x2(3)x??ln(1?x)?x, x?0;2x211证明：取函数y?ln(1?x)?x?,可求得y'??1?x;那么有y''?1?,由于在区21?x(1?x)21间(0,??)上恒有y''?0,于是函数y'??1?x?y'(0)?0;那么函数y在这个区间上是个增1?xx2x2函数,于是有y?ln(1?x)?x??y(0)?0,即x??ln(1?x),x?(0,??).221 取函数z?x?ln(1?x),可求得z'?1?;那么在区间(0,??)上恒有z'?0,于是函数z为1?x增函数,即有z?x?ln(1?x)?z(0)?0;于是ln(1?x)?x,x?(0,??).x2 综上可得x??ln(1?x)?x, x?0.2x3?(4)tanx?x?,x?(0,);32x3证明：取函数y?tanx?x?,可求得312?1?x,y'(0)?0;2cosx2sinxcosx y''??2x,y''(0)?0;4cosx2(1?cos4x)?4sin2x y'''??0.4cosxx3 那么有y''?y''(0)?0,y'?y'(0)?0,y?tanx?x??y(0)?0,因此可得3x3? tanx?x?,x?(0,).32 y'?1(5)2x?3?,x?1.x111证明：取y?2x?3?,那么有y'??2?0在区间(1,??)上恒成立,于是在此区间上恒xxx11有y?2x?3??y(1)?0.即得2x?3?,x?1.xx2.确定下列函数的单调区间：(1)y?x3?6x;解：令y'?3x2?6?0,可以解得x?(??,?2)?(2,??). 那么原函数的单调递增区间为(??,?2)和(2,??),单调递减区间为(?2,2). 壹拾陆
(2)y?2x?x2;解：可以求得函数的定义域为[0,2].1?x 令y'??0,可以解得x?(0,1).那么原函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区22x?x间为(1,2).(3)y?2x2?lnx;解：可以求得函数的定义域为(0,??).令y'?4x?1?0,解得x?(0.5,??).x 于是原函数的单调递增区间为(0.5,??),单调递减区间为(0,0.5).x2?1(4)y?;xx2?1解：可以求得函数的定义域为(??,0)?(0,??).由于y'?2?0恒成立,于是原函数的单调x递增区间为(??,0)和(0,??),没有单调递减区间为.(6)y?xne?x,n?0,x?0.nxn?1ex?exxn(n?x)xn?1ex(n?x)xn?1解：令y'????0,解得x?(0,n).2x2xxeee 因此原函数的递增区间为(0,n),递减区间为(n,??).(5)y?2x2?sinx;解：可以求得函数的定义域为?. 令y'?4x?cosx?0,可设这个方程的根为x0(可以大致求得x0?0.242675). 由于y''?4?sinx?0恒成立,于是函数y'?4x?cosx?0单调递增,即在区间(??,x0)上y'?0成立,在区间(x0,??),y'?0成立。 因此原函数的递增区间为(x0,??),递减区间为(??,x0).(6)y?xne?x,n?0,x?0.nxn?1ex?exxn(n?x)xn?1ex(n?x)xn?1解：令y'????0,解得x?(0,n).2x2xxeee 因此原函数的递增区间为(0,n),递减区间为(n,??).3.求下列函数的极值：(1)y?x?ln(1?x);解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是y'?1? 令y'?1?11,y''?.1?x(1?x)21?0,可得x?0;由于y''(0)?1?0,因此x?0是函数y?x?ln(1?x)的极小值1?x点,极小值为y(0)?0.
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1(2)y?x?;x解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是y'?1? 令y'?1?12,y''?.x2x311?0,可得x??1;由于y''(1)?2?0,y''(?1)??2?0,因此x?1是函数y?x?x2x的极小值点,极小值为y(1)?2;x??1是函数的极大值点,极大值为y(?1)??2.4?5x解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是 y'? 令y'?12?5x(4?5x)322(3)y?1?3x2;12?5x(4?5x)322?5(4?5x)?(12?5x)154?5x2,y''?.23(4?5x)1212121?3x;由于y''()?0,因此x?是函数y?的极大25554?5x322?0,可得x?12205值点,极大值为y()?.510(5)y?2x3?x4;解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是y'?6x2?4x3,y''?12x?12x2.33 令y'?6x2?4x3?0,可得x?0或x?;由于y''(0)?0,y''()??9?0.因此x?0是函数223327y?2x3?x4的拐点;x?是函数的极大值点,极大值为y()?.2216(lnx)2(4)y?;x解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是2lnx?ln2x2x?6xlnx?2xln2x y'?,y''?.24xx2lnx?ln2x22 令y'??0,可得x?1或x?e;由于y''(1)?2?0,y''(e)?0.因此x?1是函数2x(lnx)24y?的极小值点,极小值为y(1)?0;x?e2是函数的极大值点,极大值为y(e2)?4.xe(5)y?2x3?x4;解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是y'?6x2?4x3,y''?12x?12x2.33 令y'?6x2?4x3?0,可得x?0或x?;由于y''(0)?0,y''()??9?0.因此x?0是函数223327y?2x3?x4的拐点;x?是函数的极大值点,极大值为y()?.2216
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1(6)y?arctanx?ln(1?x2);21?xx2?2x?1解：容易解得函数的一阶和二阶导数分别是y'?,y''?.1?x2(1?x2)21?x1 令y'??0,可得x?1;由于y''(1)?0.因此x?1是函数y?arctanx?ln(1?x2)的极大21?x2?ln2指点,极大值为y(1)??.42?421?xsin x?04.设f(x)??.x??0 x?0(1)证明：x?0是函数的极小值点;(2)说明在f(x)的极小值点在x?0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。证明：(1)因为当x?0时,总有f(x)x4sin2 (2)当x?0时,11212 f'(x)?(x4sin2)'?4x3sin2?x2sin?x2(4xsin2?sin);xxxxx 我们取 xn?22n??1?0?f(0),因此x?0是函数的极小值点。x?2,yn?22n???(n?1,2,?),2由于limxn?limyn?0,从而对任意小的?,总有xn,yn?(0,?),但是f(xn)?0,f(yn)?0;即在n??n??任意小的U?(0,?)内f'(x)不能保持不变号,因此f(x)的极小值点在x?0不满足极值的第一充分条件。 由于 f'(0)?limx?0f(x)?f(0)?limx?0xx2(4xsin2x4sin21?01x?limx3sin2?0,x?0xx而12?sin)?0f'(x)?f'(0)12xx f''(0)?lim?lim?limx(4xsin2?sin)?0.x?0x?0x?0xxxx因此f(x)的极小值点在x?0也不满足极值的第二充分条件。 壹拾玖
5.证明：若函数f(x)在点x0处有f?'(x0)?0,f?'(x0)?0,则点x0为f(x)的极大值点。证明：由于f?'(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)?0,那么由极限的保号性可以知道存在?1?0,使得x?x0当x?(x0,x0??1)时有f(x)?f(x0)?0,由于此时x?x0?0,因此f(x)?f(x0).x?x0x?x0 同理由于f?'(x0)?lim?当x?(x0??2,x0)时有f(x)?f(x0)?0,那么由极限的保号性可以知道存在?2?0,使得x?x0f(x)?f(x0)?0,由于此时x?x0?0,因此f(x)?f(x0).x?x0 我们取??min(?1,?2),那么当x?(x0??,x0??)时,恒有f(x)?f(x0),因此点x0为f(x)的极大值点。6.设f(x)?alnx?bx2?x在x1?1,x2?2处都取得极值,试定出a与b的值;并问这时候f(x)在x1,x2处是极大值还是极小值。a?2bx?1,令x?f'(x1)?f'(1)?a?2b?1?0? ?,af'(x)?f'(2)??4b?1?02??22?a????3可以解得?.1?b???6?21a21 于是f(x)??lnx?x2?x,f''(x)??2?2b?2?;那么此时有36x3x311 f''(1)??0,f''(2)???0.36因此x1?1是函数的极小值点,x2?2是函数的极大值点。解：可求得f'(x)?
7.(1)求函数f(x)?ax?lnx在x?0上的极值;(2)求方程ax?lnx有两个正实根的条件。解：(1)令f'(x)?a?11?0,可以解得x?.因此当a?0时,函数f(x)在x?0上没有极值;xa1111 当a?0时,函数f(x)在x?0上有极值点x?;由于f''(x)?2,故此时f''()?0,于是f()axaa?1?lna是函数f(x)的极小值。11 (2)当a?0时,由于x?是函数的极小值,令f()?1?lna?0;由于aa limf(x)???,limf(x)???x?0x??由介值定理可以知道f(x)有两个正实根。1 于是当0?a?时,方程ax?lnx有两个正实根。e
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第五章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理
1.证明：(1)方程x3?3x?c?0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根;(2)方程xn?px?q?0(n为正整数,p,q为实数),当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时,至多有三个实根。证明：(1)设在区间[0,1]内方程x3?3x?c?0有两个实根,即有x1?x2?[0,1]使得函数 f(x)?x3?3x?c值为零。那么由罗尔定理可知存在x0?(x1,x2)?[0,1],使得f'(x0)?0. 但是f'(x)?3x2?3在(0,1)内的值域为(?3,0)是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程x3?3x?c?0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。 (2)当n?2时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当n?2k?2时,设方程xn?px?q?0有三个实根,即存在实数x1?x2?x3使得函数 f(x)?xn?px?q?0成立。那么由罗尔定理可知存在x01?(x1,x2),x02?(x2,x3),使得f'(x01)?f'(x02)?0,即n?1??f'(x01)?nx01?p?0 ???????????????(*),n?1??f'(x02)?nx02?p?0 再次利用罗尔定理可以知道,存在x0?(x01,x02),使得f''(0)?0,即n?2 f''(x0)?n(n?1)x0?0,显然必有x0?0,那么就有x01?0,x02?0. 那么由于n?2k为偶数,可以知道此时不存在满足(*)式的实数p.因此当n为偶数时方程至多有两个实根。 当n?2k?1?2时,设方程xn?px?q?0有三个实根,即存在实数x1?x2?x3?x4使得函数f(x)?xn?px?q?0成立。那么利用罗尔定理可知存在 x11?(x1,x2),x12?(x2,x3),x13?(x3,x4)使得f'(x11)?0,f'(x12)?0,f'(x13)?0,即有n?1?f'(x11)?nx11?p?0?n?1 ?f'(x12)?nx12?p?0,?n?1?f'(x13)?nx13?p?0 于是就存在x21?(x11,x12),x22?(x12,x13)使得f''(x21)?f''(x22)?0,即n?2??f''(x21)?n(n?1)x21?0 ?.n?2??f''(x22)?n(n?1)x22?0由于n?2k?1?2,于是此时必有x21?x22?0;但是由于x21?(x11,x12),x22?(x12,x13),可知必有x21?x22,出现了矛盾。 因此当n为奇数时,方程xn?px?q?0(n为正整数,p,q为实数)至多有三个实根。
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2.设f(x)?xm(1?x)n,m,n为正整数,x?[0,1],则存在??(0,1)使得m? ?.n1??证明：容易知道f(0)?f(1)?0,于是作为多项式函数,必有??(0,1)使得f'(?)?0,即 m?m?1(1??)n?n?m(1??)n?1?0,由于??0,1???0,因此整理可得m(1??)?n?,即有 成立,得证。3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：m??n1??(1)sinx?siny?x?y,x,y?(??,??);证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?sint,在区间[x,y]上存在??(x,y)使得 f'(?)?于是 sinx?siny?maxf'(t)?maxcost?1,x?ysinx?siny,x?y整理后即得sinx?siny?x?y.,),等号成立当且仅当x?0;22证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?tant,在区间[0,x]上存在??(0,x)使得 f'(?)?于是 整理后即得x?tanx. 对于函数g(x)?tanx?x,满足g(0)?0,且有g'(x)?0,当x?(?必有x?tanx成立。tanx1?minf'(t)?min?1,2xcosttanx?tan0tanx?,x?0x(2)x?tanx,x?(????,0)?(0,);即当x?0时22? 贰
(3)ex?1?x,x?0;证明：当x?0时,由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?et在区间[0,x]上,存在??(0,x)使得f(x)?f(0)ex?1f'(?)?,即f'(?)?;于是有x?0xex?1 ?f'(?)?e??e0?1;x整理即得ex?1?x. 当x?0时,由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?et在区间[x,0]上,存在??(0,x)使得f(0)?f(x)1?exf'(?)?,即f'(?)?;于是有0?x?x1?ex ?f'(?)?e??e0?1;?x整理即得ex?1?x. 综上有ex?1?x,x?0.(4)y?xyy?x?ln?,0?x?y;yxx证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?lnt在区间[x,y]上有??(x,y),使得f(y)?f(x) f'(?)?,y?x1lny?lnx即有?,于是有?y?x1lny?lnx1 min??max,x?t?ytx?t?yty?x1lny?lnx1故有??,整理即得yy?xxy?xyy?x ?ln?.yxx 叁
x?arctanx?x,x?0.1?x2证明：由拉格朗日中值定理可知函数f(t)?arctant在区间[0,x]上有??(0,x),使得(5) f'(?)?即有1arctanx?,于是有1??2x1arctanx1??max,0?t?x1?t20?t?x1?t2xf(x)?f(0),x?0 min故有1arctanx1??,整理即得1?x2x1?02x ?arctanx?x.21?x4.设函数在点a具有连续二阶导数,证明：f(a?h)?f(a?h)?2f(a) lim?f''(a).2h?0hf'(a?h)?f'(a)证明：f''(a)?limh?0hf(a?h)?f(a)f(a)?f(a?h)lim?limh?0h?0hh ?limh?0hf(a?h)?f(a?h)?2f(a) ?lim.h?0h2f(a?h)?f(a?h)?2f(a)因此有lim?f''(a).h?0h25.设limf'(x)?a,求证：任意T?0,有x??? lim[f(x?t)?f(x)]?Ta.x???证明：在区间[x,x?T]上有??(x,x?T)使得f(x?T)?f(x) f'(?)?,T在此式两边对x取极限可得f(x?T)?f(x) limf'(?)?lim.x???x???T 由于??x,即有f(x?T)?f(x) lim?limf'(?)?a.x???????T整理即得lim[f(x?t)?f(x)]?Ta.x??? 肆
6.设函数f(x)在[a,b]可导,其中a?0,证明：存在??(a,b),使得 2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f'(?).证明：构造函数 F(x)?x2[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f(x),易知F(a)?a2f(b)?b2f(a)?F(b). 于是由罗尔定理可知存在??(a,b),使得F'(?)?0,即 F'(?)?2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f'(?)?0;整理即得2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f'(?).7.设f(x)在(a,??)上可导,且lim?f(x)?limf(x)?A,求证：存在??(a,??),使得f'(?)?0.x?ax???证明：取b0?max(a,0),构造函数?A t?b0? F(t)??(b0?a)t.f() t?[a,b)0?b0?t? 可以知道函数F(t)在区间[a,b0]上连续,且满足F(a)?F(b0)?A.那么由罗尔定理可知存在?t?(a,b0),使得F'(?t)?0,即 F'(?t)?整理得 由b0?max(a,0)知(b0?a)b0?0,于是2(b0??t)(b0?a)?t)?0.b0??t(b0?a)b0(b0?a)?tf'()?0,(b0??t)2b0??t(b0?a)(b0??t)?(b0?a)?t(b0?a)?tf'()?0,(b0??t)2b0??t f'(取??(b0?a)?t,易知??(a,??),即为所求。b0??t8.设f(x)可导,求证:f(x)的两个零点之间一定有f(x)?f'(x)的零点。证明：设x1?x2是函数f(x)的两个零点。构造函数 F(x)?f(x)ex,易知x1,x2也是函数F(x)的两个零点。于是由罗尔定理可以知道,存在??(x1,x2),使得 F'(?)?e?f(?)?e?f'(?)?0. 于是e?[f(?)?f'(?)]?0,由于必有e??0,因此f(?)?f'(?)?0.因此在f(x)的两个零点之间一定有f(x)?f'(x)的零点。 伍
9.设函数f(x)在x0点附近连续,除x0外可导,且limf'(x)?A,求证：f'(x0)存在,且f'(x0)?A.x?x0证明：根据拉格朗日中值定理可知存在??(0,1)使得f(x0??x)?f(x0) f'(x0???x)?,?x我们在此式两边令?x?0取极限可得f(x0??x)?f(x0) lim?limf'(x0???x),?x?0?x?0?xf(x0??x)?f(x0) 由于lim?f'(x0),而limf'(x0???x)?limf'(x)?A,于是有?x?0?x?0x?x0?x f'(x0)?limf'(x)?A.x?x0即f'(x0)存在,且f'(x0)?A.10.若f(x)在[a,b]上可导,且f'(a)?f'(b),k为介于f'(a),f'(b)之间的任一实数,则至少存在一点??(a,b),使得f'(?)?k.证明：构造函数g(x)?f(x)?kx.显然函数g(x)在[a,b]上可导,且 g'(a)?f'(a)?k,g'(b)?f'(b)?k,显然f'(a)?k,f'(b)?k必是一正一负。 不妨设g'(a)?f'(a)?k?A?0,g'(b)?f'(b)?k??B?0.于是g(x)?g(a) lim??A?0,x?ax?ag(x)?g(b) lim??B?0.x?b?x?bg(x)?g(a)A 那么由极限的保号性可知???0,当x?(a,a??)时有??0;当x?(b??,b)x?a2g(x)?g(b)?B??时有??0.于是可得g(a?)?g(a),g(b?)?g(b);那么我们可以知道在区x?b222间[a?,b?]上必存在函数g(x)的一个极大值点?.于是有g'(?)?0,即f'(?)?k?0.22 于是存在一点??(a,b),使得f'(?)?k.?? 陆
11.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f'(x)单调,证明：f'(x)在(a,b)连续。证明：不妨设f'(x)在区间(a,b)内单调上升。 从而对(a,b)内任意一点x0,f'(x)在(a,x0)内以f'(x0)为上界,在(x0,b)内以f'(x0)为下界；那么由单调有界原理可以知道极限lim?f'(x)与lim?f'(x)存在。x?x0x?x0 我们知道导函数不可能有第一类间断点,于是此时必有 lim?f'(x)?lim?f'(x)?f'(x0),x?x0x?x0即导函数在x0点连续。由x0点的任意性可以知道函数f'(x)在(a,b)连续。***********************导函数没有第一类间断点****************************** 设f(x)在区间(a,b)上处处可导,证明在(a,b)的点或是f'(x)的连续点,或是f'(x)的第二类间断点。证明：由于f(x)在区间(a,b)上处处可导,那么对于?x0?(a,b),有 f'(x0)?f?'(x0) ?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0x?x0 拉格朗日中值定理?lim?f'(?)(x?x0)x?x0 ?lim?f'(?)x?x0 ?lim?f'(?)?lim?f'(x);??x0x?x0其中x0???x. 于是f'(x)在x0处有右极限时,必有f'(x0)?lim?f'(x).x?x0 同理可得若f'(x)在x0处有左极限时,必有f'(x0)?lim?f'(x).因此在区间(a,b)上任意一x?x0点处,除非至少有一侧f'(x)无极限,不然f'(x)在此处连续。 柒
12.若函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证明：存在??(a,b)使得f(a) f(b)g(a)g(b)h(a)h(b)?0.f'(?)g'(?)h'(?)再由此导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。证明：取f(a)g(a)h(a) D(x)?f(b)f(x)g(b)h(b),g(x)h(x)验证即知有D(a)?D(b)?0,又由于函数f(x),g(x),h(x)在[a,b]连续,因此函数D(x)在[a,b]上也连续。那么由罗尔定理可知道存在??(a,b)使得D'(?)?0.可以求得f(a)g(a)h(a) D'(x)?f(b)g(b)h(b),f'(x)g'(x)h'(x)于是存在??(a,b)使得f(a)g(a)h(a) f(b)g(b)h(b)?0.f'(?)g'(?)h'(?) 取g(x)?x,h(x)?1,于是存在??(a,b)使得f(a) f(b)f(b)?f(a).b?a 取h(x)?1,于是存在??(a,b)使得f(a)g(a)1 f(b)g(b)1?0,f'(?)g'(?)0整理即得f'(?)f(b)?f(a).g'(?)g(b)?g(a)a1b1?0,f'(?)10整理即得f'(?)? 捌
13.设f(x)在(??,??)连续,且limf(x)???,证明：f(x)在(??,??)取到它的最小值。x???证明：首先选定一个闭区间[?X0,?X0],我们可以找见f(x)在这个闭区间上的最大值 f(x0),(x0?[?X0,?X0]). 由于limf(x)???,于是对于G?max(1,f(x0))?0,?X?0,当x?X时,有f(x)?G.那么x???可知对于?x?(??,?X)?(X,??),总有f(x)?f(x0). 可以肯定必有[?X0,?X0]?[?X,?X].显然我们可以找见f(x)在闭区间[?X,?X]的最小值点,即有??[?X,?X],使得对于?x?[?X,?X]有f(x)?f(?),且有f(?)?f(x0). 综上我们可以说我们找见了一个点??(??,??),对于?x?(??,??),有f(x)?f(?).因此f(x)在(??,??)取到它的最小值。14.设f(x)在[a,b)连续,lim?f(x)?B.x?b(1)若存在x1?[a,b),使得f(x1)?B,则f(x)在[a,b)上达到最大值;(2)如果存在x1?[a,b),使得f(x1)?B,能否断言f(x)在[a,b)上达到最大值？证明：(1)构造函数?f(x) x?[a,b) g(x)??,B x?b? 那么显然有lim?g(x)?lim?f(x)?B?g(b),于是g(x)在b点连续;又因为f(x)在[a,b)连续,x?bx?b于是可知道g(x)在闭区间[a,b]上连续。于是g(x)可以在[a,b]取到最大值g(?). 由于存在点x1?[a,b)使得g(x1)?f(x1)?B?g(b),于是b点不可能是g(x)的最大值点,即有??[a,b). 于是对于?x?[a,b),总有f(x)?g(x)?g(?)?f(?),因此说f(x)在[a,b)上达到最大值f(?). (2).可以:如果f(x)在[a,b)上的最大值为B,那么x1点即为所求; 否则必存在x0?[a,b)使得f(x0)?0,问题化为(1).15.设f(x)在[a,??)有界,f'(x)存在,且limf'(x)?b.求证b?0.x???证明：使用反证法,不妨设b?0.即limf'(x)?b?0.那么我们利用极限的保号性可以知道x????A,当x?A时,f'(x)?b?0.2f(x)?f(A),x?A 取区间[A,x],由拉格朗日中值定理可知存在?,满足A???x,使得f'(?)?b即有f(x)?f(A)?f'(?)(x?A)?f(A)?(x?A).那么易证得limf(x)???,这与f(x)有界x???2是矛盾的。 玖
15.设f(x)在[a,??)有界,f'(x)存在,且limf'(x)?b.求证b?0.x???证明：若b?0,取??b8,此时由于limf'(x)?b,即对??x???b8?0,?X?0,当x?X时,有 f'(x)?b???又因为f'(x)?limb8;bf(x??x)?f(x),即对???0,当???0,当0??x??时,有?x?0?x8bf(x??x)?f(x) ?f'(x)???.?x8n? 我们取xn?1?X?,(n?1,2,?).那么此时有2 f(xn)?f(xn?1)?b?f(xn)?f(xn?1)?f'(xn?1)?f'(xn?1)?b??2 ?2f(xn)?f(xn?1)?f'(xn?1)?f'(xn?1)?b? ?2即b?b4?f(xn)?f(xn?1)b8?2b4.??b?b4,整理可得b?b?)?f(xn)?f(xn?1)?(b?),42242 f(xn?1)?(b?那么递推可得bn?bn? f(x0)?(b?)?f(xn)?f(x0)?(b?).4224bn?3bn? 若b?0,那么可知lim[f(x0)?(b?)]?lim[f(x0)?]???;于是对?G?0,?N,n??n??4242bn?当n?N时,有f(xn)?f(x0)?(b?)?G.这与f(x)有界矛盾。42b3bn?n? 若b?0,那么可知lim[f(x0)?(b?)]?lim[f(x0)?]???;于是对?G?0,?N,n??n??2442bn?当n?N时,有f(xn)?f(x0)?(b?)??G.这与f(x)有界矛盾。42 因此必有b?0. 壹拾
16.求证：arcsinx?arccosx??2证明：令f(x)?arcsinx?arccosx,由于 f'(x)?11?x2.?11?x2?0,
?2于是可知f(x)?c,c为常数。 又因为f(0)?0??2??2,于是可知f(x)?arcsinx?arccosx?,得证。第二节 洛比达法则
1.求下列待定性的极限：
tanax洛比达法则ab(1).lim?lim?.x?0sinbxx?0bcos2axcosbxa1?cosx2(2)lim3x?0xsinx2xsinx2sinx22x?lim2?limx?03xsinx?x3cosxx?0x23sinx?xcosx洛比达法则2x21 ?lim?lim?.x?03sinx?xcosxx?03cosx?cosx?xsinx2洛比达法则1?1洛比达法则ln(1?x)?x洛比达法则x11?x(3)lim?lim?lim?lim?1.x?0x?0?sinxx?0(1?x)sinxx?0sinx?(1?x)cosxcosx?11?12tanx?x洛比达法则1?cos2x1?cosxcosx(4)lim?lim?lim?lim?2.x?0x?sinxx?01?cosxx?0cos2x?cos3xx?0cos2x11ex?1?x洛比达法则ex?1(5)lim(?x)?lim?limxx?0xx?0e?1?xexe?1x?0x(ex?1)洛比达法则?ex1limx?.x?02e?xex2lncosax洛比达法则?asinax?cosbxa2cosbxbxsinaxa2(6)lim?lim?lim2?2.x?0lncosbxx?0cosaxx?0bsinbxbcosaxaxsinbxb12tanx?6洛比达法则1(7)lim?limcosx?lim?1.?secx?5?sinx?sinxx?x?x?2222cosx1洛比达法则11x?1?lnx洛比达法则x?111x(8)lim(?)?lim?lim?lim?lim?.x?1lnxx?1x?1lnx?2x?1x?1xlnx?x?1x?1x?1(x?1)lnx2lnx?x1? 壹拾壹
x??x洛比达法则?1x(9).lim(??x)tan?lim?lim?lim2sin?2.x??x??x???12x??cotx2x22sin2(10).limxx?111?x?limex?11ln(x1?x)?limex?1lnx1?x?elnx洛比达法则limx?11?x?e1limxx?1?1?e?1.xb(11).limaxx???e洛比达法则?bxb?1洛比达法则洛比达法则b(b?1)(b?2)?(b?[b])limax???lim?0.x???aex???a[b]?1x?b?[b?1]eax1??arctanx洛比达法则2x211?x2(12).lim?lim?lim?lim?1.x???x???x???111x???111sin?2cos(1?x2)cos(2?1)cosxxxxxxlncx洛比达法则clnc?1x洛比达法则洛比达法则c(c?1)(c?2)?(c?[c])(13).limb?lim???lim?0.x???xx???x???bxbb[c]?1xbln[c?1]?cx(14)lim?xblncx,(b,c?0);x?0?11?lim()blnct???ttcclnt?lim(?1)b?0.t???tx?1tlnx;x?0cotx6洛比达法则洛比达法则?2coxssin2x ?li?m ??lim?
x?0x3xx??3sin6??limsinx?0.x?0?32*2?3.?33;1?2sixn(15)lim?cosx3x?(16)lim?(17)lim(1?x)?e;x?0x1x1xx?ln(1?x)ln(1?x)y'1?x解：令y?(1?x),lny?,于是?.xyx2x?ln(1?x)11?x 因此有y'?(1?x)x.于是2xx?ln(1?x)1x11?xx(1?x)?ln(1?x)12(1?x)x?e洛比达法则x lim?lim?lim1?x2(1?x)xx?0x?0x?0x1x1x?(1?x)ln(1?x)x?(1?x)ln(1?x)x ?lim(1?x)?lime22x?0x?0x(1?x)x(1?x)1?洛比达法则1?ln(1?x)?1洛比达法则1?x??e. ?elim?elimx?02x(1?x)?x2x?02?6x2
壹拾贰
(18)limx?x?0sinx?lime?x?0ln(xsinx)?ex?0?limln(xsinx)?ex?0?limsinxlnx?ex?0?limxlnxx??elim1tt???lim?lntt?e0?1.1x(19)lim(ln)?limex?0?x?0?x11ln[(ln)x]x?lime?x?011xln(ln)x?e11x?limxln(ln)txx?0??et????lnlntt?e0?1.(20)lim(x?0tanxx2)?limex?0xlimtanxx2ln[()]xln(?limex?0tanx)xx2?ex?0limlntanx?lnxx2?elim111?2tanxcosxxlimx?02xx?sinxcosx2 ?ex?02xsinxcosx?e1x?sin2xlim2x?0x2sin2x?e1x?sin2xlim23x?02x1?cos2x6x2?ex?0?ex?0lim2sin2x6x2?e.1311sin2x?x2sin2x?x22sinxcosx?2x(21)lim(2?2)?lim22?lim?limx?0xx?0xsinxx?0x?0sinxx44x32cos2x?2?4sin2x1 ?lim?lim??.22x?0x?012x12x3x?x?0x?0(22)limsinxlnx?limxlnx?lim??1t?lnt?0.t???t2.对函数f(x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f(x)?f(0)?f'(?x)x,??(0,1).试证对下1列函数有lim??:x?0?2(1)f(x)?ln(1?x);(2)f(x)?ex.证明：只要证得lim?x?0 2?xln(1?x)?f(x)?f(0)ln(1?x)?ln(1?0)(2?x)ln(1?x)1?x?1;(1)lim?lim?lim??lim???x?01x?01x?0x?02x2f'(x)xxx21?2f(x)?f(0)ex?1ex(2)lim?lim??lim??1.xxx?0?1x?0x?0xf'(x)xxe2xe222e?2f(x)?f(0)?1即可。1f'(x)x2 壹拾叁
3.设f(x)二阶可导,求证：f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)?f''(x).h?0h2证明：当h?0时,分子f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)?0,分母h2?0,因此我们可以对h使用 lim洛比达法则：f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)h?0h22f'(x?2h)?2f'(x?h) ?limh?02h4f''(x?2h)?2f''(x?h) ?limh?022f''(x?h) ?lim?f''(x).h?02f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)于是有lim?f''(x).h?0h2 lim4.试说明下列函数不能用洛比达法则求极限：
x2sin(1)limx?0sinx1x;x2sin1112xsin?cosx的分子分母分别求导之后得xx,这个函数在x?0的时 答：对函数sinxcosx1x2sinx?limxxsin1?0.候极限是不存在的;但是原函数的极限是存在的：limx?0sinxx?0sinxx(2)limx?sinx;x??x?cosxx?sinx1?cosx的分子分母分别求导之后得,这个函数在x??时是没有x?cosx1?sinxx?sinx极限的;而原函数是有极限的:lim?1.x??x?cosx 答：对函数(3)lim2x?sin2x;x??(2x?sinx)esinx2x?sin2x?1本身极限就不存在。但是函数有聚点e和e.x??(2x?sinx)esinx
答：这是因为函数lim 壹拾肆
(4)limx?1(x2?1)sinxln(1?sin?2.x)(x2?1)sinx2xsinx?(x2?1)cosx 答：对函数的分子分母分别求导之后可得,这个函??1?ln(1?sinx)cosx?221?sinx22(x2?1)sinx数在x?1时候是没有极限的,但是原函数是有极限的：lim?0.x?1?ln(1?sinx)2第三节 函数的升降、凸性和函数作图
1.应用函数的单调性证明下列不等式：x?sinx?x, x?(0,);?2sinxxcosx?sinx证明：取函数y?,可求得y'?;取函数z?xcosx?sinx,可以知道z(0)?0,xx2z'??xsinx. 由于在区间(0,)上z'?0恒成立,于是函数z?xcosx?sinx在区间(0,)上单调递减,于22?sinx是有z?xcosx?sinx?z(0)?0成立;那么y'在区间(0,)上小于零成立,因此函数y?在2x此区间上单调递减。 因此有limy(0)?y(x)?y(),即1?x?02(1)2????sinx22??,整理即得x?sinx?x, x?(0,).x??2x3(2)x?sinx?x?, x?0;6证明：取函数y?sinx?x,可求得y'?cos?1;在区间(??,0)上可以知道恒有y'?cos?1?0,于是函数y?sinx?x单调递减,因此有y?sinx?x?y(0)?0,即得sinx?x,(x?0).x3x2 取函数z?sinx?x?,可求得z'?cosx?1?;那么有z'(0)?0,z''??sinx?x.由于在62x3区间(??,0)上恒有z''??sinx?x?0,因此z'满足z'(x)?z'(0)?0,于是函数z?sinx?x?单6x3调递减,即z(x)?z(0)?0,于是有sinx?x?, x?0.6x3 综上可得x?sinx?x?, x?0.6 壹拾伍
8.设f(x),g(x)在实轴上连续可微,且 f(x)g(x)?0,f'(x)g'(x)求证：f(x)?0的两实根之间一定有g(x)的一根。证明：设a,b是函数f(x)相邻的两个实根(那么在区间(a,b)上没有函数f(x)的根),则有f(a)g(a) ??g(a)f'(a)?0????????????(*),f'(a)g'(a) 于是必有g(a)?0,g(b)?0. 现在我们使用反证法证明f'(a),f'(b)异号,不妨设f'(a)?0,f'(b)?0.即f(x)?f(a)f(x) lim?lim?0,x?ax?ax?ax?af(x)?f(b)f(x) lim?lim?0;x?bx?ax?bx?b那么由极限的局部保号性可以知道???0,当0?x?a??,0?x?b??时有 f(x)f(x)?0,?0.x?ax?bf(b)g(b)??g(b)f'(b)?0????????????(**);f'(b)g'(b)f(x1)f(x2)?b?a 取??min(,)?0,分别取x1?a??,x2?b??,则有?0,?0,于是24??? f(x1)?0,f(x2)?0,那么由介值定理可以知道在区间[x1,x2]上比还有f(x)的一个根,这与在区间(a,b)上没有函数f(x)的根相矛盾。 于是可知f'(a),f'(b)异号,那么由(*)(**)式可以知道g(a),g(b)也异号,则由介值定理可以知道在区间(a,b)上必有函数g(x)的一个根,即得证。9.确定下列函数的凸性区间与拐点。(1)y?3x2?x3;解：可以求得y'?6x?3x2,y''?6?6x;令y''?6?6x?0,可以解得x?(??,1]. 因此(??,1)是函数y?3x2?x3的下凸区间,(1,??)是函数的上凸区间;x?1是函数的拐点。1(2)y?x2?;x122,y''?2?;令y''?2??0,可以解得x?(??,?1]?(0,??).233xxx1 因此(??,?1)和(0,??)是函数y?x2?的下凸区间,(?1,0)是函数的上凸区间;x??1是x函数的拐点。解：可以求得y'?2x? 贰拾壹
(3)y?ln(1?x2);2x2(1?x2)2(1?x2)解：可以求得y'?,y''?;令y''??0,可以解得x?[?1,1].1?x2(1?x2)2(1?x2)2 因此(?1,1)是函数y?ln(1?x2)的下凸区间,(??,?1)和(1,??)是函数的上凸区间;x??1是函数的拐点。(4)y?1?x2;解：可以求得y'?x1?x2,y''?1(1?x)322;令y''?1(1?x)322?0,可以解得x?R. 因此(??,??)是函数y?1?x2的下凸区间。10.证明曲线y?x?1有位于同一条直线上的三个拐点。2x?1证明：可以求得x2?1?2x(x?1)?x2?2x?1 y'??,2222(x?1)(x?1)(2x3?6x2?6x?2)(x2?1) y''?;(x2?1)4令y''?0可以解得 x1?1,x2??2?3,x3??2?3,对应的有 y1?于是我们得到了曲线y??1?3?1?3,y2?,y3?1.8?438?43x?1的三个拐点。2x?1 点(x1,y1),(x2,y2)确定的直线为y??1?3?1?3y?8?43?8?43, x?2?3x?2?3将点(1,1)代入验证可知等式成立,即这三点位于同一条直线上;因此曲线有位于同一条直线上的三个拐点。11.问a,b为何值时,点(1,3)为曲线y?ax3?bx2的拐点？解：可以求得y'?3ax2?2bx,y''?6ax?2b;由题意可得?y(1)?a?b?3 ??y''(1)?6a?2b?03?a????2解得?,即此时有点(1,3)为曲线y?ax3?bx2的拐点。?b?9??2
贰拾贰
12.证明：(1)若f(x)为下凸函数,?为非负实数,则?f(x)为下凸函数; (2)若f(x),g(x)均为下凸函数,则f(x)?g(x)为下凸函数; (3)若f(x)为区间I上的下凸函数,g(x)为区间J上的下凸递增函数,f(I)?J,则g?f(x)为I上的下凸函数。证明：(1)因为f(x)为下凸函数,所以对定义域内任意两点x1,x2及任意的??(0,1),有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2),那么在上式两边乘上非负实数?可得 ?f(?x1?(1??)x2)???f(x1)?(1??)?f(x2). 依定义可知道?f(x)为下凸函数。 (2)因为f(x),g(x)均为下凸函数,那么在它们的区间上的任意两点x1,x2及任意的??(0,1)有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2), g(?x1?(1??)x2)??g(x1)?(1??)g(x2);将这两个不等式左右相加可得 f(?x1?(1??)x2)?g(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)??g(x1)?(1??)g(x2),整理后有 f(?x1?(1??)x2)?g(?x1?(1??)x2)??[f(x1)?g(x1)]?(1??)[f(x2)?g(x2)]. 依定义可知道f(x)?g(x)为下凸函数。 (3)因为f(x)为I上的下凸函数,所以对I内任意两点x1,x2及任意的??(0,1),有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2),又因为g(x)为J上的递增函数,而且f(I)?J,?f(x1)?(1??)f(x2)?f(I),因此 g(f(?x1?(1??)x2))?g(?f(x1)?(1??)f(x2)). 而g(x)为J上的凸函数,于是有 g(?f(x1)?(1??)f(x2))??g(f(x1))?(1??)g(f(x2)),于是有 g(f(?x1?(1??)x2))??g(f(x1))?(1??)g(f(x2)). 依定义可知道g?f(x)为下凸函数。 贰拾叁
13.设f(x)为区间I上严格下凸函数,证明：若x0?I为f(x)的极小值点,则x0为f(x)在I上唯一的极小值点。证明：假设f(x)在I上还有另一极小值点x1,不妨设x0?x1.由定义,存在U(x0)及U(x1),使得当x?U(x0)时,f(x)?f(x0);当x?U(x1)时,f(x)?f(x1). 对任意x?(x0,x1),取??x1?x,则0???1,x??x0?(1??)x1.据f(x)为I上的严格下凸x1?x0函数,有 f(x)??f(x0)?(1??)f(x1). 若f(x0)?f(x1),则 f(x)??f(x1)?(1??)f(x1)?f(x1);特别的当x?U(x1)?(x0,x1)时,f(x)?f(x1).这与x1点为f(x)的极小值点相矛盾。 若f(x0)?f(x1),则 f(x)??f(x0)?(1??)f(x0)?f(x0);特别的当x?U(x0)?(x0,x1)时,f(x)?f(x0).这与x0点为f(x)的极小值点相矛盾。 因此x0为f(x)在I上唯一的极小值点。14.应用下凸函数概念证明如下不等式：(1)对任意实数a,b,有 e(2)对任意非负实数a,b,有a?b?arctana?arctanb.2证明：(1)设f(x)?ex.由于f''(x)?ex?0,故f(x)在(??,??)上位下凸函数,对任意a,b?(??,??), 2arctan1a?b1取??有f()?(f(a)?f(b)),即2221?(ea?eb).21?2x(2)设f(x)?arctanx.则f'(x)?,f''(x)?.那么对于任意非负实数a,b,有f''(x)?0,2221?x(1?x)a?b1于是对于任意非负实数a,b?(0,??)有f()?(f(a)?f(b)),即22a?b 2arctan?arctana?arctanb.2 ea?b2a?b21?(ea?eb);2 贰拾肆
15.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上恒有f''(x)?0,则在[a,b]内任意两点x1,x2,都有f(x1)?f(x2)x?x?f(12).22证明：不妨设[a,b]内任意两点x1?x2. 由于函数f(x)在区间[a,b]上恒有f''(x)?0,那么在区间(a,b)上也满足f''(x)?0,于是在区间(a,b)上函数为下凸函数,因此对于任意两点x1,x2?(a,b),总有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)?????????????(*).22 对于(*)式,我们任意取定x2,在不等式两边令x1趋近于a求极限,即 x1?x2).x1?a22x?xa?x2由于函数的连续性可知limf(x1)?f(a),limf(12)?f(),于是有x1?ax1?a22f(a)?f(x2)a?x2 ?f();22即当x1?a时,(*)式也成立。同理可得当x2?b时,(*)式也成立。 x1?alimf(x1)?f(x2)?limf( 因此在[a,b]内任意两点x1,x2,都有 f(x1)?f(x2)x?x?f(12).2216.如何选择参数h?0,方能使曲线 y?在x???(??0为给定的常数)处有拐点。解：容易求得 y'?令y''?0,可得x2??2h3xh?e?hx22
?e?hx,y''?22h?e?hx(4h4x2?2h2),221112;由于拐点为??,故有??,即h?.2h22h22?2 贰拾伍
x217.求y?2的极值及拐点,并求拐点处的切线方程。x?1解：可以求得x212x2?6x2 y?2?1?2,y'?2,y''?2x?1x?1(x?1)2(x?1)3令y''?0,可得x??33131;由于y()?,y(?)?,于是拐点为334343131,)与(?,).3434 ( 由于y'(线分别为 y?3333333131)?,y'(?)??,那么由点斜式可得在点(,)与(?,)处的直3838343433313331(x?)?,y??(x?)?.83483418.作出下列函数的图形：(1)y?x3?6x;解：可以求得函数的定义域为?,由于y(x)??y(?x),因此为奇函数。 令y?x3?6x?0,可以求得函数的零点x1?0,x2,3??6. 令y'?3x2?6?0,可得函数两个稳定点x4,5??2;令y'?3x2?6?0,可得函数递增区间(??,?2),(2,??)及递减区间(?2,2). 由于y''?6x,则y''(?2)??62?0,于是稳定点x4??2为函数极大值点; y''(2)?62?0,于是稳定点x5?2为函数极小值点。 令y''?6x?0,可得函数的上凸区间(??,0),及下凸区间(0,??).综上制表得： y?x3?6x 定义域 零点 递增区间 上凸区间 ? 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 奇函数 对称性 极小值点 渐近线 拐点 原点中心对称 x1?0,x2,3??6 (??,?2),(2,??) (??,0) x4??2 (?2,2) (0,??) x5?2 无 无 依表作图如下： 贰拾陆
(2)y?e?(x?1);解：可以求得函数的定义域为?,由于y(x?1)?y(?x?1),因此关于直线x?1对称。 令y?e?(x?1)?0,无解。 令y'??2(x?1)e?(x?1)?0,可得稳定点x1?1;令y'?3x2?6?0,可得函数递增区间(??,1),及递减区间(1,??). 由于y''?[4(x?1)2?2]e?(x?1),则y''(1)??2?0,于是稳定点x1?1为函数极大值点; 令y''?[4(x?1)2?2]e?(x?1)?0,可得函数的下凸区间(??,1?2),(1?2,??)及上凸区间(1?2,1?2);令y''?[4(x?1)2?2]e?(x?1)?0可得函数的两个拐点x2,3?1?2. 由于lime?(x?1)?0,因此函数有水平渐近线y?0.x??2222222综上制表得： y?e定义域 零点 递增区间 上凸区间 ?(x?1)2 无 对称性 极小值点 渐近线 拐点 ? 无 奇偶性 极大值点 递减区间 x?1轴对称 无 x1?1 (1,??) (??,1) y?0 (1?2,1?2) 下凸区间 (??,1?2),(1?2,??) x2,3?1?2 依表作图如下： 贰拾柒
1;2x?1解：可以求得函数的定义域为{x|x??1},由于y(x)?y(?x),因此关于直线x?0对称。12x2x 令y?2?0,无解。令y'?2?0,可得稳定点x?0;令y'??0,可得函1222x?1(x?1)(x?1)(3)y?数递增区间(??,?1),(?1,0),及递减区间(0,1,),(1??).6x2?2 由于y''?2,则y''(0)??2?0,于是稳定点x1?0为函数极大值点;(x?1)36x2?2 令y''?2?0,可得函数的下凸区间(??,?1),(1,??)及上凸区间(?1,1);3(x?1)6x2?21 令y''?2?0无解,没有拐点。由于lim?0,因此函数有水平渐近线y?0;32x??(x?1)x?111 lim???,lim???,因此函数有竖直渐近线x??1.22x?1?x?1x?1?x?1??x??1x??1
综上制表得： 定义域 零点 递增区间 上凸区间 {x|x??1} 无 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 偶函数 对称性 极小值点 渐近线 拐点 x?0轴对称 无 x1?0 (0,1,),(1??) (??,?1),(1,??) (??,?1),(?1,0) y?0,x??1 无 (?1,1) 贰拾捌
(4)y?ln1?x;解： 1?xy?ln1?x 1?x奇函数 无 无 对称性 极小值点 渐近线 拐点
定义域 零点 递增区间 上凸区间 (?1,1) x?0 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 原点中心对称 无 (?1,1) (?1,0) x??1 (0,1) x?0 依表作图如下： 贰拾玖
(5)y?x?2arctanx;解：可以求得函数的定义域为?,由于y(x)??y(?x),因此关于原点中心对称。2 令y?x?2arctanx?0,我们可以求得函数的一个根x?0;令y'?1??0,可得稳定21?x2点x??1;令y'?1??0,可得函数递增区间(??,?1),(1,??),及递减区间(?1,1).21?x4x 由于y''?,则y''(1)?1?0,于是稳定点x?1为函数极小值点,y''(?1)??1?0,于是(1?x2)2稳定点x??1是函数的极大值点。4x 令y''??0,可得函数的下凸区间(0,??)及上凸区间(??,0);(1?x2)24x 令y''??0得x?0,有拐点x?0。(1?x2)2x?2arctanx 由于lim(x?2arctanx?x)???,lim(x?2arctanx?x)??;且lim?1,因此函x???x??x??x数有斜渐近线y?x??.?1?0,limy???,因此在区间(??,?1)上函数有一根,同理在区间(1,??)x???2上函数也有一根,但是这两个根我们用常规方法无法解得。综上制表得： y?x?2arctanx 定义域 零点
另外y(?1)??? 奇偶性 极大值点 叁拾
奇函数 对称性 极小值点 原点中心对称 x?0(还有两个) x??1 x??1
递增区间 上凸区间 (??,?1),(1,??) 递减区间 下凸区间 (?1,1) 渐近线 拐点 y?x?? x?0 (??,0) (0,??) 依表作图如下：
(6)y?xe?x;解：可以求得函数的定义域为?. 令y?xe?x?0,我们可以求得函数的根x?0; 令y'?e?x?xe?x?0,可得稳定点x?1; 令y'?e?x?xe?x?0,可得函数递增区间(??,1),及递减区间(1,??). 由于y''??2e?x?xe?x,则y''(1)??e?1?0,于是稳定点x?1为函数极大值点, 令y''??2e?x?xe?x?0,可得函数的下凸区间(2,??)及上凸区间(??,2); 令y''??2e?x?xe?x?0得x?2,有拐点x?2. 由于limxe?x?0,因此函数有水平渐近线y?0.x???
综上制表得： y?xe?x 定义域 零点 递增区间 上凸区间 ? x?0 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 无 对称性 极小值点 渐近线 拐点 无 无 x?1 (??,1) (1,??) y?0 x?2 (??,2) (2,??) 依表作图如下： 叁拾壹
x2?2x?3(7)y?;2 x?1解：x2?2x?3y? x2?1定义域 零点 递增区间 ? 奇偶性 极大值点 无 对称性 极小值点 渐近线 无 x?3,x??1 x??2?5 (x??2?5) y?1 (??,?2?5),(?2?5,??) 递减区间 (?2?5,?2?5) 上凸区间 (?6.41883,?0.38677), (??,?6.41883), 下凸区间 (0.805603,??)(?0.38677,0.805603) 拐点 三个 依表作图如下： 叁拾贰
(x?1)3(8)y?(x?1)3 解：(x?1)3 y?3(x?1)定义域 零点 递增区间 上凸区间 x??1 x?1 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 无 无 无 对称性 极小值点 渐近线 拐点 无 无 (??,?1),(?1,??) (?1,1),(3,??) y?1,x??1 x?1,x?3 (??,?1),(1,3) 依表作图如下：
叁拾叁
x4 (9)y? 解：(x?1)3x4 y?(x?1)3定义域 零点 递增区间 上凸区间 x??1 x?0 奇偶性 极大值点 递减区间 下凸区间 无 对称性 极小值点 渐近线 拐点 无 x??4 x?0 (??,?4),(0,??) (?4,?1),(?1,0) y?x?3 无 (??,?1) (?1,??)
叁拾肆
第四节 函数的最大值最小值问题
1.求下列函数在指定区间上的最大值最小值。(1)y?x5?5x4?5x3?1,[?1,2];解：令y'?5x4?20x3?15x2?0,可得x1?0,x2?1,x3?3(舍去). 函数只可能在x1?0,x2?1取得极值。由于 y(0)?1,y(1)?2,y(?1)??10,y(2)??7,因此函数的最大值为y(1)?2,最小值为y(?1)??10.(2)y?2tanx?tan2x,[0,);2解：令tanx?t,则t?[0,??);我们求得函数的z?2t?t2在区间[0,??)上的最大最小值就可求得原函数的最大最小值。 令z'?2?2t?0,可得t1?1.函数只可能在t1?1取得极值。由于 z(1)?1,z(0)?0,limz???t????因此函数的最大值为z(1)?1,没有最小值。 那么原函数的最大值为y()?1,没有最小值。4?(3)y?xlnx,[0,??);lnxx??0,可得x1?e?2.函数只可能在x1?e?2取得极值。由于x2x?2 y(e?2)?,y(0)?0,limy??,x???e?2因此函数的没有最大值,最小值为y(e?2)?.e解：令y'?(4)y?x2?3x?2,[?10,10];33解：取y1?x2?3x?2,令y1'?2x?3?0,可得x?.那么原函数只可能在x?取得极值。22 由于31 y()?,y(?10)?132,y(10)?72,24我们知道函数可以取得最大值为y(?10)?132. 令x2?3x?2?0,可得x1?1,x2?2.那么函数在x1?1,x2?2处取得最小值0. 叁拾伍
(5)y?ex?3,[?5,5].解：由于ex是增函数,因此我们只需要求得函数z?x?3在区间[?5,5]上的最大最小值就可以求得原函数的最大最小值。 易求得函数z?x?3在区间[?5,5]上的最大最小值为z(3)?0,z(?5)?8.于是原函数的最大值为y(?5)?e8,最小值为y(3)?1.2.给定长为l的线段,试把它分成两段,使以这两段为边的矩形面积最大。解：设分成的两段中其中一段长为x,那么矩形面积为s?x(l?x).ll 令s'??2x?l?0,得x?.由于s''??2,可知函数s?x(l?x)的极值点x?为它的极大值22ll2点。又因为s(0)?0,s(l)?0,因此s()?为它的最大值。24 于是将这段线段平分,以之为边的矩形面积最大。3.设用某仪器进行测量时,读得n次试验数据为a1,a2,a3,?,an,问以怎样的数值x表达所有测量的真值,才能使它与这n个数据之差的平方和为最小。解：设S?(x?a1)2?(x?a2)2?(x?a3)2???(x?an)2,则nndS ?2?(x?ai)?2(nx??ai).dxi?1i?1dS 令?0,则可求得稳定点为dx x?d2S又因为2?2n?0,于是x?dx值点。?ai?1nin,?ai?1nin为函数的极小值点。由于极小值点唯一,因此也是最小 于是当用x??ai?1nin表示真值时,它与这n个数的差的平方和最小。 叁拾陆
x2y24.求内接于椭圆2?2?1,而边平行于坐标轴的面积最大的矩形。ab解：设椭圆与矩形在第一象限的公共点为(x,y),则矩形面积为s?4xy.x2y2x2 由于2?2?1,于是有y?b1?2,那么abab s?4xa2?x2,x?[0,a].a 令dsb2bx22 ?4a?x?4?0,dxaaa2?x2可得x?2a.22a)?2ab,因此面积最大的矩形的四个顶点分别为222222222 (a,b),(a,?b),(?a,b),(?a,?b).22222222此时面积最大为2ab. 由于s(0)?0,s(a)?0,s(5.求点M(p,p)到抛物线y2?2px的最短距离。解：设抛物线上点(x,2px)到M(p,p)点的距为l?(x?p)2?(2px?p)2,要使l最小,l2最小即可。可以求得l2?x2?2p2px?2p2.p2pdl2p 令?2x??0,可得x?1.由于dxx23d2l2 2dxp213?2?x?p123p2p2x32x?p1?0,23因此x?是原函数的极小值点。又因为2 l(p2)?(2?213?23?2)p2,l2(0)?2p2,liml2???.x????234343 于是可以知道点M(p,p)到抛物线y?2px的最短距离为2?22?2p. 叁拾柒
6.做一个圆柱形锅炉,已知其容积为V,两端面材料的每单位面积价格为a元,侧面积材料单位面积价格为b元,问锅炉的直径与高的比为多少时,造价最省。解：设锅炉底面圆半径为r,高为kr,则有体积V??r2kr,造价为 S?2a?r2?2b?rkr?2?ar2?2?br2令 可得r?3VV2?2?ar?2b.3?rrdSV?4?ar?2b2?0,dxrbV.2?aV)r3r?3 由于d2S 2dx因此S(3?(4?a?4bbVr?32?abV2?a?0,bVbV)为S的极小值,又因为半径为零不合理,limS???,于是S(3)为S的最小值。x???2?a2?aV2a2a 此时有k?3?,于是当直径与高的比为时,造价最省。?rbb37.某村计划修建一条断面面积为4m2的梯形渠道,侧面的坡度为(即底边与斜高间夹角?满43足tan??),底边b与斜高l为多长时湿周最小(根据经验,湿周最小时渠道过水能力最大)。445解：设渠道断面的高为h,那么由题意可知(h?b)h?4,湿周为s?b?2?h.整理可得334 s??2h.hds4令?2?2?0,可得稳定点h?2,(?2舍去).dhhd2s84 由于2?3?0,因此h?2是函数s??2h的极小值点。又因为lims???,h?0dhh?2hh?2h4?2h的最小值点。h???h4425 故s(2)?42为最小湿周,此时底边b??2?2,斜边l?2.3323lims???,因此h?2是函数s? 叁拾捌
8.设炮口的仰角为?,炮弹的初速为v0m/s,炮口取做原点,发炮时间取做t?0,不计空气阻力时,炮弹的运动方程为?x?tv0cos?? ?12.y?tv0sin??gt??2若初速v0不变,问如何调整炮口仰角?,使炮弹射程最远。1解：设炮弹路径曲线为S,那么S上的点与原点距离最远时,必有y?tv0sin??gt2?0,此时有t?2v0sin?v20sin2g,那么x??g. 显然当2???时,x值最大,?2即当仰角为4时,炮弹射程最远。
叁拾玖
2