2015届宜昌一中数学（理科）限时训练21
内容：概率统计 时间：2015年2月2日 一、先择题（共6小题，每小题8分）
1. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( )
A.18 B.24 C.30 D.36
【答案】C
23【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C4，顺序有A3种，而
3233甲乙被分在同一个班的有A3种，所以种数是C4A3?A3?30
2. 马老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布律如下表
请小牛同学计算?的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E??( A )。
A．2 B．3 C．4 D．6
xP(ε=x)1?2!3?x2y23. 在区间??1,5??和??2,4??上分别取一个数,记为a,b, 则方程a2?b2?1表示焦点在x轴上且离心率小于3的椭圆的概率为 （ Ｄ ） 2A．
1513117 B． C． D．
23232324. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（ Ｂ ） A．
1234 B． C． D． 55555. 设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为
2192320a≡b(modm).已知a=1+C1+C·2+C·2+?+C·2，b≡a(mon10),则b的值可以是 （ ）20202020A. 2 006 B. 2 008 C. 2 011 D. 2 015解：C.=1+
11123202010123201+（C0+C·2+C·2+C·2+?+C·2-1）=1+（3-1）=1+［(10-1)-1］2020202020222110110(10-i)i(10-i)iiiC10(-1),∵10(-1)中的每一项都能被10整除，∴a被10除?10?C102i?12i?1的余数是1.
点评：b≡a(mon10)的含义是a、b被10除的余数相同，理解这一点才能明确代数式a的变形方向.
6. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ Ｃ ） A．
3456 B． C． D． 181818185. 18【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于
【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.
二、填空题（共3小题，每小题8分）
7. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。
23131解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：C3A3C4?A3C3?90种；个位、十2311231位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：C3A3C4?C3C3A3C3?234种，所以共有
90?234?324个。
8. 设m为正整数,(x?y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x?y)2m?1展开式的二项
式系数的最大值为b,若13a?7b,则m? 6 ；
9. 设集合I??1,2,3,4,5?。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 ４９ 种。
解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C5=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C5=1种；总计有49种.
5545453432三、解答题（满分28分）
10. （本小题满分14分）某公司从某大学招收毕业生，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下这道乙部门工作，成绩高于180分的男生才能担任助理工作。 （1）如果用分层抽样的方法从甲部门入选和乙部门入选中选取8人，再从这8人中选3人，那么只好有一人是甲部门入选的概率是多少？
（2）若从所有甲部门入选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的概率分布列及数学期望。
解：（Ⅰ）根据茎叶图知，甲部门人选有10人，乙部分人选也有10人，
故从20人中选8人，用分层抽样，知选中的甲部门人选4人，
选中的乙部门人选也是4人。?????????????????3分
用A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则A表示没有一名甲部门人选被选中，则：
313C413P(A)?1?3?，故至少有一人是“甲部门”的概率是????5分
14C814（Ⅱ）据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3???????????????????????????????????6分
0312C6C4C6C413，P(X?1)?， P(X?0)?3??3C1030C10102130C6C41C6C1P(X?2)?3?，P(X?3)?34?????????????10分
C106C102X的分布列为：
?E(X)?0?
13119?1??2??3????????????????14分 301026511. 宜昌市一中随机抽取部分高一学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为
[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中高一学生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 解：（Ⅰ）由直方图可得：
频率/组距0.025x0.00650.003O20406080100时间20?x?0.025?20?0.0065?20?0.003?2?20?1．
所以 x=0.0125． 3分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.003?2?20?0.12，
因为1200?0.12?144，
所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． 6分 （Ⅲ）X的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为
41， 481?1??3?27?3?, P(X?1)?C1, P(X?0)????4?????42564464??????327?1??3??1??3?3,P(X?3)?C3, P(X?2)?C?????4??????4??4?128?4??4?64242231?1?． 10分 P(X?4)?????4?256所以X的分布列为： 4X P 0 1 2 3 4 81272713 25664128256 64812727311EX?0??1??2??3??4??1．（或EX?4??1）
25664128642564所以X的数学期望为1． 14分
(本小题满分14分)
甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：
若将频率视为概率，回答下列问题．
(Ⅰ)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
(Ⅱ)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．
解：(Ⅰ)甲运动员击中10环的概率是：1一0.1—0.1—0.45=0.35. 设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”， 则P(A)=0.35+0.45=0.8.
事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况： 恰有1次击中9环以上，概率为p1=C13·0.8·(1-0.8)=0.096；
1
2
2恰有2次击中9环以上，概率为p2=C3·0.8·(1-0.8)=0.384；
2
1
恰有3次击中9环以上，概率为p3=C33·0.8·(1-0.8)=0.512．
3
0
因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率
p= p1+ p2+ p3=0.992．????????????????????????????6分 (Ⅱ)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B， 则P(B)=1—0.1—0.15=0.75．
因为?表示2次射击击中9环以上的次数，所以?的可能取值是0，1，2. 因为P(?=2)=0.8·0.75=0.6；
P(?=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；
P(?=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．??????????????????? 11分 所以?的分布列是
ξ P
0 0.05 1 0.35 2 0.6 所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．?????????????14分