专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算
一、选择题
1．(2017黔东南中考)如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( C )
A．120° B．90° C．100° D．30°
2．(2017庆阳中考) 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( D )
A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0
3．(2017怀化中考)如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( A )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
4．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是( C )
A．4和7 B．5和7 C．5和8 D．4和17
5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( C )
A．AB∥CD，AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AD＝BC，∠A＝∠C D．AB∥CD，∠B＝∠D
6．(2017黔东南中考)如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为( A )
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
(第6题图)
(第7题图)
7．(2017考试说明)如图，三角形被遮住的两个角不可能是( D )
A．一个锐角，一个钝角 B．两个锐角
C．一个锐角，一个直角
D．两个钝角
8．(2017考试说明)下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．以下结论正确的是( C )
A．只有命题①正确 B．只有命题②正确 C．命题①②都正确 D．命题①②都不正确
9．(2017呼和浩特中考)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝5，∠EAF＝135°，则下列结论正确的是( C )
A．DE＝1 B．tan∠AFO＝ C．AF＝
10 2
94
13
D．四边形AFCE的面积为
10．(2017贵港中考)如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；1222
③△OMN≌△OAD；④AN＋CM＝MN；⑤若AB＝2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是( D )
2
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．(2017怀化中考)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：__AB＝DE(答案不唯一)__，使得△ABC≌△DEC.
,(第11题图)) ,(第12题图))
12．(2017怀化中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5
cm，则AD的长为__10__cm.
13．(2017丽水中考)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是__100°__．
14．(2017通辽中考)在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝__8或3__．
15．(2017哈尔滨中考)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC
上，若OE＝3，则CE的长为__43或23__. 16．(2017安顺中考)如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为__6__．
(第16题图)
(第17题图)
17．(2017考试说明)如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形(即顶点均在格点上的三角形)，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长__2，4，7，13__．
18．(2017考试说明)如图，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC与△A′B′C′，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A′B′C′的斜边A′B′上，当∠A＝30°，AC＝10时，则此时两直角顶点C，C′间的距离是__5__．
(第18题图)
(第19题图)
19．(2017沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形310GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是____．
5
20．(2017绍兴中考)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4__600__m.
三、解答题
21．(2017南充中考)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.
证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠DEB＝∠AFC＝90°. ∵AE＝BF，∴AF＝BE. 在△DEB和△CFA中．
∵DE＝CF，∠DEB＝∠AFC，AF＝BE， ∴△DEB≌△CFA， ∴∠A＝∠B，∴AC∥DB.
22．(2017广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°. ∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°. ∵∠ABF＋∠CBG＝90°. ∴∠BCE＝∠ABF. 在△BCE和△ABF中，
∵∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A， ∴△BCE≌△ABF(ASA)， ∴BE＝AF.
23．(2017衢州中考)问题背景
如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比研究
如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明； (2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；
(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．
解： (1)△ABD≌△BCE≌△CAF； 选证△ABD≌△BCE，理由如下： ∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，
∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD和△BCE中， ∠1＝∠2，??
?AB＝BC，
??∠ABD＝∠BCE，∴△ABD≌△BCE(ASA)；
(2)△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF是正三角形； (3)作AG⊥BD于G，如图所示．
∵△DEF是正三角形， ∴∠ADG＝60°，
13在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，
221?2?3?2?在Rt△ABG中，c＝?a＋b?＋?b?， ?2??2?
2
∴c＝a＋ab＋b.
24．(2017绍兴中考)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°. ①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长． ②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
222
解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形， ∴BD＝AC＝1＋1＝2； ②如答图①，连接AC，BD. ∵AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD； (2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，
∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如答图②， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴AE＝AB＝5；
②当BF＝AB时，如答图③， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴BF＝AB＝5.
∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，
∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5， ∴AE＝9－2.5＝6.5.
综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.
2
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解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形， ∴BD＝AC＝1＋1＝2； ②如答图①，连接AC，BD. ∵AB＝BC，AC⊥BD， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD； (2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，
∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件． 若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如答图②， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴AE＝AB＝5；
②当BF＝AB时，如答图③， 此时四边形ABFE是等腰直角四边形， ∴BF＝AB＝5.
∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，
∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5， ∴AE＝9－2.5＝6.5.
综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.
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