北京工业大学08级第一学期期末考试
北京工业大学2008-2009学年第一学期 “高等数学(工)-1”课程期末试卷答案(A)
学号 姓名 成绩 本试卷共6页，16道题。 考试时间95分钟。 考试日期：2009年1月 6日 题 号 分 数 得 分 得分 一 25 评卷人 二 25 三 32 四 18 成绩 核分 复查 一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设f(x)是区间 ?a,b?上连续函数，则在开区间(a,b)内f(x)必有 【 B 】
（A）导函数 （B）原函数 （C）驻点 （D）极值
(2) 设f(x)在x0处可导，则limx?x0x0f(x)?xf(x0)?
x?x0【 C 】
（A）2f?(x0) （B）x0f?(x0) （C）x0f?(x0)?f(x0) （D）f?(x0)?x0f(x0)
(3）当【 D 】
（A）tanx?sinx （B）sinx2 （C）ln(1?x2) （D）1?1?2x2 (4) 下【 C 】
列
广
义
积
分
收
敛
者
是
x?0时，下列无穷小中与
x2等价的是
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??e????lnx11dx （B）?dx （C）?dx （D）2eexxlnxx(lnx)（A）????e1dx xlnxn??n(5) 设In??1xsindx，则limIn?
n??x【 B 】
（A）?? （B）? （C）?1 （D） 1
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在
得分 评卷人 题中的横线上。结果必须化简。
?x?c?(6) 已知lim???4，则常数C? x??x?c??(7) limx?0xln2 .
?1cosxe?tdt22x?12e.
2(42?1)5t(8)
?2?1xxd?x .
1?t22?x?2arctantdy?(9) ?，则2dx?y?1?ln(1?t)d2y?， 2dx1.
(10)设y?y(x)是由ey?xy?ex确定，则y?(0)?.
三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。解答应写出主要过程或演算步骤。 得分 评卷人 (11) 设f(x)?21?31x?sinx, x1）求f(x)的间断点并判断类型，
2）能否使f(x)在间断点处连续.
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解： 可能的间断点x?0. lim?f(x)?0?1?1，
x?0 lim?f(x)?2?1?1，
x?0
故x?0是函数的第一类可去间断点，
可补充定义令 f(0)?1使f(x)在可去间断点x?0点连续。
得分 评卷人 x2arctanxdx. (12) 求不定积分 ?21?xx2arctanx(x2?1?1)arctanxdx??dx 解： ?221?x1?x??arctanxdx??arctanxdarctanx
11?xarctanx?ln(1?x2)?(arctanx)2?C。
22
得分 评卷人 ?e2x?b(13) 设函数f(x)???sinaxx?0,x?0,
问：a,b为何值时，f(x）在x?0处可导并求f?(0）.
解： 因f(x)在x?0点处可导，故f(x)在x?0点处连续，所以f?(0)?f?(0)即有
1?b?0?b??1?f(0)?0，
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又f(x)在x?0点处可导，故f??(0)?f??(0)即：
f(x)?f(0)e2x?1f??(0)?lim?lim?2
x?0?x?0?x?0xf??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)sinax?0?lim?a 故有a?2， 所以 x?0?x?0x f?(0）=2。
得分 评卷人 (14) 直线x?0,x?2,y?0与抛物线y??x2?1围成的一平面图形D。
1）求平面图形D的面积；（要求画出平面图形D的草图） 2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
解： 注意D有一部分是在x轴的下方
（简答）
D??(?x?1)dx???(?x?1)dx?2，
0112
V???(?x?1)2dx?0246?。 15
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四．解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出完整过程或演算步骤。 得分 评卷人 求?f(x)dx．
01(15)设 函数f(x)?11?x2?1?x2?f(x)dx.
01解： 因定积分是常数，可设?f(x)dx?A，原等式两边取在[0,1]上的积分
01且注意到
?111?x120dx是广义积分 11?x2?10f(x)dx??0dx?A?1?x2dx
01?1??sin?|A ?limarcx0??04????A． 24??得等式： A??A
2412?2?解得A?， 即?f(x)dx?．
04??4??
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