2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题10-圆锥曲线

2018-11-11 21:36

直线l的方程为y??3115x?4. 1156. (2011年高考江西卷理科20)（本小题满分13分）

x2y2M，N分别是双曲线E的左、P(x0,y0)(x0??a)是双曲线E：2?2?1(a?0,b?0)上一点，

ab右顶点，直线PM，PN的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲

1． 5????????????线上一点，满足OC??OA?OB，求?的值．

所以(?x1?x2)2?5(?y1?y2)2?a2,又A、B两点在双曲线上，所以?2(x12?5y12)?(x22?5y22)?2?x1x2?10?y1y2?a2，

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3的离心率为，x轴被曲线

2C2:y?x2?b截得的线段长等于C1的长半轴长.

???求C1，C2的方程；

????设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. (ⅰ)证明： MD?ME;

S117?？请说明(ⅱ)记?MAB,?MDE的面积分别为S1,S2，问：是否存在直线l，使得

S232理由.

解：

???由题意知e?c3?，从而a?2b，又2b?a，解得a?2,b?1，故C1，C2的a2x2?y2?1，y?x2?1 方程分别为4????（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y?kx

?y?kx2由?得x?kx?1?0 2?y?x?1设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则x1,x2是上述方程的两个

实根，于是

x1?x2?k,x1,x2??1

又点M?0,?1?，所以

kMA?kMBy1?1y2?1?kx1?1??kx2?1?k2x1x2?k?x1?x2??1????

x1x2x1x2x1x2?k2?k2?1??1

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故MA?MB即MD?ME

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故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y?33x和y??x 22评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.

228. (2011年高考广东卷理科19)设圆C与两圆（x+5）?y2?4,（x?5）?y2?4中的一个

内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程. （2）已知点M(点P的坐标.

【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为(x,y)，由题设条件知

3545且P为L上动点，求MP?FP的最大值及此时，)，（F5，0），55|(x?5)2?y2?(x?5)2?y2|?4,

x2?y2?1. 化简得L的方程为4

（2）解：过M，F的直线l方程为y??2(x?5)，将其代入L的方程得

15x2?325x?84?0.

解得x1?

65145652514525,x2?,故l与L交点为T1(,?),T2(,). 515551515因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故|MT1|?|FT1|?|MF|?2,

|MT2|?|FT2|?|MF|?2.，若P不在直线MF上，在?MFP中有 |MP|?|FP|?|MF|?2.来源:Z|xx|k.Com]

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故|MP|?|FP|只在T1点取得最大值2。

9. (2011年高考湖北卷理科20)（本小题满分13分）

平面内与两定点A1(?a,0),A2(a,0)(a?0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；

(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的m?(?1,0)?(0,??)，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S?ma2，若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由.

x2y2?1，C是焦点在x轴上的椭圆；当当?1?m?0时，曲线C的方程为2?2a?max2y2m?0时，曲线C的方程为2??1，C是焦点在x轴上的双曲线.

ama2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当m??1时，C1的方程为x?y?a；

当m?(?1,0)?(0,??)时，

C2的两个焦点分别为F1(?a1?m,0)，F2(a1?m,0).

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2011年高考试题

圆锥曲线

一、选择题:

x2y21. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆

abC:x2?y2?6x?5?0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 (B) ??1 (C) ??1 (D) ??1 (A)

544536633. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）2 （B）3 （C）2 （D）3 答案：B

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b2又e?1?2?3，故选B.

a点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出

b2离心率的关键2的值，从而的离心率。

ax2y2y22?14.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆C1:2?2?1(a＞b＞0)与双曲线C2:x?ab4有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则

2（A）a?131222 （B）a?13 （C）b? （D）b?2 22【答案】 C

【解析】由C1恰好将线段AB三等分得

x1??xA?3x，由xA3?y?2x55?x?a, ?x?a?2A215x?y5?5a2252)(a)255a25221515??1?a?11b又y?a?(,a)在椭圆上, ?22ab151515(?a2?b2?5,

?b2?1，故选C 2??5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线?x?y??的实轴长是

（A）2 (B)?? (C) 4 (D) 4? 【答案】A

【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.

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x2y2??1，则a2?4，a?2，2a?4.故选C. 【解析】?x?y??可变形为

48??x2y2?1?a?0?的渐近线方程为3x?2y?0，则6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线2?9aa的值为

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

8.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是

（A）y??8x （B）y?8x （C）y??4x （D）y?4x 【答案】B

2【解析】：设抛物线方程为y?ax，则准线方程为x??22222aa于是???2?a?8 449. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线y?x?ax?5(a≠0)上取横坐标为x1??4，

x2?2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆

5x2?5y2?36相切，则抛物线顶点的坐标为( )

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（A）(?2,?9) （B）(0,?5) （C）(2,?9) （D）(1,?6)

10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A，B两点．则cos?AFB= (A)

4334 (B) (C)? (D)?

5555【答案】D

?y2?4x【解析】：?y?4x得F(1,0)，准线方程为x??1，由?得A(1,?2),B(4,4)

y?2x?4?2则AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?35，由抛物线的定义得AF?2,BF?5

52?22?(35)24?? 故选D 由余弦定理得cos?AFB?2?5?5511．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P

满足PF1:F1F2:PF2=4:3:2，则曲线r的离心率等于

A．或1232231 B．或2 C．或2 D．或 23322【答案】A

二、填空题:

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x2y21.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C：2-2?1（a＞0，b＞0）上，C

ab的焦距为4，则它的离心率为_____________.

1x2y23. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆2?2?1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=12ab的切线，切点分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

x2y2??1 【答案】54【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即c?1,设点P（1，

11）,连结OP,则OP⊥AB,因为kOP?,所以kAB??2,又因为直线22AB过点(1,0),所以直线AB的方程为2x?y?2?0,因为点(0,b)在直线AB上,所以b?2,又因

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4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦

点F1,F2在 x轴上，离心率为么C的方程为。

2。过l的直线交于A,B两点，且?ABF2的周长为16，那2x2y2??1 答案:

168解析：由椭圆的的定义知，C??4a?16,?a?4，又因为离心率

c2?,?c?22，a2x2y2?1； ?b?a?c?8因此，所求椭圆方程为：?168222点评：本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握.

5.(2011年高考重庆卷理科15)设圆C位于抛物线y?2x与直线x?3所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为

解析：6?1。为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线x?3相切，

222设圆C的半径为r，则圆C的方程为?x?r?3??y?r，将其与y?2x联立得：

2249?6?r0令???并由r?0，得：r?6?1 x2?2?r?2?x?9?6r?0，??，?2?r?2????6. (2011年高考四川卷理科14)双曲线

2x2y2?=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 . 6436答案：16

解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得

2010?，解得d?16. d8x2y27. (2011年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A

927∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = . 【答案】6

【解析】：?F1(?6,0),F2(6,0)，由角平分线的性质得

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又AF1?AF2?2?3?6 ?AF2?6

8．(2011年高考北京卷理科14)曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距

离的积等于常数a2(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于

12a。 2其中，所有正确结论的序号是。【答案】②③

y2x2??1的一个焦点，9．(2011年高考上海卷理科3)设m为常数，若点F(0,5)是双曲线

m9则m? 。【答案】16 三、解答题:

1. (2011年高考山东卷理科22)（本小题满分14分）

x2y2??1交于P?x1,y1?、Q?x2,y2?两不同点，且△OPQ的面积已知动直线l与椭圆C: 32S?OPQ=6,其中O为坐标原点. 2（Ⅰ）证明x12?x22和y12?y22均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S?ODE?S?ODG?S?OEG?的形状；若不存在，请说明理由.

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（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m,

x2y2??1，得由题意知m?0，将其代入32(2?3k2)x2?6kmx?3(m2?2)?0，

其中??36km?12(2?3k)(m?2)?0, 即3k?2?m

222222 …………（*）

6km3(m2?2),x1x2?,又x1?x2??222?3k2?3k22来源学#科#网

263k2?2?m2所以|PQ|?1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?, 22?3k2因为点O到直线l的距离为d?|m|1?k,2

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6|m|3k2?2?m2 ?22?3k又S?OPQ?6, 2整理得3k2?2?2m2,且符合（*）式，

6km23(m2?2))?2??3, 此时x?x?(x1?x2)?2x1x2?(?2?3k22?3k2212222y12?y2?22222(3?x12)?(3?x2)?4?(x12?x2)?2. 333222综上所述，x1?x2?3;y12?y2?2,结论成立。

（II）解法一：

（1）当直线l的斜率存在时，

由（I）知|OM|?|x1|?6,|PQ|?2|y1|?2, 2因此|OM|?|PQ|?6?2?6. 2 （2）当直线l的斜率存在时，由（I）知

x1?x23k?, 22my1?y2x1?x23k2?3k2?2m2??k()?m???m??,222m2mmx1?x22y1?y229k216m2?2112|OM|?()?()????(3?), 2222224mm4m2m222(2m2?1)12224(3k?2?m)|PQ|?(1?k)??2(2?),(2?3k2)2m2m2所以|OM|?|PQ|?22111?(3?2)?2?(2?2) 2mm11)(2?)22mm 113?2?2?2mm)2?25.?(24?(3?所以|OM|?|PQ|?511，当且仅当3?2?2?2,即m??2时，等号成立. 2mmwww.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为. 解法二：

52由（I）得

2222u2?x12?3,u2?x2?3,x12?x2?3;v2?y12?2,v2?y2?2,y12?y2?2,322解得u2?x12?x2?;v2?y12?y2?1.25因此u,x1,x2只能从?中选取,v,y1,y2只能从?1中选取,2因此D，E，G只能在(?

6,?1)这四点中选取三个不同点， 2而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S?ODE?S?ODG?S?OEG?6矛盾， 2所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 2.(2011年高考辽宁卷理科20)（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为

MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

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（I）设e?1，求BC与AD的比值； 2（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由

ab21?e2??2?a. 解得t??22a?be1?e22?e?1. 因为|t|?a，又0?e?1，所以2?1，解得

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所以当0?e?22时，不存在直线l，使得BO//AN；当存在直线l使得BO//AN. ?e?1时，222.(2011年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）

uuuruur设???，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足BQ??QA，经过

?uuuruuurQ点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP,求点P的轨迹方程。

[来源:Z.xx.k.Com]

【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。

uuuruuur【解析】：由QM??MP知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y)，

Q(x,y?)，M(x,x?)，则x??y???(y?x?)，即

y??x???(y?x?)?(???)x???y ①

[来源:学|科|网]

uuuruur再设B(x?,y?),由BQ??QA，即(x?x?,y??y?)??(??x,??y?)，解得 ?x??(???)x?? ② ??y??(???)y???将①代入②式，消去y?得

?x??(???)x?? ③ ????y??(???)x??(???)y???又点B在抛物线y?x上，所以y??x?，再将③式代入得

?(???)?x???(???)y???[(???)x??]? ，即

(???)?x???(???)y???(???)?x????(???)x???，即

??(???)x??(???)y??(???)??，因为???，等式两边同时约去?(???)得

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?x?y????

这就是所求的点P的轨迹方程。

【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。

3. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。

4. (2011年高考天津卷理科18)（本小题满分13分）

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x2y2在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，F1,F2分别为椭圆2?2?1的

ab左右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

??????????（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM?BM??2，求

点M的轨迹方程．

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知a?2c,b?3c,可得椭圆方程为3x2?4y2?12c2.直线PF2方程为

222??3x?4y?12c2,消去y并整理,得5x?8cx?0,y?3(x?c),A,B两点的坐标满足方程组???y?3(x?c)解得

来源学科网ZXXK]

8c?x?2??8c8c335?x1?0?x1?0,x2?,得方程组的解?,?,不妨设A(,c),B(0,?3c),

555??y1??3c?y?33c1?5???????????8c33c),BM?(x,y?3c).由y?3(x?c)设点M的坐标为(x,y),则AM?(x?,y?55得

?????83???????????338y33????c?x?y,于是AM?(y?x,?x),BM?(x,3x),由AM?BM??2，即

3155558338y3318x2?152(y?x)x?(?x)?3x??2,化简得18x?163xy?15?0,将y?15555163x代入

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10x2?53?0,所以x?0, c?x?y,得c?16x3因此,点M的轨迹方程是18x2?163xy?15?0(x?0).

5.(2011年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线C1:x2?y，圆C2:x2?(y?4)2?1的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线c1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线c1上一点（异于原点），过点P作圆c2的两条切线，交抛物线c1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

【解析】（Ⅰ）由x?y得准线方程为y??线c1的准线的距离为4?(?)?2122，由x?(y?4)?1得M(0,4)，点M到抛物41417 4（Ⅱ）设点P(x0,x02) ，A(x1,x12)，B(x2,x22) 由题意得x0?0,x0??1,x1?x2设过点P的圆C2的切线方程为y?x0?k(x?x0)即y?kx?x0?kx0① 则22|kx0?4?x02|1?k2?1

即(x02?1)k2?2x0(4?x02)k?(x02?4)2?1?0设PA，PB的斜率为k1,k2（k1?k2）则

k1,k2是上述方

2x0(4?x02)(x02?4)2?12程的两个不相等的根，k1?k2?将代入①得 y?x,k?k?1222x0?1x0?1x2?kx?kx0?x02?0由于x0是方程的根故x1?k1?x0，x2?k2?x0所以kAB2x12?x2??x1?x2， x1?x22x0(4?x02)x02?4由MP?AB得 ?k1?k2?2x0??2x0，kMP?x02?1x0kAB?kMP232x0(4?x02)x02?423232Px?解得点的坐标为(?,) ?(?2x)?()??100555x02?1x0www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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对于给定的m?(?1,0)?(0,??)，C1上存在点N(x0,y0)(y0?0)使得

S?ma2的充要条件是

?x02?y02?a2,y0?0, ①??12??2a1?my0?ma ②?2

由①得0?y0?a，由②得y0?ma1?m，

当0?ma1?m?a，即

21?51?5时， ?m?0，或0?m?22存在点N，使S?ma：

当ma1?m?a，即?1?m?1?51?5，或m?时， 22不存大满足条件的点N. 当m???1?5??1?5?,0???0,?时， ??2??2???????????由NF1?(?a1?m?x0,?y0)，NF2?(a1?m?x0,?y0)， ?????????2222可得NF1?NF2?x0?(1?m)a?y0??ma

?????????令NF1?r1,NF2?r2，?F1NF2??,

?????????ma22则由NF， 1r2??1?NF2?rr12cos???ma，可得rcos?1ma2sin?1??ma2tan?，于是由S?ma2，从而S?r1r2sin???22cos?22m122可得?matan??ma，即tan???，

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当m??0,?1?5?2时，在C1上，存在点N，使得S?ma，且tanF?1NF2??2; ?2???1?5??1?5?当m???1,?????2,???时，在C1上，不存在满足条件的点N. 2????10.(2011年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）如图，设P是圆珠笔x2?y2?25上的动点，点D是P在x上的投影，M为PD上一点，且MD?轴

4PD 5（Ⅰ）当P的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为度。

【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为(x,y),P，P的坐标为(xp,yp),

4的直线被C所截线段的5长

?xp?x,52x2y2?2?1 由已知得?5?P在圆上，?x?(y)?25,即C的方程为?42516y?y,p??4（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

44 的直线方程为y?(x?3)，设直线与C的交点为 554x2(x?3)2?1， A(x,y),B(x2,y2)，将直线方程y?(x?3)代入C的方程，得?52525即x?3x?8?0。?x1?23?413?41,x2? 22?线段AB的长度为AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?4141?41? 25516)(x1?x2)2 25?注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。 11.(2011年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）

如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率e?（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。

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?????????????（Ⅱ）设动点P满足OP?OM?2ON,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率

之积为?1。问：是否存在两个定点F1、F2，使得PF1、F2的1?PF2为定值。若存在，求F2坐标；若不存在，说明理由。

a2a2解析：（Ⅰ）由e??,?22，解得a?2,c?2,b2?a2?c2?2，

c2cx2y2??1 故椭圆的标准方程为42????????????? （Ⅱ）设P?x,y?，M?x1,y1?,N?x2,y2?,则由OP?OM?2ON得

?x,y???x1,y1??2?x2,y2?，即x?x1?2x2,y?y1?2y2，

x2y2??1上，所以x12?2y12?4,x22?2y22?4 因为点M,N在椭圆42222222故x?2y?x1?4x2?4x1x2?2y1?4y2?4y1y2 2222 ?x1?2y1?4x2?2y2?4?x1x2?2y1y2?

???????? ?20?4?x1x2?2y1y2?，

设kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，

kOM?kON=2y1y21=-，因此x1x2?2y1y2=0， x1x222所以x?2y?20，所以P点是椭圆

x22?25??10??10,0

?y22?1上的点，设该椭圆的左右焦点为F1、F2，则由椭圆的

c?定义，PF1?PF2为定值，又因

?25???210?2?10，因此两焦点的坐标分别为

F1?10,0、F2???12．(2011年高考四川卷理科21) (本小题共l2分)

椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

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32时，求直线l的方程； 2???????? (II)当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值.

(I)当|CD | =

y2?x2?1，设l的方程为y?1?k(x?0),k为l的斜率. 解析：由已知可得椭圆方程为22k??y?kx?1x?x????2?122?k222?(2?k)x?2kx?1?0??则?y2?x?1??xx??1?2?122?k2?224?y?y?2?1?2?k2 ?2?2k?2?yy?12?2?k2?8k2?88k4?8k292(x1?x2)?(y1?y2)????k?2?k??2， 2222(2?k)(2?k)2?l的方程为y??2x?1.

y2?1在y轴正半轴上13.(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22????????????的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.

(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

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设A(x1,y1),B(x1,y1),则x1?22?8?4?4?(?1)

2?4?22?8?4?4?(?1)2?62?6，x2?， ?42?442?63?1， ?1?42y1??2??????????2?61?3????OA?OB?OP?0. y2??2??1?42?22y2212?xp??(x1?x2)??p2???(?)??1故点P在C上 2，xp?222?y??(y?y)??112?p（Ⅱ）法一：点P(?22,?1)，?P关于点O的对称点为Q，?Q(,1)， 2221KAQKAP3?12)?11?y1?1?y1y?12??????1，即?PAQ?90?，同理

12222?621x??x1??x1()?122242(KPBKBQ??1即?PBQ?90?，? ?PAQ??PBQ?180? A、P、B、Q四点在同一圆上.

法二：由已知有Q??2??则PQ的中垂线为：y??2x设A、B的中点为D?x3,y3? ,1?2?2???x1?x22x????324??y?y1?y2??2x1?1??2x1?1?13∴?222 ??????21??则AB的中垂线为：y?2x?1 D,∴??42?24???21?311''?,? 则PQ的中垂线与AB的中垂线的交点为O??∴|PO|?|QO|??888??'?2?1????|2??21?8??8?1|33 ?到直线AB的距离为O'??,?88???d????83www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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|AB|??x1?x2???y1?y2?222?3?x1?x2??232

?4x1x2?2?311?|AB|?2∴|AO'|?|BO'|??即|AO'|?|BO'|?|PO'|?|QO'| ??d?8?2?∴A、P、B、Q四点在同一圆上。

x2y2??114. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆42的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

P （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 【解析】（1）因为M(?2,0)、N(0,2),

M A N C B x y 所以MN的中点坐标为(-1,2),又因为直线PA平分线段MN， 2所以k的值为?2. 2?y?2x2424?(2)因为k=2,所以直线AP的方程为y?2x,由?x2y2得交点P(,)、A(?,?),

3333?1???42因为PC⊥x轴，所以C（

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15．(2011年高考北京卷理科19)（本小题共14分）

x2?y2?1.过点（m,0）作圆x2?y2?1的切线I交椭圆G于A，B两点. 已知椭圆G:4（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得a?2,b?1, 所以c?a2?b2?3.

所以椭圆G的焦点坐标为(?3,0),(3,0)

离心率为e?c3

?.a2（Ⅱ）由题意知，|m|?1.

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当m?1时，切线l的方程x?1，点A、B的坐标分别为(1,此时|AB|?33),(1,?), 223

当m=－1时，同理可得|AB|?当|m|?1时，设切线l的方程为y?k(x?m),

?y?k(x?m),?由?x2得(1?4k2)x2?8k2mx?4k2m2?4?0

2??y?1.?4设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则

4k2m2?4 x1?x2?,x1x2?221?4k1?4k又由l与圆x?y?1相切,得228k2m|km|k2?1?1,即m2k2?k2?1.

所以|AB|?2(x2?x1)2?(y2?y1)2

64k4m?4(4k2m2?4)?(1?k)[?] 222(1?4k)1?4k?43|m|.

2m?3由于当m??3时，|AB|?所以|AB|?3,

43|m|,m?(??,?1]?[1,??). 2m?3因为|AB|?43|m|?m2?3433|m|?|m|?2,

且当m??3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

16．(2011年高考福建卷理科17)（本小题满分13分）

已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

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（II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程

思想、数形结

合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）因为MP?l，所以

0?m?1??1， 2?0解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径

r?|MP|?(2?0)2?(0?2)2?22,

故所求圆的方程为(x?2)2?y2?8. （II）因为直线l的方程为y?x?m,

（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x?2)?y?r. 依题意，所求圆与直线l:x?y?m?0相切于点P（0，m），

2?2?4?m2?r2,?则?|2?0?m|

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解得???m?2,

??r?22.所以所求圆的方程为(x?2)2?y2?8. （II）同解法一。

解：⑴ 设Q(x,x?3)是线段l:x?y?3?0(3?x?5)上一点，则

59|PQ|?(x?1)2?(x?4)2?2(x?)2?(3?x?5)，当x?3时，

22d(P,l)?|PQ|min?5。

其面积为S?4??。

1,0)，??{(x,y)|x?0} ⑶ ① 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ② 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(???{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y2?4x,?2?y?0}?{(x,y)|x?y?1?0,x?1}

③ 选择A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。

??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?x,0?x?1}

?{(x,y)|x2?2y?1,1?x?2}?{(x,y)|4x?2y?3?0,x?2}

其面积为S?4??。

1,0)，??{(x,y)|x?0} ⑶ ① 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ② 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(???{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y2?4x,?2?y?0}?{(x,y)|x?y?1?0,x?1}

③ 选择A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。

??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?x,0?x?1}

?{(x,y)|x2?2y?1,1?x?2}?{(x,y)|4x?2y?3?0,x?2}

2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题10-圆锥曲线.doc 将本文的Word文档下载到电脑下载失败或者文档不完整，请联系客服人员解决！

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