1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线y?x?sin2x在点?????,1??处的切线方程是__ _ . 2??2(2) 幂级数
?n?0?xn的收敛域是__ _ . n?1(3) 齐次线性方程组
??x1?x2?x3?0,??x1??x2?x3?0, 只有零解,则?应满足的条件是__ _ . ?x?x?x?023?1(4) 设随机变量X的分布函数为
??0,??F?x???Asinx,??1,??x?0,0?x?x?????, 则A=__________,P?X??? .
6?2??2,(5) 设随机变量X的数学期望E(X)??,方差D(X)??2,则由切比雪夫(Chebyshev)
不等式,有P{X???3?}?__ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设f?x??2x?3x?2,则当x?0时 ( )
(A) f?x?与x是等价无穷小量 (B) f?x?与x是同阶但非等价无穷小量
(C) f?x?是比x较高阶的无穷小量 (D) f?x?是比x较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是
( )
(A) ?f??x?dx?f?x? (B) ?df?x??f?x?
(C)
df?x?dx?f?x? (D) d?f?x?dx?f?x? ?dx(3) 设A为n阶方阵且A?0,则 ( )
(A) A中必有两行(列)的元素对应成比例
(B) A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A中至少有一行(列)的元素全为0
(4) 设A和B均为n?n矩阵,则必有
( )
(A) A?B?A?B (B)AB?BA
(C) AB?BA (D) ?A?B??A?1?B?1 (5) 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为 ( )
(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题(本题满分15分,每小题5分)
?111??(1) 求极限lim?sin?cos?.
x??xx??x?2z(2) 已知z?f(u,v),u?x?y,v?xy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续.求.
?x?y(3) 求微分方程y???5y??6y?2e?x的通解.
四、(本题满分9分)
设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
P?P(x)?10e,
?x2且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格.
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)
(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)
五、(本题满分9分)
已知函数
0?x?1,?x, f(x)???2?x,1?x?2.试计算下列各题： (1) S0?(3) Sn?
六、(本题满分6分)
假设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f?(x)?0,记
?20f(x)e?xdx;(4分) (2) S1??f(x?2)e?xdx;(2分)
24?2n?22nf(x?2n)edx(n?2,3,?);(1分) (4) S??Sn.(2分)
?xn?0?F(x)?证明在(a,b)内,F?(x)?0.
七、(本题满分5分)
x1f(t)dt, ?ax?a?010??1?1???已知X?AX?B,其中A???111?,B??20?,求矩阵X.
??????10?1???5?3??
八、(本题满分6分)
设?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t).
(1) 问当t为何值时,向量组?1,?2,?3线性无关?(3分) (2) 问当t为何值时,向量组?1,?2,?3线性相关?(1分)
(3) 当向量组?1,?2,?3线性相关时,将?3表示为?1和?2的线性组合.(2分)
九、(本题满分5分)
??122???设A?2?1?2. ????2?2?1??(1)试求矩阵A的特征值；(2分)
(2)利用(1)小题的结果,求矩阵E?A?1的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3分)
十 、(本题满分7分)
已知随机变量X和Y的联合密度为
?e?(x?y), 0?x???,0?y???, f(x,y)??0,其它.?试求：(1) P{X?Y}；(5分) (2) E(XY).(2分)
十一、(本题满分8分)
设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n?3n?n?n)?_________.
n??(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)?0,f?(0)?b,若函数
?f(x)?asinx,x?0,? F(x)??x?A,x?0?在x?0处连续,则常数A=___________.
(3) 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.
?x1?x2??a1,
?x?x?a,?232
(4) 若线性方程组?有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.
x?x??a,3?34??x4?x1?a4
(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为
命中率为________.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是
( )
(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1?x)?af(x),且有f?(0)?b,其中a,b为非零
常
数,则
80,则该射手的81(
)