第一章 函数与极限
一、填空题 1．已知f(sin1x2)=1+cosx，则f(cos1xx2)= 。
2．f(x)?ex?e1?1，则f(x)连续区间为 ，f(?0)= ，
ex?exf(?0)= 。
(4?3x)223．limx??x(1?x) = 。
4．x?0时，tgx?sinx是x的 阶无穷小。 5．limxsinx?0k1x=0成立的k为 。
6．limeatctgx? 。
x???x?ex?1,x?07．f(x)??，在x=0处连续，则b= 。
?x?b,x?08．limln(3x?1)6xx?0? 。
二、单项选择题
1．设f(x)、g(x)是[?l,l]上的偶函数，h(x)是[?l,l]上的奇函数，则 所给的函数必为奇函数。
（A）f(x)?g(x)；（B）f(x)?h(x)；(C)f(x)[h(x)?g(x)]；（D）f(x)g(x)h(x) 2．?(x)?1?x1?x，?(x)?1?3x，则当x?1时有 。
（A）?是比?高阶的无穷小； （B）?是比?低阶的无穷小； （C）?与?同阶无穷小，但不等阶；（D）?~?
?1?x?1，x?0(x??1)，?3．函数f(x)??31?x?1在x=0处连续，则k= 。
??k，x?0（A）
32； （B）
23； （C）1； （D）0。
4．数列极限limn[ln(n?1)?lnn]? 。
n??（A）1； （B）-1； (C)? ； (D)不存在但非?。 sinx?x?,x?0,?x?5．f(x)??0,x?0,则x?0是f(x)的 。
?1?xcos,x?0,x?（A） 连续点； （B）可去间断点； （C）跳跃间断点； （D）振荡间断点。
三、计算下列极限 1．lim2nsinn??x2n?1 2．limcosx?ctgxx2x?12x?13xx?0
13．limx(ex?1) 4．lim(x??x??)
cosx5．limx?8cos22x?2cosx?1x?cosx?1?32cos 6．lim11?xsinx?xtgxx?0
7．lim[n??11?2?12?3???n(n?1)x?] 8．limln(1?arctg332?x)4?x2
x?2四、用极限定义证明limx??aa,(a?0)。
五、试确定a、b之值，使lim(x??x?1x?12ax?b)?12
六、利用极限存在准则求极限
1?12?1312????131n?1n?1。 1n1．limn??1????2．设x1?a?0，且xn?1?xaxn(n?1,2,?),证明limxn存在，并求此极限值。
n??七、讨论函数f(x)?limn?nn?nx?x?xn??的连续性，若有间断点，指出其类型。
八、设f(x)在[a,b]上连续，且a?f(x)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使
f(?)??。
第二章 导数与微分
一、填空题
1．已知f?(3)?2，则lim2．f?(0)存在且
f(3?h)?f(3)2h= 。
h?0f(0)?0，则limf(x)xx?1= 。 = 。
x?03．y??2?xn?arctg1?，则y?4．f(x)二阶可导，y?f(1?sinx)，则y?= ；y??= 。 5．曲线y?ex在点 处切线与连接曲线上两点（0，1）（1，e）的弦平行。 6．y?ln[arctg(1?x)]，则dy? 。 7．y?sin(x)，则
24dydx1x)2tx? ，dydx22= , dyd(x)2? 。
8．若f(t)?limt(x?x??，则f?(t)= 。
二、单项选择题 1．设曲线y?1x和y?x2在它们交点处两切线的夹角为?，则tg?= 。
（A）-1； （B）1； （C）-2； （D）3。
2．设f(x)在x?a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是 。 （A）lim（C）limh[f(a?1h)?f(a)]存在；
（B）limf(a?2h)?f(a?h)存在；
h?0h??hf(a?h)?f(a?h)2h存在； （D）limf(a)?f(a?h)h存在。
处的
h?0h?03．已知f(x)为可导的偶函数，且lim切线方程是 。
f(1?x)?f(1)2xx?0??2，则曲线y?f(x)在(?1,2)（A）y?4x?6； （B）y??4x?2； （C）y?x?3； （D）y??x?1。
224．设f(x)可导，则limf(x??x)?f(x)= 。
?x?0?x（A）0； （B）2f(x)； （C）2f?(x) （D）2f(x)?f?(x) 5．函数f(x)有任意阶导数，且f?(x)?[f(x)]2，则f （A）n[f(x)]n?1； （B）n![f(x)]n?1； （C）(n?n!)[f(x)]n?1； （D）(n?1)![f(x)]2 三、计算下列各题 1．y?esin2(n)(x)= 。
1x，求dy。
2．??x?lnt,?y?t,32求dydx2。
t?13．x?arctgy?y，求
dydx22。
4．y?sinxcosx，求y(50)。 5．y?(x1?x)x，求y?。
6．f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?1995)，求f?(0)。
7．f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a处有连续的一阶导数，求f?(a)、f??(a)。 8．设f(x)在x?1处有连续的一阶导数，且f?(1)?2，求limddxx?1?0f(cosx?1)。
四、试确定常数a、b之值，使函数
?b(1?sinx)?a?2,x?0处处可导。 f(x)??ax?e?1,x?0五、证明曲线x2?y2?a与xy?b（a,b为常数）在交点处切线相互垂直。 六、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气 球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少？
七、若函数f(x)对任意实数x1、x2有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且f?(0)?1 证明 f?(x)?f(x)。
第三章 中值定理与导数应用
一、填空题
1．limxlnx= 。
x?0?02．函数f(x)?2x?cosx在区间 单调增。 3．函数f(x)?4?8x?3x的极大值是 。 4．曲线y?x?6x?3x在区间 是凸的。
5．函数f(x)?cosx在x?0处的2m?1阶泰勒多项式是 。 6．曲线y?xe?3x4234的拐点坐标是 。
7．若f(x)在含x0的(a,b)（其中a?b），恒有二阶负的导数，且 ，则f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值。
8．y?x3?2x?1在(??,??)内有 个零点。 二、选择题
1．函数f(x)有连续二阶导数且f(0)?0，f?(0)?1，f??(0)??2，则lim 。
（A）不存在； （B）0； （C）-1； （D）-2。
2．设f?(x)?(x?1)(2x?1)，x?(??,??)，则在(,1)内曲线f(x) 。
21f(x)?xx2x?0=
（A） 单调增凹的；（B）单调减凹的； （C）单调增凸的； （D）单调减凸。 3．f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b),f?(x0)?f??(x0)?0，则f(x)在x?0处 。 （A）取得极大值； （B）取得极小值；
（C）一定有拐点((x0),f(x0))； （D）可能取得极值，也可能有拐点。
4．设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则?：在(a,b)内f?(x)?0，与Ⅱ：在(a,b)上f?(x)?f(a)之间关系是 。
（A）Ⅰ是Ⅱ充分但非必要条件。 （B）Ⅰ是Ⅱ必要但非充分条件。
（C）Ⅰ是Ⅱ充分必要条件。 （A）Ⅰ不是Ⅱ充分条件，也不是必要条件。 5．设f(x)、g(x)在[a,b]连续可导，f(x)g(x)?0，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，则当
a?x?b，则有 。
（A）f(x)g(x)?f(a)g(a)； （B）f(x)g(x)?f(b)g(b)； （C）
f(x)g(x)3?f(a)g(a)； （D）
f(x)g(x)?f(a)g(a)。
6．方程x?3x?1?0在区间(??,??)内 。
（A） 无实根； （B）有唯一实根； （C）有两个实根； （D）有三个实根。 三、求下列函数极限 1．lim??arccosxx?1xsinxx??1?0 2．lim(x?0a?b21x?1x2xx1)x
3．lime?e2x?0xln(1?x) 4．lim[x?0ln(1?x)]
四、证明下列不等式
ba1．设b?a?e，证明a?b。
2． 2. 当0?x??2时，有不等式tgx?2sinx?3x。
五、已知y?x3sinx，利用泰勒公式求y(6)(0)。
六、试确定常数a与n的一组数，使得当x?0时，axn与ln(1?x3)?x3为等价无穷小。 七、设a1,a2,?,an是满足 a1?a23?a35???(?1)n?1an2n?1?0
的实数，证明：方程
a1cosx?a2cos3x???ancos2(n?1)x?0 在(0,?2)内至少有一个实根。
八、设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，
且f(a)?f(b)?0。证明：至少存在一点c?(a,b)，使 f?(c)?f(c)?g?(c)?0 九、设f(x)在[a,b]上可导，试证存在?，(a???b)， 使
1b3a32??[3f(?)??f?(?)]。
b?af(a)f(b)十、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，0?a?b，试证：存在 ?,??(a,b)，使得 f?(?)?a?b2?f?(?)。
十一、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。
第四章 不定积分
一.填空题 1.?dx(2?x)1?x1x3?______. 2.?sin2x1?sin2xdx?______.
3.?sin1xdx?______. 4.?xarctanxdx?______.
5．已知?'(x)=│x│,且f(?2)?a，则?(x)=__________。
6．
?[f(x)]?f?(x)dx? ____________。
二.单项选择题
1. 对于不定积分?f(x)dx ,下列等式中 是正确的. (A)d?f(x)dx?f(x)； (B)?f?(x)dx?f(x)； (C)?df(x)?f(x)； (D)2. 函数f(x)在(??,??)上连续,则dddx?f(x)dx?f(x)；
??f(x)dx?等于______.
(A)f(x)； (B)f(x)dx； (C)f(x)?c； (D)f?(x)dx3. 若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则______. (A)F(x)?G(x)?0； (B)F(x)?G(x)?0； C)F(x)?G(x)?c,(常数)； 三.计算下列各题 1.?xa?x22 (D)F(x)?G(x)?c,(常数)；
dx； 2.?x?1x?4x?132dx ；
3.?xarccosx1?x22dx； 4.?xexxdx；
e?1ln(e?1)exx5.?xsinxdx； 6.?7.?sinx?cosxsin2x1?334dx.
xxdx
8.?dxx?1?x1xx?1dx22
9.?dx
1?x 10.?dx
11.?1x(1?x)dx 12.?x(1?x)dx
13.?x?1x?x?12dx 14.?xdx5?x?x2
x?0?1?15．设f(x)??x?1 0?x?1 ，求
?2xx?1??f(x)dx。
四．设f?(sin2x)?cos2x?tan2x,当0 五．设F(x)为f(x)的原函数,当x?0时有f(x)F(x)?sin F(x)?0,试求f(x). 六．确定A,B使下式成立： 22x,且F(0)?1, ?(1?2cosx)dx2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx 七．设f(x)的导函数f?(x)的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且f(x) 极小值为2,极大值为6,求f(x). 第五章 定积分（1） 一、填空题 1．设函数f(x)在(??,??)上连续，则2．设函数f(x)在[0,4]上连续，且?3．?e3ddx?sinx23xf(t)dt? 。 x?221f(t)dt?x?3，则f(2)= 。 dx1?lnxdxx(x?1)1021? 。 4．???1dx? 。 5．?sin0?xdx? 。 6．?????2sinx?(x4?3x2?1)??cosx??dx? 。 21?x??1?2pp7．limddxddx???np?1pn??n(p?0)? 。 8． 2?xx30sintdt? 。 229． ?0sin(x?t)dt= 。 x1210．函数f(x)=xe?x?f(x)dt 则f(1)= 。 0二、单项选择题 1．lim?n???1?n?1?2n?2?????? n?n?1（A）0 （B）2 （C）ln2 （D）e2 2．若函数f(x)=（A）、?nis2?2ddx?x0sin(t?x)dx，则f(x)等于 x (B)、?1?cosx （C）nis、 xx (D)、0. 3．定积分?(x?x)edx的值是 。 （A）、0 （B）、2 （C）、2e2?2 (D)、 2126e2 4．设f(u)连续，且?xf(x)dx?0，若k?xf(2x)dx??xf(x)dx，则k= . 000(A)、1/4 （B）、1 （C）、2 （D）、4 5．若连续函数f(x)满足关系f(x)=?2x0tf()dt+ln2，则f(x)= 。 2（A）、e2ln2 (B)、x2xln2 (C)、e2?ln2?1 (D)、e2x?ln2?1 三、计算下列积分。 1．?x01234?xdx 2. 2???4?1xxdx 33．?21?2xarcsinx1?x2dx 3.?2?(x?cos2x)dx 5．?xdx 6.?21?sin2xdx a0b?四、已知函数f(x)在 x=12 的邻域内可导，且limf(x)?0,limf?(x)?997，求： x?12x?12 lim?[?12x12ttf(u)du]dt3x?12(12?x)。 xx五、设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0,F(x)=?f(t)dt?a?dtf(t)b证明： (x?[a,b])， （1）.F?(x)?2. (2).方程F(x)?0在区间（a,b)内有且只有一个根。 六、证明方程 lnx= xxe??t??01?cos2xdx,在区间（0，+?）内有且仅有两个不同的根。 七、求函数f(x)=?tedt的极值和它的图形的拐点。 0??m八、证明：?2sin0xcosmxdx?2?m?20cosxdx。 m 第五章 定积分(2) 一、填空题 1．lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)? 。 b2．如果函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别为M与m，则?f(x)dx有如下估计 a式: ??2?baf(x)dx? 。 3．设m为奇数，则?sinxdx= 。 04．?20?x2(0?x?1) f(x)dx= 。其中f(x)=?(1?x?2)2?x???35．比较积分大小?2sinxdx 0?20sin2xdx 6． ddx2?4x30sintdt? 2二、判断题 1．?xsinxdx?0??e? （ ） 2．?1lnxdx?e?1(?lnx)dx?e1?be1(lnx)dx （ ） 3．?f(x)dx?ab?baf(t)dt??af(u)du （ ） 4．?0dx?ab?aaf(x)dx?0 （ ） ??5．由于被积函数为奇函数，因此有?三、选择题 1． ddxx1?x2??dx?0 ( ) ?sinx01?tdt? 2 （A）cosx （B）cosx （C）-cos2x （D）cosx?cosx 2．设???(x)在[a,b]上连续，且??(b)?a ??(a)?b则???(x)???(x)dx? ab（A）a?b （B） 12(a?b) （C）(a2?b2) （D）(a2?b2) 22113．设f(x)=?1?cosx0sintdt g(x)= 2x66?x77,当x?0时，f(x)比g(x)是 无穷小 （A）低阶 （B）高阶 （C）同阶不等价 （D）等价 4. f(x)=lim1?242n?(x?)?(x?)???(x?)?? n?nnn??12n?? (A) x?1 (B)x?1 (C)2x?1 (D)2x?2 25．设连续函数f(x)满足：f(x)= x?x(A) 34x?x (B)x+ 2?10f(x)dx则 f(x)= 32x?x (D)x+ 234x (C) 232x 2四、计算下列积分 1．?ln3xdxe?e?xln2 2. ?3dxxx?121 ??4?3．?21?sin2xdx 4. 0??1?sin4xxdx 五、求连续函数f(x)满足：?f(tx)dt?f(x)?xarctanx 01?2?x2(1?cosx)(x?0)?六、设f（x）=?1(x?0)试讨论f(x)在x=0处的连续性与可导性 ?1x??cost2dt(x?0)?x0七、设f(x)在a,b]上二阶连续可导，f??(x)?0，求证：?f(x)dx?(b?a)f(aba?b2) 八、设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，求证： 存在??(a,b)使得 f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx a?b? 第六章 定积分的应用 (1) 一、求抛物线y=-x+4x-3及其在（0，3）和（3，0）处的切线所围图形的面积。 二、求双纽线r2=a2sin2?所围图形的面积。 223 三、求由x=2t-t,y=2t-t所围图形的面积。 2 四、求由平面图形y=cosx-sinx，y=0(0?x??4)绕X轴旋转的旋转体体积。 五、求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱及y=0绕X轴旋转的旋转体体积。 2232六、一立体图形，其底面由星形线x?y3?a3所围成，用垂直于x轴的平面去截时，截 面都是正方形，求它的体积。 七、用定积分方法证明椭球 xa22?12yb22?zc22?1的体积V= 43?abc。 八、求曲线y=ln(1-x2)(0?x??)的长。 九、求曲线r=asin3的长，(0???2?)。 ?23 十、求曲线y=1+asint,x=2+asint(0?t?)的长。 十一、 半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水 中取出，需作功多少？ 十二、 有一等腰梯形闸门，它的两条边底各长10米和6米，高为20米，较长的底边与 水面平齐，门面与水面垂直，计算闸门一侧所受的水压力。 十三、 求y=x3?x2?2x在[-3，3]上的平均值。 十四、 已知交流电流I=Imsin100?t在0?t?0.02上的有效值为4，求Im. 第六章 定积分的应用 (2) 一、求抛物线y=4(x+1)与抛物线y=4(1-x)所围图形的面积。 2 2 二、求两椭圆 xa22?yb22?1及xb22?ya22?1 （a>0,b>0）公共部分的面积。 三、若曲线y=cosx (0?x??2)与X轴，Y轴所围成的圆形被曲线y=asinx,y=bsinx,(a>b>0), 分成面积相等的三部分，试确定a,b的值。 22 四、设曲线y=x-2x+4在点M（0，4）处的切线与曲线y=2(x-1)所围成的图形为A求： （1） A的面积； （2） 将A绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。 22 五、设x+(y-a) ?16 (a>4)绕X轴旋转一周的旋转体的体积为160?，求a . 2 六、证明：曲线y=sinx上相应于x从0变到2?的一段弧长等于椭圆：2x2+y2=2的周长。 七、已知两点A（a,0）B(0,a)在星形线x=acos3t y=asin3t (0?t???2)上，求点M使 AM= 14?AB 八、一块边长为3、4、5m，重500kg，面密度均匀的三角形钢板，水平放置，求将此钢板 竖立在3m边上需做多少功。 九、一底为8cm,高为6cm的等腰三角形膜片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水 面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力。