校年均经费支出共计880亿元，其中自筹基础设施建设费用高达71亿元（基本全部来自银行贷款），约占总经费支出的8.07%，，地方高等学校年均经费支出全国共计1815亿元（基本全部来自银行贷款），其中自筹基础设施建设经费高达218.5亿元，约占总经费支出的12.4%[4]。从这些数据可以看出,银行贷款占学校每年经费支出的比例已经相当大，而且数目惊人。而且地方院校的情况要明显比中央高校的情况更为严重，这些银行贷款虽然有很多是低息贷款，但是如此大规模的贷款扩建支出最终还是要由学生和政府来买单。因而合理的进行学校扩建，遏制学校的恶性扩建是目前高等教育改革的有一个重大问题。
5.1.5 模型一得出的结论
根据前面十四类学校教育经费构成情况的的分析，我们可以得出以下的明确结论： ①我国目前的学费水平，特别是某些地方高校和民办高校的学费偏高
②目前高校收费缺乏灵活性，对贫困地区和弱势群体的倾斜力度和扶持力度不够。 ③地方高校和中央高校普遍存在过快扩张的问题，但地方高校更为明显，最终导致地 高校学生负担过大。
5.2模型二：拉姆齐（Ramsey）模型
拉姆齐定价模型，又称逆弹性定价法，是由Baumol和Bradford借鉴Ramsey征收比例税的次优法解法提出的[9]，是处理公共事业领域定价以使得社会总福利最大化的一种
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有效手段。在诸如通讯，铁路，供水的公共事业的定价问题上发挥了巨大的作用。我们认为，高等教育产业也是一种准公共产品，既有着巨大的社会效益，也有着不小的个人效益，因而拉姆齐定价法对其同样适用。当然，教育事业与一般的公共事业还是有着很大的不同的，因而我们针对教育事业对原有的拉姆齐模型进行了进一步的改进。
5.2.1模型的建立
拉姆齐模型，是以使社会总福利最大化为目标。首先我们重新定义了社会总福利，即教育总福利，如下式所示：
教育总福利=学生福利+学校福利 （1）
我们设学生入学需求函数为Q(P),此时相应的学费定价为P，学校的成本函数为
其中A(Q)为高校学生培养成本函数，B(Q)为高校获得资金函C(Q)?F0?A(Q)?B(Q)，
数，包括：国家拨款，社会捐赠，其他科研收入等
设最优定价满足P(Q)?Q?1(P)，则我们的目标就是使教育总福利最大化，即求:
maxL(Q)??Q0P(Q)dQ?C(Q) （2）
图四 需求函数
式(2)中积分项如图四中阴影部分面积,假设P0是最优定价,则P0水平线以上的阴影面积为学生剩余,因为学生以低于其支付意愿的学费价格获得服务, P0 水平线以下的阴影面积为学校收入。式(2)对Q求导,立即可得最优定价公式
P(Q)?A'(Q)?B'(Q)?MC(Q) (3) 即最优价格等于边际成本。假设在教育产业中,边际成本是单调递减的,设Q0为(3)式的平衡点,则有学校的收入
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R(Q0)?P0Q0??Q00MC(Q)dQ?A(Q0)?B(Q0) (4)
式(4)意味着采用边际成本定学费价格, 但学校将永远无法回收固定成本,甚至连变动成本也无法回收,学校的福利是负的。这在国有福利事业公共定价中有指导意义,但不可能应用于市场经济,特别如今日益的教育产业化的趋势。即使大多数经济学家或理论家都从纯数学的角度把之称为“最优解”,但下文的拉姆齐定价公式——“次最优解”,该模型附加了学校的收支平衡约束条件，同时体现了学生的自身利益。 首先，限定P(Q)Q?A(Q)?B(Q)?0保证了学校的最基本生存条件。 通过拉格朗日乘数法,我们有目标函数,
maxL(Q)??Q0P(Q)dQ?A(Q)?B(Q)??[P(Q)Q?A(Q)?B(Q)] (5)
式(5)中,?为拉格朗日乘数,其最优解为资金的机会成本(影子价) 。
拉格朗日方程求优化问题，在上述约束条件的下，通过MATLAB求解(具体解法见附录二)
令C'(Q)=k ， ?=
1k
由式(5)导出的次优定价公式为:
P'(Q)?MC(Q)1??'? (6)
式(6) 中, ?'? ???1?? 称为拉姆齐系数;
为学生的价格需求弹性的绝对值。
dQ/QdP/P由于?'/??0,式(6) 的定价是高于边际成本的,而且对?敏感。即，若学生对价格需求弹性大，则学费价格低；反之，学生对价格需求弹性小，则学费价格可制定偏高。 尽管拉姆齐定价公式得到广泛的承认,但对它的批评主要来自两个方面:一是?很难测定,从而很难实用； 二是弹性低的要学费定价高,弹性高的要定价低,这与一般有形学费定价实践相反[ 附录二 ] 。这里,经济学上拉姆齐定价模型是以学生利益为主导，但结合现阶段中国的国情，分析当今学费现状，仅仅考虑到学生利益原则对我国高校是不适用的。本文又提出了改进的拉姆齐模型,以学生、学校的同一和利益的统一为前提,希望能达到社会教育资源利用率最大。也正是因为我国现阶段的教育状况,学生、学校的特殊关系，需要将学校的景气对需求函数的影响放入到模型中。
5.2.2 修正的拉姆齐模型定价公式
公式(2)和(5)都是将需求逆函数P(Q)作为学生独立的行为描述,推导中也没有供
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方的供给函数参与,与经济景气度无关,这正是我们所提到的没有摆脱“消费者至上”的原因。因此,拉姆齐定价模型只是在产业正常(平均)状态下讨论问题。由于我们对学校、学生利益统一的假设,学校景气会带来学校福利和学生福利增加,因此导致有效需求增加,需求函数发生变动。所以, 我们用学校盈利[P(Q)?C(Q)]作为行业景气的代理,令?表示学校景气引发的学费景气系数,用?[P(Q)?C(Q)]表示价格需求的一次调整项,需求函数会发生如图2的变动,过了拉姆齐定价的需求平衡点,相同的价格下会有更多的需求。为了简化问题,企业收支平衡约束不作调整。这样,我们有新的目标函数:
maxL(Q)?{?P(Q)??[P(Q)?C(Q)]}dQ?C(Q)??[P(Q)Q?C(Q)] (7)
0Q
图五 修改后的需求函数
经过推导,我们得到如下的最优定价公式:
MC(Q)?P'(Q)?(1??1??C(Q)?'?)??1?? (8)
Q显然, 令?= 0, (8)式就为拉姆齐定价公式。 现在，令MC(Q)=a, (1??'?)=b,
?1??C(Q)=c,
?1??Q=d,则 a/b就是拉姆齐定价公式，
c/d=AC(Q)为产出Q时的平均成本。 由分式不等式可得，若
ab?cd,b、d同号，则
?P'(Q)?AC(Q) (9)
MC(Q)1??'?若
ab?cd，b、d同号，则
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MC(Q)1??'??P'(Q)?AC(Q) （10）
(9)式表明, 若价格需求弹性大, 导致姆齐定价。
ab?cd, 则学费定价要小于平均成本, 但大于拉
(10)式表明,若某价格需求弹性小,导致齐定价。
5.2.3 模型的尝试性求解
ab?cd，则学费定价要高于平均成本,但小于拉姆
拉姆齐公式作为分析宏观经济主要工具之一，该模型在确定性的条件下，分析最优经济增长，推导满足最优路径的跨时条件，阐述了动态非货币均衡模型中的消费和资本积累原理。而对教育业这一特殊行业，具有垄断势力，不应该完全按照市场定价为其基本形成机制。应体现效率公平相结合的原则。
即使有改进的最优公式，也不可能求出精确的学费值，所以常识性求解也是在模糊估算的情况下，根据实际情况设定具体数据，测算学费定价。与现行学费定价相对比较得出适当结果。
具体求解过程
根据附录给出的2000-2006年的招生人数和生均学费，通过计算??数
表十四 学费及招生变动情况 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 招生人数 220.6 268.3 320.5 382.2 447.3 504.5 546.1 招生增长率 生均学费 21.62% 19.46% 19.25% 17.03% 12.79% 8.25% 3550 3895 4224 4419 4785 5000 5295 学费年增幅 9.70% 8.40% 4.60% 8.30% 4.49% 5.90% 弹性系数 2.23 2.31 4.18 2.05 2.84 2.35 dQ/QdP/P得到弹性系
注：数据来源见附录一
由求得弹性系数可见，目前中国的高校无论学费增加多少，其需求量还是不断增加，
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所以我国高等教育作为一个产业是缺乏弹性需求的，弹性系数相对稳定（03年非典例外）。
对弹性样本求平均数 ??2.4
MC(Q)??1??C(Q)对于修改的最优定价公式P'(Q)?(1??'?)??1??
Q由图1可知，学费在不断增长，同时为了学校要想走产业化道路，边际成本的增加是必不可少的趋势。则k，生均培养成本与生均赞助的差也在增大
模糊估算：以2007年为例，生均培养成本为19777元，生均补助=财政拨款9000元+9000*50%的其他补助=13500,k=19777-13500=6277，?=1/6277， ?'?代入次优公式可得
P'(Q)?1?MC(Q)16279?2.4?1???16279
近似计算得
（11） P'(Q)?MC(Q)
代入最优公式得
MC(Q)?P'(Q)?(1?62782.4?1?1/6277)?C(Q)?1?1/6277
Q近似计算可得：
P'(Q)?MC(Q)??C(Q)1??Q （12）
分子分母同时除以学生入学数Q后得：
P'(Q)?MC(Q)??C(Q)1/Q??
其中由于Q数量远大于1，则1/Q接近于0。
最终的定价为：
P'(Q)?MC(Q)??C(Q) （13）
对比式（11）（13），不难发现修改的拉姆齐定价原则上更符合高等教育的产业化发展趋势和学生个人有学可上的条件。（11）式过于单薄地从学生单方面考虑问题，学
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费制定仍为边际成本，没有考虑到其他经费来源对成本的分担，我国大部分高校仍然处在规模和范围经济状态，因此我国高校教育的边际成本小于平均成本。如果所有高校都按边际成本定价，高校产生的全部亏损都要政府收入来弥补，在高校规模不断扩大的情况下，财政压力难以承受。最终使高校缺乏经营效率。而式（12）用matlab模糊绘制函数曲线来分析学校景气引发的学费景气系数?（设定学校培养生均成本为6277元，生均固定资产为2500元.）
由图所示：当?在[1,2.5]范围内，收取相对学费，在教育产业化前提下，可求得最大的教育总福利，高校教育资源配置得到相对优化。
六模型的评价
6.1.1成本分担模型的优点
1成本分担模型很好的反映了我国高等教育成本的构成情况，同时为各个成分分担比例提供了理论依据。
2对于这个模型中的数据分析，很好的反映了各个地区，不同类别的高校的经费构成情况，对于分地区制定学费有着重大的指导意义。 6.1.2成本分担模型的缺点
1这个模型不能直接计算出合适的高等教育经费的值。
2模型内无法直接包含各地区的家庭收入等外部影响因素，只能在分析时人工另外添加
6.2.1拉姆齐模型优点
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1.拉姆齐定价公式假设前提的修正，将学校、学生的利益统一而非割裂，做出修正的拉姆齐定价。
2.学费按照边际成本定价优点突出，按此方法教育福利可以达到最大化，在解决了高校政策性亏损问题之后，高等教育资源得到优化配置，学费价格最低，教育服务供给量和消费量最大。
3. 给出约定条件下，考虑经济和教育利益下学费合理价格的估算。 6.2.2拉姆齐模型缺点
1.教育产业化为目标，可能需要很长的一个时间才能达到。期间不确定因素可能会影响到学费价格的制定。
2.较为笼统的成本估算，没有将专业地域等因素具体体现在公式中，可在后期改进。 3. 高校获得资金函数中各因素与数量的关系理想化。
七给有关部门的建议
通过“成本分担模型”和“拉姆赛模型”联系我国国情，综合生均拨款、培养费用、家庭收入、学校与专业差异、地区差异等多方面因素，以及对不同因素作用下对学费标准的定量分析，我们综合得出的结论对高等教育学费标准的制定提出以下建议：:
1.进一步加大财政的教育投入。我国目前的公共教育投入占GDP的比重未能完成至21世纪初达到4%的目标, 加大财政对教育的投入已经成为举国的共识, 这几年国家一直在努力进行这方面的工作,2002年原财政部项怀诚部长就表示, 中央财政对教育的投入每年要增加一个百分点。随着经济的发展, 财政对教育的投入应进一步加大, 这是完善我国学费制度, 加快我国高等教育发展的必要举措。
2.高等学校制定学费标准时，如果能综合考虑人均国内生产总值、高等教育成本、居民承受能力、高等教育需求和高等教育供给等相关因素，将有助于中国高等教育学费水平的合理化与科学化。因为随着高等教育市场化趋势的发展，单纯地依靠计划控制模式来调整学费水平己不现实，而引进市场调节机制不仅是国际高等教育发展的大势所趋，而且也是中国高等教育发展的需要。这就要我们在制定学费水平时，一方面要从国情出发，综合考虑中国的人均国内生产总值和居民的承受能力，有效地运用计划模式对高等学校学费水平加以调控;另一方面又要遵循高等教育发展的规律，通过合理地利用市场模式来达到高等教育需求和供给对学费水平自动调节的目的。
3.鼓励发展私立高等教育，形成公私立高等教育竞争发展的局面，完善高等教育市场。发展私立高等教育，不仅可以加快高等教育大众化的进程、减轻高等教育需求压力，而且也能够在一定程度上缓解高等教育的财政危机，更重要的是它可以丰富高等教育发展模式，展开与公立高等教育的竞争，促进高等教育的发展。为了形成这一局面，我们
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4 中央高校生均成本
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附录二：拉格朗日乘数法中λ的求法 提供matlab程序 syms Q ?; L=‘
??Q0P(Q)??[P(Q)?C(Q)]dQ?C(Q)??[P(Q)Q?C(Q)]’;
?S1=diff(L,sym(?Q?)); S2= diff(L,sym(???)); [q,t]=solve(S1,S2);
注：本程序只是为解拉姆齐模型中的最优问题提供的理论上的matlab解法，要解决具体问题，必须首先假定合适的P(Q）和C(Q)的具体函数。
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