共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为4， 所以“两次取的球标号相同”的概率=（2）画树状图为：
=；
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于4的结果数为2， 所以“两次取出的球标号和等于4”的概率=
19．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC． （1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数； （2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
=．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】（1）根据垂径定理得到
=
，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可． 【解答】解：（1）∵OA⊥BC， ∴
=
，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°； （2）∵BE是⊙O的直径， ∴∠C=90°， ∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC， ∴∠B=30°， ∴BE=
=4
， ．
∴⊙O的半径为2
20．如图，点P是等边△ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5
（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求∠APB的度数．
【考点】作图-旋转变换；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理． 【分析】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1如图所示．
（2）只要证明△APP1是等边三角形，由PB2+PP12=P1B2，推出∠P1PB=90°，即可解决问题．
【解答】解：（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1，如图所示，
（2）∵△AP1C1是由△APC旋转所得， ∴△AP1C1≌△APC，
∴P1C1=PC=5，AP=AP1=3，∠PAP1=60°， ∴△APP1是等边三角形， ∴PP1=AP=3，∠APP1=60°，
∵PB=4，P1B=5，PP1=3， ∴PB2+PP12=P1B2， ∴∠P1PB=90°
∴∠APB=∠BPP1﹣∠APP1=30°．
21．如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是长线于E．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如图2，作PH⊥AB于H，交BC于N，若NH=3，BH=4，求PE的长．
的中点，PE⊥AC交AC的延
【考点】切线的判定；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 【分析】（1）连接BC、OP，由AB是⊙O的直径、PE⊥AE知PE∥BC，根据点P是
的中点知OP⊥BC，即可得OP⊥PE，得证；
（2）由（1）知，四边形PECQ是矩形，从而可设PE=CQ=BQ=x，根据勾股定理求得BN的长，先证△BHN∽△BQO得△PQN∽△BHN得
，即
，表示出BO、OQ的长，再证
，求出x即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BC、OP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AE， 又∵PE⊥AE， ∴PE∥BC， ∵点P是
的中点，
∴OP⊥BC， ∴OP⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OP，
由（1）知，四边形PECQ是矩形， ∴设PE=CQ=BQ=x， ∵NH=3，BH=4，PH⊥AB， ∴BN=5，
∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°， ∴△BHN∽△BQO， ∴
，即
，
解得：BO=x，OQ=x， ∴PQ=PO﹣OQ=BO﹣OQ=x，
∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°， ∴△PQN∽△BHN， ∴
，即
，
解得：x=8，
∴PE=8．
22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【考点】二次函数的应用；一元二次不等式．
【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2））设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，再确定销售数量即可解决问题． 【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100． （2）设每星期利润为W元，
W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750． ∴x=55时，W最大值=6750．
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． （3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58， 当x=52时，销售300+30×8=540， 当x=58时，销售300+30×2=360，
∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．
23．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF
（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是 MD=MF，MD⊥MF ；
（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？
初级中学九年级上学期期末数学试卷两份合集
七附答案解析
九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10
D．3和10
2．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（ ） A．能够事先确定取出球的颜色 B．取到红球的可能性更大
C．取到红球和取到绿球的可能性一样大 D．取到绿球的可能性更大
3．抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ） A．y=﹣x（x+1）2 B．y=﹣x（x﹣1）2
C．y=﹣x2+1 D．y=﹣x2﹣1
4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（ ）
A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活” C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9 5．如图，在⊙O中，相等的弦AB、AC互相垂直，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，则四边形OEAD为（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
6．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（ ）
A．a=1，b=5 B．a=5，b=1 C．a=﹣5，b=1 D．a=﹣5，b=﹣1
7．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（ ）
A．当r=2时，直线AB与⊙C相交 B．当r=3时，直线AB与⊙C相离 C．当r=2.4时，直线AB与⊙C相切 D．当r=4时，直线AB与⊙C相切 8．用配方法解方程x2+6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A．（x+3）2=5 B．（x+3）2=13 C．（x﹣3）2=﹣13 D．（x+3）2=﹣5
9．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°止，则点P运动的路径长为（ ）
A．
π B．π C．2π D．2π
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币全部正面向上的概率是 ． 12．已知函数y=﹣2（x+1）2+2，当x＞ 时，y随x的增大而减小．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为 ． 14．如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作一个这样的烟囱冒至少需要 cm2的铁皮．
15．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为 ．
16．若直线y=2x+t﹣3与函数y=则t的取值范围是 ．
三、解答题（共8题，共72分） 17．已知关于x的方程x2+2x﹣m=0 （1）若x=2是方程的根，求m的值；
的图象有且只有两个公共点时，
（2）若方程总有两个实数根，求m的取值范围．
18．不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4
（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率
（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率． 19．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC． （1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数； （2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
20．如图，点P是等边△ABC外一点，PA=3，PB=4，PC=5
（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△P1AC1，画出旋转后的图形； （2）在（1）的图形中，求∠APB的度数．
21．如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P是长线于E．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
的中点，PE⊥AC交AC的延
（2）如图2，作PH⊥AB于H，交BC于N，若NH=3，BH=4，求PE的长．
22．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ （3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
23．已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF
（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是 ；
（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；
（3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出
的值．
24．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”． （1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．3和8 B．3和﹣8 C．3和﹣10 【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为3，﹣8， 故选：B．
2．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（ ） A．能够事先确定取出球的颜色 B．取到红球的可能性更大
C．取到红球和取到绿球的可能性一样大 D．取到绿球的可能性更大 【考点】可能性的大小．
【分析】根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别，
∴绿球数量大于红球数量，其摸球具有随机性， ∴摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性， 故选D．
3．抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ） A．y=﹣x（x+1）2 B．y=﹣x（x﹣1）2 【考点】二次函数图象与几何变换．
C．y=﹣x2+1 D．y=﹣x2﹣1 D．3和10
【分析】直接根据“左加右减”的法则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2． 故选A．
4．用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，下列说法正确的是（ ）
A．种植10棵幼树，结果一定是“有9棵幼树成活”
B．种植100棵幼树，结果一定是“90棵幼树成活”和“10棵幼树不成活” C．种植10n棵幼树，恰好有“n棵幼树不成活”
D．种植n棵幼树，当n越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.9 【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据用频率估计概率的意义即可确定正确的选项．
【解答】解：用频率估计概率，可以发现，某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，是在大量重复实验中得到的概率的近似值， 故A、B、C错误，D正确， 故选D．
5．如图，在⊙O中，相等的弦AB、AC互相垂直，OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，则四边形OEAD为（ ）
A．正方形 B．菱形 【考点】垂径定理．
C．矩形 D．平行四边形
【分析】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=AB，AE=AC，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB=AC，
所以AD=AE，于是可判断四边形ADOE是正方形． 【解答】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， ∵AD=AB，AE=AC，∠ADO=∠AEO=90°， ∵AB⊥AC， ∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形， ∵AB=AC， ∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形； 故选A．
6．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（ ）
A．a=1，b=5 B．a=5，b=1 C．a=﹣5，b=1 D．a=﹣5，b=﹣1
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【解答】解：由题意，得 a=﹣5，b=﹣1， 故选：D．
7．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（ ）
A．当r=2时，直线AB与⊙C相交 B．当r=3时，直线AB与⊙C相离 C．当r=2.4时，直线AB与⊙C相切 D．当r=4时，直线AB与⊙C相切 【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理．
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可． 【解答】
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=
=5，
由三角形面积公式得：×3×4=×5×CD， CD=2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相切， 故选C．
8．用配方法解方程x2+6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A．（x+3）2=5 B．（x+3）2=13 C．（x﹣3）2=﹣13 D．（x+3）2=﹣5 【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得． 【解答】解：∵x2+6x=4， ∴x2+6x+9=4+9，即（x+3）2=13， 故选：B．
9．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a＜0，则可对②进行判断；利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进
行判断；利用抛物线的对称性得到可对③进行判断；利用x=﹣1时，y＜0可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣∴b=﹣2a＜0，所以②正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵点（﹣2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），所以③正确； ∵x=﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以④错误． 故选C．
10．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°止，则点P运动的路径长为（ ）
=1，
A．π B．π C．2π D．2π
【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质．
【分析】如图，连接AC．首先证明∠EPF=135°，推出点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是
，在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°
，根据弧长公
﹣∠EPF=45°，推出∠EKF=2∠M=90°，因为EF=4，所以KE=KF=2式计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AC．
∵AOCB是正方形， ∴∠AOC=90°，
∴∠AFC=∠AOC=45°， ∵EF是直径， ∴∠EAF=90°， ∴∠APF=∠AFP=45°， ∴∠EPF=135°，
∴点P在与K为圆心的圆上，点P的运动轨迹是
，
在⊙K上取一点M，连接ME、MF、EK、FK，则∠M=180°﹣∠EPF=45°， ∴∠EKF=2∠M=90°， ∵EF=4， ∴KE=KF=2
，
=
π，
∴P运动的路径长=故选B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，三枚硬币全部正面向上的概率是 【考点】列表法与树状图法．
．
【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出三枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中三枚硬币全部正面向上的结果数为1， 所以三枚硬币全部正面向上的概率=． 故答案为．
12．已知函数y=﹣2（x+1）2+2，当x＞ 1 时，y随x的增大而减小． 【考点】二次函数的性质．
【分析】由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案． 【解答】解： ∵y=﹣2（x+1）2+2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为x=﹣1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， 故答案为：﹣1．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为 x2+x+1=91 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程． 【解答】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：x2+x+1=91． 故答案为x2+x+1=91．
14．如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作一个这样的烟囱冒至少需要 2000π cm2的铁皮．
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算． 【解答】解：圆锥形的烟囱冒的侧面积=?80π?50=2000π（cm2）． 故答案为2000π．
15．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为 y=
．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意可以得到抛物线的顶点坐标，可以设出抛物线的顶点式，然后根据抛物线过点（0，2），从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，抛物线的顶点坐标是（4，6），函数图象过点（0，2）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+6， 则2=a（0﹣4）2+6， 解得，a=
，
即抛物线的解析式为y=故答案为：y=
16．若直线y=2x+t﹣3与函数y=则t的取值范围是 t=0或t＞1 ．
．
，
的图象有且只有两个公共点时，
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系． 【分析】画出函数图象，利用图象分两种情形讨论即可． 【解答】解：函数y=
的图象如图所示，A（1，0）．
当直线y=2x+t﹣3经过点A（1，0）时，直线与函数y的图象有3个交点，此时0=2+t﹣3，解得t=1，
观察图象可知，t＞1时，直线y=2x+t﹣3与函数y的图象有且只有两个公共点，
当直线y=2x+t﹣3与y=x2﹣2x+1相切时，则有x2﹣4x﹣t+4=0， ∵△=0，
∴16﹣4t﹣16=0， ∴t=0，
此时直线为y=2x﹣3， 由
解得
，
∴直线与y=x2+2x﹣3只有一个交点，
∴t=0时，直线y=2x﹣3与函数y有两个交点，
t＞1或t=0时，综上所述，直线y=2x+t﹣3与函数y的图象有且只有两个公共点． 故答案为t=0或t＞1．
三、解答题（共8题，共72分） 17．已知关于x的方程x2+2x﹣m=0 （1）若x=2是方程的根，求m的值；
（2）若方程总有两个实数根，求m的取值范围． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）把x=2代入方程，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可； （2）根据已知得出△≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）把x=2代入方程x2+2x﹣m=0得：4+4﹣m=0， 解得：m=8；
（2）∵方程x2+2x﹣m=0有两个实数根， ∴△=22﹣4×1×（﹣m）≥0， 解得：m≥﹣1．
18．不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4
（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率
（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率． 【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于4的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）画树状图为：
若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；
（3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出
的值．
【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；正方形的性质．
【分析】（1）延长DM交EF于点P，易证AM=EM，即可证明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题；
DF，（2）延长DM交CE于点N，连接FN、易证∠DAM=∠NEM，即可证明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解题；
（3）根据（1）可得MD=MF，MD⊥MF，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，最后根据Rt△CDM中，∠DCF=30°，即可求得
的值．
【解答】解：（1）线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF， 理由：如图1，延长DM交EF于点P，
∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形， ∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP．∠CFE=90°． ∴△DFP是直角三角形． ∵M为AE的中点， ∴AM=EM．
在△ADM和△EPM中，
，
∴△ADM≌△EPM（ASA）， ∴DM=PM，AD=PE， ∴M是DP的中点． ∴MF=DP=MD， ∵AD=CD， ∴CD=PE， ∵FC=FE， ∴FD=FP，
∴△DFP是等腰直角三角形， ∴FM⊥DP，即FM⊥DM． 故答案为：MD=MF，MD⊥MF；
（2）MD=MF，MD⊥MF仍成立．
证明：如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF，
∵CE是正方形CFEG对角线， ∴∠FCN=∠CEF=45°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAM=∠NEM， 在△ADM和△ENM中，
，
∴△ADM≌△ENM（ASA）， ∴EN=AD，DM=MN， ∵AD=CD， ∴CD=EN，
在△CDF和△ENF中，
，
∴△CDF≌△ENF，（SAS） ∴DF=NF，
∴FM=DM，FM⊥DM．
（3）如图所示，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，
由（1）可得FM=DM，FM⊥DM， 设FM=DM=1， ∵∠DCF=30°， ∴Rt△DCM中，CM=∴CF=∴
24．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
=
+1=CG，
．
，CD=2=CB，
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；
（2）设A（a，﹣a2+2a+3）．则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；
（3）连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为（1，a）．则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标．
【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4， ∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）． ∵抛物线C1与C2顶点相同， ∴
=1，﹣1+m+n=4．
解得：m=2，n=3．
∴抛物线C2的解析式为y2=﹣x2+2x+3． （2）如图1所示：
设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）． ∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为
．
．
（3）如图2所示；连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D．
∵B（﹣1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1， ∴BC⊥CM，BC=2． ∵∠BMB′=90°， ∴∠BMC+∠B′MD=90°． ∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°． ∴∠MB′D=∠BMC． 在△BCM和△MDB′中，∴△BCM≌△MDB′． ∴BC=MD，CM=B′D．
，
设点M的坐标为（1，a）．则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2． ∴点B′的坐标为（a﹣3，a﹣2）． ∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2． 整理得：a2﹣7a+10=0． 解得a=2，或a=5．
当a=2时，M的坐标为（1，2）， 当a=5时，M的坐标为（1，5）．
综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B′恰好落在抛物线C2上．
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）． 1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ） A．m＜1
B．m＞﹣1 C．m＞1
D．m＜﹣1
3．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2） 4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）
沿弦AC翻折交AB
A．80° B．70° C．60° D．50°
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
6．AE⊥BC于点E，如图，已知在?ABCD中，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4 则DA′的大小为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．AD相切，如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（ ）
A．5 B．6 C． D．
8．下列事件中是必然发生的事件是（ ） A．打开电视机，正播放新闻
B．通过长期努力学习，你会成为数学家
C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天
9．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．）
11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ． 12．设抛物线y=x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k= ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D= 度．
14．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是 cm2．
15．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 16．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．
17．解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）． （1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°画出旋转后的图形；
（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．
19．如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．
20．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
21．E分别在线段AD、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，
你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由．
22．如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点； （2）求四边形ODPC的面积．
23．如图，已知二次函数y=﹣点．
（1）求这个二次函数的解析式；
+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
25．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）． 1．下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称．
【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解． 【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故答案为：A．
2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ） A．m＜1
B．m＞﹣1 C．m＞1
D．m＜﹣1
【考点】根的判别式．
【分析】方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【解答】解：由题意知，△=4﹣4m＜0， ∴m＞1 故选：C．
3．已知抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2） 【考点】二次函数的性质．
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【解答】解：因为y=（x﹣2）2+1为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1）．
故选B．
4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）
沿弦AC翻折交AB
A．80° B．70° C．60° D．50°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到等于
所对的圆周角减去
所对的圆周角，然后根据∠ACD
所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角
的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°． 根据翻折的性质，
所对的圆周角为∠B，
所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°， ∴∠B=∠CDB=70°， 故选B．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ） A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1 【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可． 【解答】解：x2+4x﹣5=0， x2+4x=5， x2+4x+22=5+22， （x+2）2=9， 故选：A．
6．AE⊥BC于点E，如图，已知在?ABCD中，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4 则DA′的大小为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】过A′作A′F⊥DA于点F，由旋转的性质可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得A′E，则可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D． 【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°， ∴BE=AB=2，AE=A′F=
AB=2
，
∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′， ∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=5， ∴A′E=A′B﹣BE=5﹣2=3， ∴AF=A′E=3，
∴DF=DA﹣AF=5﹣3=2，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=故选C．
=
=
，