三角形的边角关系
练习题
回顾：
1、三角形的概念
定义：由_______直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三角形的分类 按角分：
?锐角三角形?三角形?直角三角形
?钝角三角形?按边分：
?不等边三角形?三角形??底边和腰不相等的等腰三角形
?等腰三角形?等边三角形??3、三角形的重要线段
在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。 说明：（1）三角形的三条中线的交点在三角形的____部。 （2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部。
（3）_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点；_____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。 4、三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和____第三边； 推论：三角形任意两边的差____第三边；
说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。 5、三角形各角的关系
定理：三角形的内角和是______度；
推论：（1）当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°； （2）三角形的任意一个外角______和它不相邻的两个内角的和。 （3）三角形的任意一个外角______任意一个和它不相邻的内角。
说明：任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。
三角形的计数
例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有（ ） A、4个 B、6个 C、8个 D、10个
解析：
连接AB、AD、BE、DE。
课件出示答案： C。
小结：分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法。
举一反三：
1、已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直线EF与△ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（ ） A、150° B、180° C、135° D、不能确定
解析：
因为∠A=30°，所以∠NMA+∠MNA=180°-30°=150°， 所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA=150°.故选A.
三角形的三边关系
例2 边长为整数，周长为20的等腰三角形的个数是 。 解析：
根据三角形的周长及三角形的三边关系建立不等式和方程，求出其中一边长的范围，再求其正整数解.
答案：
解：设三角形三边分别为a、b、c且a?b?c，a+b+c=20，则a?7，又由b+c>a，得a<10，因此7?a?9，可求出（a，b，c）为（9，9，2），（9，8，3），（9，7，4），（9，6，5），（8，8，4），（8，7，5），（8，6，6），（7，7，6），其中等腰三角形有（9，9，2），（8，8，4），（8，6，6），（7，7，6），所以填4. 小结：
利用已知的等量关系及三角形的三边关系，建立不等式与方程，进而组成不等式与方程的混合组，求其正整数解.
举一反三：
2、现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
三角形的内角和定理
例3 已知三角形三个内角的度数之比是x：y：z，且x+ y 设三角形三个内角为x,y,z.根据三角形内角和定理，得x+y+z=180°，结合x+y＜z，利用不等式的性质进行判断. 答案： 解：三角形的内角和为180°，设三角形三个内角为x，y，z，则x+y+z=180°，又x+y 利用三角形内角和为180°建立等量关系是常用的解题方法。 例4 如图（1），有一个五角星形ABCDE图案，（1）你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？ （2）当A点向下移动到BE上[如图（2）]，上述结论是否仍然成立？（3）当A点移到BE的另一侧[如图（3）]，上述结论是否仍然成立？请说明理由。 解析： （1）连接CD，设BD与EC相交于F，分别在△ACD及△BEF、△CDF中运用三角形内角和定理. 课件出示答案： （1）解：设BD与CE相交于F点 在△BEF中， ∠B+∠E+∠1=180° 又∠A+∠C=∠2 有∠1=∠2+∠D=∠A+∠C+∠D 所以 ∠A+∠B+∠C+∠D +∠E=180° 解法二： 解：（1）以题图（1）为例，说明如下： 如图，连接CD，设BD与EC相交于F，在△BEF中， ∠B+∠E+∠3=180° 在△CDF中，∠1+∠2+∠4=180°， 所以∠B+∠E+∠3=∠1+∠2+∠4 所以∠B+∠E=∠1+∠2 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADF=180°， 即∠A+∠ACF+∠1+∠ADF+∠2=180°， 所以∠A+∠ACF+∠ADF+∠B+∠E=180° 下一步（2）（3）： 根据（1）的解答方法独立完成（2）和（3）的探索。 小结： 在解决新问题时，往往将其转化为比较熟悉的问题，再加以解决.（2）本例中出现的“对顶三角形”（如图），有如下结论：∠1+∠2＝∠3+∠4. 举一反三 4 如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（ ） A、61° B、60° C、37° D、39° 解析：连接AD并延长，可证明∠BDC=∠A+∠B+∠C,所以∠A=98°-38°-23°=98°-61°=37°.故选C. 三角形的外角和 例5 如图3-7，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为∠?，∠?，∠?，若∠?：∠?：∠?=3：4：5，则∠A：∠B：∠C =（ ） A、3：2：1 B、1：2：3 C、3：4：5 D、5：4：3 解析： 设∠α=3x,∠β=4x,∠γ=5x,根据三角形的外角和等于360°列方程，再求∠A、∠B、∠C. 答案： 解：设∠?=3x，∠?=4x，∠?=5x，则 3x+4x+5x=360° 解得 x=30° 即：∠?=90°，∠?=120°，∠?=150°， 所以∠A=180°-∠?=180°-90°=90°， ∠B=180°-∠?=180°-120°=60°， ∠C=180°-∠?=180°-150°=30° 所以∠A：∠B：∠C=90°：60°：30°=3：2：1 小结： （1）三角形的外角和等于360°； （2）方程思想是解决几何计算的常用方法. 举一反三： 5、将一副直角三角板如图3-11放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ） 学生分小组来解决这道题目，老师给予适当的指导，最后来讲解一下。 课件出示解析： ∠1＝45°+30°＝75°. 举一反三： 6、如图3-12所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。 解析： 设BE、CF、AD相互交于G、H、K. 因为在△AFK中，∠A+∠F+∠4=180°, 在△BCG中，∠B+∠C+∠5=180°, 在△EDH中，∠D+∠E+∠6=180°, 所以∠A+∠F+∠4+∠B+∠C+∠5+∠D+∠E+∠6=180°×3＝540°. 又因为∠1+∠3+∠2＝180°，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6， 所以∠A+∠F+∠B+∠C+∠D+∠E=360°. 三角形与平行线的综合运用 例6 如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四部分，规定：线上各点不属于任何部分。当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角。（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角。） （1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论加以证明。 解析： （1）延长BP交AC于点E，运用平行线的性质和三角形内角和定理及推论； 答案: （1）解法一：如图（1），延长BP交直线AC于点E。 ∵ AC∥BD， ∴∠PEA=∠PBD ∵ ∠APB=∠PAE+∠PEA ∴ ∠APB=∠PAC+∠PBD 解法二：如图（2），过点P作FP∥AC， ∴ ∠PAC=∠APF， ∵ AC∥BD ，∴ FP∥BD ∴ ∠FPB=∠PBD ∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD （2） 不成立 （3） 运用平行线的性质或三角形内角和定理的推论解决. （a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB 如图（3），连接PA、PB，设PB交AC于M， ∵ AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD。 又∵ ∠PMC=∠PAM+∠APM， ∴ ∠PBD=∠PAC+∠APB （b）当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）。 证明：如图（4） ∵ 点P在射线BA上，∴∠APB=0° ∵ AC∥BD ，∴∠PBD=∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD。 （c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD。 证明： 如图（5），连接PA、PB，设PB交AC于F， ∵ AC∥BD ， ∴∠PFC=∠PBD， ∵ ∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴ ∠PAC=∠APB+∠PBD。 小结： 解此类探索性命题的关键是由图形提供的信息，探索、猜想、归纳出点在不同位置上有关角之间的变化规律.