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山东省青岛市
2014届高三上学期期中考试
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集U?R,A?{y|y?2x?1},则CUA?
A．[0,??) B．(??,0) C．(0,??) D．(??,0] 2.已知命题p、q，则“p?q为真”是“p?q为真”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3.向量a?(,tan?)，b?(cos?,1)，且a∥b，则cos(13?2??)?
A.
11222 B.? C. ? D. ? 333 34.在正项等比数列{an}中，lga3?lga6?lga9?6，则a1a11的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10
x5．已知a?0,且a?1，函数y?logax,y?a,y?x?a在同一坐标系中的图象可能是
y y y y 1 1 1 1 1 1 1 O A x O B x O C x O D 1 x 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源
6.定义运算
abx?12在(??,m)上单调递减，则实数?ad?bc，若函数f?x??cd?xx?3m的取值范围是
A．(?2,??)
B．[?2,??)
C．(??,?2)
D．(??,?2]
?x?y?1?0?7.已知x,y满足?x?y?2?0，则目标函数z?x?3y的最小值是
?x?2 ?A．
7 B．?4 2C．?7 D．?8
8.已知
3,则cosx?cos(x??)?
cos(x?)??363?A．
23?3 B．
23 ?3C．?1 D．?1
9.函数y?2?3x?A.2?23
4?x?0?的最大值是 x
B. 2?43 C. 2?23 D. 2?43
，则t? ?a?2013at（t?N*）201310.已知等差数列?an?的公差d?0，若a1?a2?a3?2014 B．2013 C．1007 D．1006 A．
11.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
ab??0成立的是 |a||b|A．a??b B．a//b C．a?2b D．a?b
12.已知函数f(x)的导函数图象如图所示，若?ABC为锐角三角形，则一定成立的是 A．f(sinA)?f(cosB) B．f(sinA)?f(cosB) C．f(sinA)?f(sinB) D．f(cosA)?f(cosB)
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13y ? O 1 x 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
logx,x?1?1?1213.已知函数f(x)??,则f(f())? .
2x?2?4,x?1?14.若直线l与幂函数y?xn的图象相切于点A(3,33)，则直线l的方程为 . 15.已知函数f(x)是(-?,+?)上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x?1对称,当
x?[?1,0]时,f(x)??x，则f(2013)?f(2014)? . 16.若对任意x?A，y?B，（A、B?R）有唯一确定的f(x,y)与之对应，称f(x,y)为关于x、y的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”:
（1）非负性:f(x,y)?0，当且仅当x?y?0时取等号； （2）对称性:f(x,y)?f(y,x)；
（3）三角形不等式:f(x,y)?f(x,z)?f(z,y)对任意的实数z均成立. 今给出四个二元函数:
①f(x,y)?x2?y2；②f(x,y)?(x?y)③f(x,y)?2x?y；④f(x,y)?sin(x?y).
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是 .
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?2sin?xcos?x?23sin2?x?3（??0）的最小正周期为?． （Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间； （Ⅱ）将函数f(x)的图象向左平移
?个单位，再向上平移1个单位，得到函数y?g(x)的6图象．求y?g(x)在区间[0,10?]上零点的个数．
18．（本小题满分12分）
2已知等比数列{an}为递增数列，且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1，n?N.
?（Ⅰ）求an；
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?（Ⅱ）令cn?1?(?1)nan，不等式ck?2014(1?k?100,k?N的解集为M，求所有)ak(k?M)的和.
19．（本小题满分12分）
在?ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2bccosA?a?(b?c)． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a?43，?ABC的面积为43；求b,c．
20．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x2?2x?b(b?R).
（Ⅰ）若函数f(x)的值域为[0,??).求关于x的不等式f(x)?4的解集；
22f(t)?t2?t（Ⅱ）当b?0时，m为常数，且0?m?1，1?m?t?m?1，求的最小值.
f(t)?2t?1
21．（本小题满分13分）
某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交
a(1?a?3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(7?x?9)元时,一年的销售量为
(10?x)2万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x); （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值．
22．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?ex?x2?ax，如果函数f(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，且
x1?x2.
（Ⅰ）证明：x1?ln2；
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（Ⅱ）求f(x1)的最小值，并指出此时a的值.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A B A C D C C B C A A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.?2 14.9x?y?63?0 15.?1 16．①
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得
f(x)?2sin?xcos?x?23sin2?x?3
?sin2?x?3cos2?x?2sin(2?x?) ………………2分
3?由周期为?，得??1. 得f?x??2sin(2x?由正弦函数的单调增区间得
?3) ………………4分
5?,k?Z 122k???2?2x??3?2k???2，得k???12?x?k??所以函数f(x)的单调增区间是[k??（Ⅱ）将函数f(x)的图象向左平移
?12,k??5?],k?Z． ………………6分 12?个单位，再向上平移1个单位， 6得到y?2sin2x?1的图象，所以g(x)?2sin2x?1 ……………………8分
7?11?(k?Z) …………………10分 令g(x)?0，得：x?k??或x?k??1212所以函数在每个周期上恰有两个零点,
?0,10??恰为10个周期，故g(x)在?0,10??上有20个零点 …………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公比为q，
所以(a1q4)2?a1q9，解得a1?q …………2分
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又因为2(an?an?2)?5an?1，所以2(an?anq2)?5anq 则2(1?q2)?5q，2q2?5q?2?0，解得q?1（舍）或q?2 …………4分 2所以an?2?2n?1?2n …………6分 （Ⅱ）则cn?1?(?1)nan?1?(?2)n,
当n为偶数，cn?1?2n?2014，即2??2013，不成立 …………8分 当n为奇数，cn?1+2n?2014，即2?2013，
nn2=2048，所以n?2m?1,5?m?49 …………10分 因为2=1024，1011{ak}(k?M)组成首项为211，公比为4的等比数列
211(1?445)2101?2048?则所有ak(k?M)的和……………12分
1?4319．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
2bccos A a2?b2?c2? ……………2分
代入2bccosA?a2?(b?c)2得4bccosA??2bc，……………4分
12?∴cosA??， ∵0?A??，∴A?………………6分
23（Ⅱ）S?221bcsinA?43?bc?16………………8分 2222bccosA? a?b?c?b?2c?32?b?………………10c?8分
解得：b?c?4………………12分
20．（本小题满分12分）
??)，当x2?2x?b=0时有V?4?4b?0，即b?1，………2分 解：（Ⅰ）由值域为[0，所以f(x)?x?2x?1，则f(x)?x?2x?1?4
2则x?2x?3?0，化简得(x?3)(x?1)?0，解得?3?x?1
22所以不等式的解集为{x?3?x?1}……………4分
f(t)?t2?tt（Ⅱ）当b?0时，f(x)?x?2x，所以=2
f(t)?2t?1t?12因为0?m?1，1?m?t?m?1，所以0?1?m?t?m?1?2
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t1?t2令g(t)=2，则g?(t)=2……………6分
t?1(t?1)2当0?t?1时，g?(t)?0，g(t)单调增，当t?1时，g?(t)?0，g(t)单调减，……8分
因为g(1?m)?g(1?m)?1?m1?m ?22(1?m)?1(1?m)?1?2m3??0，所以g(1?m)?g(1?m)……………10分 22[(1?m)?1][(1?m)?1]所以g(t)=t1?mg(1?m)?的最小值为……………12分
t2?1(1?m)2?1故L(x)max?L(7)?27?9a ……………10分
23a?7，即?a?3时， 3222?x?[7,6?a]时，L'(x)?0；x?[6?a,9]时，L?(x)?0
3322?L(x)在x?[7,6?a]上单调递增；在x?[6?a,9]上单调递减，
332a3故L(x)max?L(6?a)?4(2?) ……………12分
333答:当1?a?每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L最大,
2最大值为27?9a万元；
32 当?a?3每件商品的售价为6?a元时,该连锁分店一年的利润L最大,
23a3最大值为4(2?)万元. ……………13分
3②当6?22．（本小题满分13分）
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解：（Ⅰ）∵ 函数f(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，即f?(x)?0有两个零点x1，x2
∴ 方程ex?2x?a?0有两个不同的零点， ……………………………2分
x1x2令
．
h?x??ex?2x?ah?(x)?ex?2， ……………………………4分
当x?ln2时，h?(x)?0， h(x)是减函数；
当x?ln2时，h?(x)?0， h(x)是增函数，……………………………………6分 ∴ h(x)在x?ln2时取得最小值． ∴ ． …………………………………7分
x1?ln2（Ⅱ）∵∴
h(x1)?0，即ex1?2x1?a?0，
…………………………………9分
a?ex1?2x1于是∴ ∵
f(x1)?ex1?x12?(ex1?2x1)?x1?(1?x1)ex1?x12，
f?(x1)?x1(2?ex1)x1?ln2，
…………………………11分
∴ 2?ex1?0．
∴ 当x?0时，f?(x)?0，f(x)是减函数；
111当
0?x1?ln2时，f?(x2)?0，f(x1)是增函数 ……………………………12分
ln2)上的最小值为f?0??1，此时a?1. …………………13分 ∴ f(x1)在(??，
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