2.2.1 椭圆及其标准方程
课堂导学
三点剖析
一、求椭圆的标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(?35,). 22x2y2解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为2?2=1(a>b>0).
ab∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.
22222
∴b=a-c=5-4=9.
x2y2?∴所求椭圆的标准方程为=1. 259y2x2(2)∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为2?2=1(a>b>0).
ab由椭圆的定义知,2a=(?)?(?2)+ (?)?(?2)=210,
322522322522∴a=10.又c=2,∴b=a-c=10-4=6.
2
2
2
y2x2?∴所求椭圆的标准方程为=1. 106温馨提示
22
求椭圆的标准方程就是求a及b(a>b>0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上
x2y2y2x2时,椭圆的标准方程为2?2=1;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为2?2=1.
abab二、应用椭圆的定义解题
2222
【例2】一动圆与已知圆O1：（x+3）+y=1外切与圆O2：（x-3）+y=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
解析:两定圆的圆心半径分别为 O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9 设动圆圆心为M（x，y），半径为R 由题设条件知：
|MO1|=1+R，|MO2|=9-R ∴|MO1|+|MO2|=10 由椭圆的定义知：
M在以O1，O2为焦点的椭圆上，
且a=5，c=3， 222
∴b=a-c=25-9=16
x2y2?故动圆圆心的轨迹方程为 =1. 2516温馨提示
两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件. 三、利用椭圆的标准方程解题
22
【例3】 椭圆5x+ky=5的一个焦点为（0，2）则k=_____________. 解析:将椭圆方程化为标准方程
y2可得x+=1，
5k2
由其中一个焦点为（0，2），知a=a-b=c即
2
2
2
2
52
，b=1，且 k5-1=4得k=1. k温馨提示
22
先将椭圆方程化为标准形式，再由其中一个焦点确定a，b，最后通过a、b、c之间的关系确定k的值.
各个击破
类题演练 1 求经过两点P1(
111,),P2(0,?)的椭圆的标准方程. 332解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.
(1)焦点在x轴上时:
x2y2设椭圆的方程为2+2=1(a＞b＞0).
ab12?12()()?3?213a?,?2?2?1,???a5b依题意知?解得?.
11?b2??(?)2??24??1.??b2∵
11＜,∴方程组无解. 54(2)焦点在y轴上时:
y2x2设椭圆的方程为2+2=1(a＞b＞0).
ab12?12()()?3?213??1,a?,?22???a4b依题意可得?,解得?.
1?b2??(?1)2??25??1.2??ay2x2?∴所求椭圆的标准方程为=1. 1145解法二:设所求椭圆方程的一般式为Ax+By=1(A＞0,B＞0).
2
2
12?12A()?b()?1,??A?5,?33依题意可得?解得?
?B?4.?B(?1)2?1.?2?∴所求椭圆的方程为5x+4y=1.
2
2
y2x2?∴标准方程为=1. 1145变式提升 1
椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，求此椭圆的标准方程.
??a?2c,?a?23,解析：由题意知：?∴?
a?c?3,???c?3∴b=9
∴所求椭圆的标准方程为
2
x2y2x2y2??1或?=1 129912类题演练 2
若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A′(1,0)的距离和为定值m,试求P点的轨迹方程. 解:∵|PA|+|PA′|=m,|AA′|=2,|PA|+|PA′|≥|AA′|, ∴m≥2.
(1)当m=2时,P点的轨迹就是线段AA′. ∴其方程为y=0(-1≤x≤1).
(2)当m＞2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A、A′为焦点的椭圆. ∵2c=2,2a=m,
2m222m∴a=,c=1,b=a-c=-1. 24x2y2∴点P的轨迹方程为2?2=1.
mm?144变式提升 2
已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程. 解析：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10， 即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10.
222
∴c=3,a=5,b=5-3=16.
但当点A在直线BC上，即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形，
x2y2?∴点A的轨迹方程是=1(y≠0). 2516类题演练 3
2方程x=1?3y所表示的曲线为_________________.
答案：表示椭圆在y轴右侧的部分（包括端点） 变式提升 3
x2y2x2y2椭圆+=1与+=1(0 2599?k25?kA.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的顶点 答案：B