2015-2016学年清华附中高一（下）期末数学试卷及答案
一、选择题
1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（?UA）∪B=（ ） A．{2} B．{4} C．{1，3} D．{2，4}
2．x2＞0是x＞0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（ ） A．26 B．40 C．54 D．80
4．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则
的最小值为（ ）
A．10 B． C． D． +2
5．为了得到函数y=sin（2x﹣A．向右平移C．向左平移
个单位长度 个单位长度
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ） B．向左平移D．向右平移
个单位长度 个单位长度
6．已知平面向量，满足||==2，（ +2）（﹣）=﹣6，则与的夹角为（ ） ?A．
B．
C．
D．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0
B．0或
C．0或
D．
或
，且对于边AB上任一点P，恒有
8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足
则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC
二、填空题
9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若
=
D．AC=BC
，则C点坐标是______．
10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于______．
第1页（共16页）
11．设函数，则实数a的取值范围是______．
12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为______． 13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值______． 14．已知点A（
，
），B（
，1），C（
，0），若这三个点都在函数f（x）=sinω
x的图象上，则正数ω的 所有取值的集合为______．
三、解答题.
15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和．
16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．
（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值．
17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为（2）若∠AOC=x（0＜x＜y的最大值．
，求cos∠BOC的值；
），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出
18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围． 19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．
（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立； （2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （3）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 20．设集合S={x|x=，k∈N*}．
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（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；
（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）； （3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥求证：n≤15．
，
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2015-2016学年北京市清华附中高一（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，则集合（?UA）∪B=（ ） A．{2} B．{4} C．{1，3} D．{2，4} 【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与并集的定义，进行计算即可． 【解答】解：集合U={1，2，3，4}， A={1，3，4}，B={2，4}， ∴?UA={2}，
∴（?UA）∪B={2，4}． 故选：D．
2．x2＞0是x＞0的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据x2＞0，得到x的范围和x＞0比较即可． 【解答】解：由x2＞0得到：x≠0， 而x≠0推不出x＞0，不是充分条件， 由x＞0能推出x≠0，是必要条件， ∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件， 故选：B．
3．在等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，则a1+a2+a3+a4=（ ） A．26 B．40 C．54 D．80 【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18，求得数列的首项与公比，即可求和． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=6，a3=﹣18， ∴
=﹣3，
=﹣2
∴a1+a2+a3+a4=﹣2+6﹣18+54=40 故选B．
4．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．若a1=d=1，则
的最小值为（ A．10 B． C． D． +2
【考点】等差数列的前n项和．
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）【分析】由已知条件推导出==，由此利用均值定理取
最小值．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn．a1=d=1， ∴
=
=1+=≥
+
+=，
当且仅当故选：B．
，即n=4时，取最小值．
5．为了得到函数y=sin（2x﹣A．向右平移C．向左平移
个单位长度 个单位长度
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ） B．向左平移D．向右平移
个单位长度 个单位长度
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣∴为了得到函数y=sin（2x﹣
）=sin[2（x﹣
）]，
个单位
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移
长度 故选A．
6．已知平面向量，满足||==2，（ +2）（﹣）=﹣6，则与的夹角为（ ） ?A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件进行向量数量积的运算即可得出
，从而可求出
便可得出向量【解答】解：
的值，进而
的夹角．
；
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∴==﹣6； ∴∵∴
=
； ； ．
故选：C．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1对，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0
B．0或
C．0或
D．
或
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得函数的图象，属性结合可得当直线为图中的m，或n是满足题意，求出其对应的a值即可．
【解答】解：由对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）可知，函数的周期为T=2，
结合函数为偶函数，且当0≤x≤1对，f（x）=x2可作出函数y=f（x）和直线y=x+a的图象，
当直线为图中的直线m，n时，满足题意，易知当直线为m时，过原点，a=0， 当直线为n时，直线与曲线相切，联立
，消y可得x2﹣x﹣a=0，
由△=1+4a=0可得a=故选C
，故a的值为0，或，
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8．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足
则（ ）
A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】设|
|=4，则|
，且对于边AB上任一点P，恒有
D．AC=BC
|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设
HP0=a，则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC． 【解答】解：设|
|=4，则|
|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，
=||?||=||2﹣（a+1）||，
?=﹣a， 于是
?
≥
?
恒成立，
整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，
只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，
因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形， 所以AC=BC． 故选：D．
二、填空题
9．已知两点A（1，1），B（﹣1，2），若
=
，则C点坐标是
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算即可得出． 【解答】解：∵ =
， ∴
=
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．
==
．
．
故答案为：
10．在等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则此数列的前13项之和等于 26 ． 【考点】数列的函数特性．
【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．
【解答】解：等差数列{an}中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24， ∴6a4+6a10=24， ∴2a7=4，即a7=2． 则此数列的前13项之和S13=故答案为：26．
=13a7=26．
11．设函数，则实数a的取值范围是 ﹣3＜a
＜1 ．
【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的单调性与特殊点．
【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1． 当a＜0时，
＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，
故答案为：﹣3＜a＜1．
12．若正数a，b满足a+b=10，则+的最大值为 ． 【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】对无理数可以先求平方，再利用均值定理求出最值，最后得出原表达式的最大值． 【解答】解：正数a，b满足a+b=10， 令y=+， 则y2=a+2+b+3+2， ∵a+b=10， ∴15=a+2+b+3≥2（当a+2=b+3时等号成立）， ∴y2≤30， ∴+的最大值为． 故答案为：．
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13．在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），函数y=ex的图象与y轴的交点为B，P为函数y=ex图象上的任意一点，则的最小值 1 ． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得向量的坐标，进而可得
=﹣x0+
，构造函数g（x）=﹣x+ex，
通过求导数可得其极值，进而可得函数的最小值，进而可得答案． 【解答】解：由题意可知A（1，0），B（0，1）， 故=（0，1）﹣（1，0）=（﹣1，1）， 设P（x0，故
），所以
，
=（x0，
），
=﹣x0+
构造函数g（x）=﹣x+ex，则g′（x）=﹣1+ex， 令其等于0可得x=0，且当x＜0时，g′（x）＜0， 当x＞0时，g′（x）＞0，
故函数g（x）在x=0处取到极小值， 故gmin（x）=g（0）=1， 故的最小值为：1 故答案为：1
14．已知点A（
，
），B（
，1），C（
，0），若这三个点都在函数f（x）=sinω
x的图象上，则正数ω的 所有取值的集合为 {ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或
12k+4，k∈N}∪{2，4}． ．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的值，从而得出结论．
【解答】解：若三个点都在函数f（x）=sinωx的图象上， 则有sin（ω?
）=
，sin（ω?
）=1，sinω?
=0，
则，
即，
求得正数ω的 所有取值的集合为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．
故答案为：{ω|ω=8k+2，k∈N}∩{ω|ω=12k+2，或12k+4，k∈N}∪{2，4}．
第9页（共16页）
三、解答题.
15．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；
（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d=
=
=3．
∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）． ∴数列{an}的通项公式为：an=3n；
设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得： q3=
=
=8，解得q=2．
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1． 从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1； （2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．
数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为
=2n﹣1．
∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．
16．已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣．
（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点，求正数m的最小值． 【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法． 【分析】（1）根据二倍角及辅助角公式求得f（x）的解析式，利用周期公式即可求得f（x）的最小正周期； （2）令2kπ+间；
（3）根据正弦函数图象，f（x）=0，sin（2x+为f（x）的第10个零点，求得m的最小值．
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≤2x+≤2kπ+，函数f（x）单调递减，解得f（x）的单调递减区
）=0，解得2x+=kπ，（k∈Z），当k=10，
【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+cos2x﹣． =sin2x+cos2x+﹣， =
sin（2x+
） =
=π，
最小正周期T=
f（x）的最小正周期π； （2）令2kπ+解得：kπ+
≤2x+≤x≤kπ+
≤2kπ+
，（k∈Z），
，（k∈Z），
，kπ+
]（k∈Z）；
∴函数的单调递减区间为：[kπ+
（3）函数f（x）在区间[0，m]上恰好有10个零点， 由正弦函数周期性，可知：f（x）=0， sin（2x+解得：2x+∴x=
﹣）=0，
=kπ，（k∈Z）， ，
， ．
∴当k=10，x=正数m的最小值
17．如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为（2）若∠AOC=x（0＜x＜y的最大值．
，求cos∠BOC的值；
），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出
【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．
第11页（共16页）
【分析】（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值． 【解答】解：（1）∵△ABO为正三角形， ∴∠BOA=60°， ∵点A的坐标为∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=
（2）由余弦定理可知AC=（
﹣），
=2sin，BD=
=2sin．
，
AB=OB=1，CD=2， ∴===∴当x=
，0＜x＜
时，ymax=5．
18．已知函数f（x）=（x2+ax+a）e﹣x，其中a∈R． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在m，n∈（2，3），且m≠n，使得f（m）=f（n），求实数a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）结合（1）得到f（x）在（0，2﹣a）递增，在（2﹣a，+∞）递减，满足条件，从而得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+ax+a）e﹣x， ∴f′（x）=﹣
，
①a﹣2＞0即a＞2时，2﹣a＜0，
第12页（共16页）
令f′（x）＞0，解得：2﹣a＜x＜0， 令f′（x）＜0，x＞0或x＜2﹣a，
∴f（x）在（﹣∞，2﹣a）递减，在（2﹣a，0）递增，在（0，+∞）递减； ②a﹣2=0即a=2时，f′（x）=﹣
＜0，f（x）在R递减；
③a﹣2＜0即a＜2时，2﹣a＞0， 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2﹣a， 令f′（x）＜0，x＞2﹣a或x＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，2﹣a，）递增，在（2﹣a，+∞）递减； （2）由（1）得：2＜2﹣a＜3，解得：﹣1＜a＜0．
19．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R．
（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立； （2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （3）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）求出f（x）的表达式，令g（x）=ln（x+1）﹣x，根据函数的单调性求出g（x）＜g（0）=0，从而证出结论；
（2）求出f（x）的导数，令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极值的个数；
（3）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出满足题意的a的范围即可． 【解答】解：（1）a=0时，f（x）=ln（x+1），定义域是（﹣1，+∞）， 令g（x）=ln（x+1）﹣x，g′（x）=
﹣1=﹣
＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减， ∴g（x）＜g（0）=0，
故f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立； （2）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）． f′（x）=
，
令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．
（i）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（ii）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）． ①当0＜a≤时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
②当a＞时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2． ∵x1+x2=﹣，
第13页（共16页）
∴x1＜﹣，x2＞﹣．
由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜﹣，
∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 因此函数f（x）有两个极值点．
（iii）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．
∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点； 当0≤a≤时，函数f（x）无极值点； 当a＞时，函数f（x）有两个极值点． （3）由（2）可知：
①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
②当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． ③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0， ∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减． 又f（0）=0，
∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
④当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x， 可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x， 当x＞1﹣时，
ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a的取值范围为[0，1]．
20．设集合S={x|x=，k∈N*}．
（1）请写出S的一个4元素，使得子集中的4个元素恰好构成等差数列；
＞0．
第14页（共16页）
（2）若无穷递减等比数列{an}中的每一项都在S中，且公比为q，求证：q∈（0，）； （3）设正整数n＞1，若S的n元子集A满足：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥
，
求证：n≤15．
【考点】数列的应用． 【分析】（1）由题设，一个4元素恰好构成等差数列；4个元素通分后具有分母相同，分子成等差关系的特点．
（2）由题设，公比为q，q是有理数，设
，（a，b互质），构造无穷递减等比数列证明．
，满足条件有7个
（3）在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥
数．在（，1）∪S中，最多有1，，，…，满足条件有8个数，即可得到答案． 【解答】解：（1）S的一个4元素恰好构成等差数列，S={（2）由题意，数列{an}是无穷递减等比数列，q是有理数，设∴∴
为S中的数（k∈N*），则b必为1； ，（a∈N+），
}
，（a，b互质），
∴q∈（0，]；
（3）证明：在（0，）∪S中，对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥
，
∴在（0，）∪S中的元素个数不超过．最多有7个数．
在（，1）∪S中，满足条件有1，，，…，最多8个数， ∴7+8≤15，即n≤15．得证．
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2016年10月3日
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