（注：没学习四点同圆和切割线定理的可由△APE∽△ACF得比例式求解）
（2）如图，作△ABP外接圆满⊙O，在⊙O的优弧上取一点G，连接AG，BG，AO，BO，过点O作OH⊥AB于点H。
∵由（1）可知∠APB =120°，∴∠AGB =60°. ∴∠AOB =120°，∠AOH =60°.
AH33???23. sin?AOHsin60?32120???2343??. ∴APB?180343?. ∴点P经过的路径长为3∵AB=6，∴AH=3. ∴AO?
考点：1.动点问题；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5. 切割线定理；6. 锐角三角函数定义；7.特殊角的三角函数值；8.垂径定理；9.弧长的计算. 4．（2014·浙江金华，第24题12分）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点. （1）求该抛物线线的函数解析式.
（2）已知直线l的解析式为y?x?m，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.
②当m??3时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F. 是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y??x2?x?4；（2）①【解析】
试题分析：（1）由抛物线以直线x=1为对称轴，抛物线过点A，B，设顶点式，应用待定系数法求解.
（2）①设直线x=1与x轴交于点M，与直线y?x交于点N，过点H作HD⊥直线x=1于点D，根据已知求出PD，OM，DH的长，由S?OPH?S?OPD?S?DPH求解即可.
1215?112?；②存在，?0, 3?或?, ?或?3, 2?. 4?33?
∵MP=OC=4，OM=MN=1，∴PN=3，DH=∴S?OPH?S?OPD?S?DPH
3. 211315??3?1??3?? 2224
②存在.
当m??3时，直线l的解析式为y?x?3，
i）当点P在OC边上时，如图2，设点P的坐标为?0, p??0?p?4?，点F的坐标为?x, x?3?，过点F作FI⊥y轴于点I.则PE?PO?p, PI?IF，即p??x?3??x?x?p?3. 2
∴EF?OF?x??x?3?22p?3p2?9?p?3?， ?2x?6x?9?2??9???6?222??22PF?2x?2?p?3?2.
2?7?p??p?7?. PF?2?x?p??2??p??2?2?
iv）当点P在AO边上时，以P，E，F为顶点的三角形不存在.
?112?综上所述，以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为?0, 3?或?, ?或
?33??3, 2?.
考点：1.动点问题；2. 待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5. 等腰直角三角形的判定和性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形存在性问题；8.转换思想和分类思想的应用.
5. （2014·云南昆明，第23题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
动态问题
一、选择题
1. （ 2014?安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： ①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5， ∵∠APB+∠BAP=90°， ∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴
=
，
即=， ∴y=
，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选B．
点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
2. （ 2014?广西玉林市、防城港市，第12题3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A．B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象． 分析： 根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状． 解答： 解：①t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积， ∴y=×1×=， ， ②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为y=（2﹣x）×=x﹣x+， ③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0， 故选：B． 点评： 本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．
3．（2014年山东泰安，第14题3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
ABC．D
分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可． 解：当点Q在AC上时，∵∠A=30°，AP=x，∴PQ=xtan30°=∴y=×AP×PQ=×x×
=
x2；
当点Q在BC上时，如图所示：
∵AP=x，AB=16，∠A=30°，∴BP=16﹣x，∠B=60°， ∴PQ=BP?tan60°=∴
（16﹣x）． =
=
．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 故选：B．
点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
4.（2014?菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分
别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重w w w .x k 叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）b 1.c o m
A． B． C． D． 考点： 专题： 分析： 动点问题的函数图象． 数形结合． 分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方2+2， 得到y=﹣（x﹣2）然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答： 解：当0＜x≤1时，y=x2， 当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图， CD=x，则AD=2﹣x， ∵Rt△ABC中，AC=BC=2， ∴△ADM为等腰直角三角形， ∴DM=2﹣x， ∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2， ∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2， ∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2， ∴y=故选A． ，
二.填空题 三.解答题
1. （ 2014?广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由． 考点： 相似形综合题．
分析： （1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．
解答： （1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF． ∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C． ∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．
（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴
，即
，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10 ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示， 此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t． ∵PE∥AD，∴
，即
，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示， 此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t． ∵PF∥AD，∴
，即
，解得t=
；
③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD． ∵EM∥AD，∴
，即
，解得BM=t，
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=∵FN∥AD，∴
，即
，解得CN=t，
t．
2t）=
t2．
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣
2
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）+（10﹣t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2， 即：（10﹣t）2=（化简得：解得：t=∴t=
．
秒或t=
秒时，△PEF为直角三角形． t2）+（
t2﹣85t+100）
t2﹣35t=0， 或t=0（舍去）
综上所述，当t=
点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；
第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．
2.（2014?武汉2014?武汉，第24题10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
考点： 分析： 相似形综合题 （1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，时，==，当△BPQ∽△BCA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出=，代入计算即可； ，再把QC=4t，（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=PE=8﹣BM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 解答： 解：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵∴==，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm， ， ∴t=1； ②当△BPQ∽△BCA时， ∵∴==， ，
∴t=， 时，△BPQ与△ABC相似； ∴t=1或（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t， ∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°， ∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°， ∴△ACQ∽△CMP， ∴∴=， =， 解得：t=； （3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∵∠ACB=90°， ∴DF为梯形PECQ的中位线， ∴DF=，xk|b|1 ∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t， ∴DF==4， ∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，
∴RC=DF=4成立， ∴D在过R的中位线上， ∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 点评： 此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论． . 3．（2014·浙江金华，第23题10分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P. （1）若AE=CF.
①求证：AF=BE，并求∠APB的度数. ②若AE=2，试求AP?AF的值.
（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.
【答案】（1）①证明见解析，120°；②12；（2）【解析】
43?. 3
、B（4，0）两点，与y轴交于点C. y?ax2?bx?3(a?0)与x轴交于点A（?2，0）（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？ （3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ?5:2，求K点坐标. 考点： 二次函数综合题. 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2考查动点与二次函数最值问题：先写出S与t的函数关系式，再确定函数最值； （3）存在所求的K点，由（2）可求出?PBQ和?CBK的面积，再把?CBK分成两个三角形进行面积运算. 解答： 解： （1）将A（?2，0）、B（4，0）两点坐标分别代入C A O Q P B x y y?ax2?bx?3(a?0)， 3?a???4a?2b?3?08 即?，解得：?3?16a?4b?3?0?b??4?
33?抛物线的解析式为：y?x2?x?3 84（2）设运动时间为t秒，由题意可知： 0?t?2 过点Q作QD?AB，垂直为D， 易证?OCB∽?DQB， ?OCBC ?DQBQ?OC=3，OB=4，BC=5，AP?3t,PB?6?3t，BQ?t 335? ?DQ?t 5DQt??S?PBQ?11399PB?DQ?(6?3t)?t??t2?t 2251059592?(?10)?对称轴t???1 ?当运动1秒时，△PBQ面积最大，S?PBQ??最大为999??，105109， 10（3）如图，设33K(m,m2?m?3) 84连接CK、BK，作KL//y轴交BC与L， 由（2）知：S?PBQ?9， 109 4?S?CBK:SPBQ?5:2 ?S?CBK?设直线BC的解析式为y?kx?n ?B(4,0),C(0,?3)
3??4k?n?0?k?，解得：???4 n??3???n??33?直线BC的解析式为y?x?3 43?L(m,m?3) 433KL?m?m2 28?S?CBK?S?KLC?S?KLB 133133?(m?m2)?m??(m?m2)?(4?m) 2282281332 ??4?(m?m) 2283329即：2(m?m)? 284 ? ?解得：m?1或m?3 ?K坐标为(1,?2715)或(3,?) 88点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、一元二次方程、相似三角形性质、动点问题等重要知识点． 6. （2014?益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x． （1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
（第1题图）
考点：相 似形综合题． 分析：（ 1）过点C作CE⊥AB于E，根据CE=BC?sin∠B求出CE，再根据AD=CE即可求出AD；
（2）若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．分两种情况讨论：①当∠PCB=90°时，求出AP，再根据在Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，从而得到△ADP∽△CPB，②当∠CPB=90°时，求出AP=3，根据≠且≠，得出△PCB与△ADP不相似． （3）先求出S1=x?，再分两种情况讨论：①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM，在Rt△GBH中求出BG、BN、GN，在Rt△GMN中，求出MN=（x﹣1），在Rt△BMN中，求出BM2=x2﹣S2=x（x2﹣值． 解答：解 ：（1）过点C作CE⊥AB于E， x+x+，最后根据S1=x?BM2代入计算即可．②当0＜x≤2时，x（x﹣）2+x即可得出S的最小），最后根据S=S1+S2= 在Rt△BCE中， ∵∠B=60°，BC=4， ∴CE=BC?sin∠B=4×∴AD=CE=2． =2， （2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似， 则△PCB必有一个角是直角． ①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8， ∴AP=AB﹣PB=2． 又由（1）知AD=2∴∠DPA=60°， ∴∠DPA=∠CPB， ∴△ADP∽△CPB， ∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．
，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，
②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4， ∴PB=2，PC=2∴AP=3． 则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似． ）2=x?， ， （3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=x?（①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G； 作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径． 在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°， ∴BG=4， ∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x， ∴GN=BG﹣BN=x﹣1． 在Rt△GMN中，∴MN=GN?tan∠MGN=在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣∴S1=x?BM2=x（x2﹣x+）． x+x+）也成立， ）=x． x（x﹣）2+x． （x﹣1）． x+， ②∵当0＜x≤2时，S2=x（x2﹣∴S=S1+S2=x?∴当x=+x（x2﹣时，S=S1+S2取得最小值点评：此 题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论．
7. （2014?扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（第6题图）
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，
，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段
AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；动点型；探究型． 分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形新_课的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP_标第长，从而求出AB长． _一_（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进网 而求出∠OAB的度数． （3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长． 解答： 解：（1）如图1， ①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°． ∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC． ∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴====． ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8． 设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中， ∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边AB的长为10． （2）如图1， ∵P是CD边的中点， ∴DP=DC． ∵DC=AB，AB=AP， ∴DP=AP． ∵∠D=90°， ∴sin∠DAP==． ∴∠DAP=30°． ∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°， ∴∠OAB=30°． ∴∠OAB的度数为30°．
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP． ∴∠APB=∠MQP． ∴MP=MQ． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴PE=EQ=PQ． ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF． 在△MFQ和△NFB中， ． ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF=BF． ∴QF=QB． ∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB． 由（1）中的结论可得： PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB=∴EF=PB=2=4． ． ． ∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2
点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键． 8.（2014?滨州，第25题12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q． （1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒． ①当t为何值时，DP⊥AC？
②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．
考点： 分析： 相似形综合题 （1）求证相似，证两对角相等即可，因为平行，易找，易证． （2）①当垂直时，易得三角形相似，故有相似边成比例，由题中已知矩形边长则AP长已知，故t易知． ②因为S△APQ+S△DCQ=y，故求S△APQ和S△DCQ是解决问题的关键，观察无固定组合规则图象，则考虑作高分别求取．考虑两高在同一直线上，且相加恰为10，故可由（1）相似结论得，高的比等于对应边长比，设其中一高为h，即可求得，则易表示y=时y最小，y=，注意要考虑t的取值．讨论何不是我们学过的函数类型，故无法用最值性质来讨论，回观察题目问法为“探究P点运动到第几秒到第几秒之间时”，＜1
＞并不是我们常规的在确定时间最小，＜2＞时间问的整数秒．故可考虑将所有可能的秒全部算出，再观察数据探究函数的变化找结论． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD， ∴△APQ∽△CDQ． （2）解：①当DP⊥AC时，∠QCD+∠QDC=90°， ∵∠ADQ+∠QCD=90°， ∴∠DCA=∠ADP， ∵∠ADC=∠DAP=90°， ∴△ADC∽△PAD， ∴∴=， ， 解得 PA=5， ∴t=5． ②设△ADP的边AP上的高h，则△QDC的边DC上的高为10﹣h． ∵△APQ∽△CDQ， ∴解得 h=∴10﹣h=∴S△APQ===， ， =，S△DCQ=+==（0≤t≤20）． ， ， ∴y=S△APQ+S△DCQ=探究： t=0，y=100； t=1，y≈95.48； t=2，y≈91.82； t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67； t=5，y=85； t=6，y≈83.85； t=7，y≈83.15； t=8，y≈82.86； t=9，y≈82.93； t=10，y≈83.33； t=11，y≈84.03； t=12，y=85； t=13，y≈86.21； t=14，y≈87.65； t=15，y≈89.29； t=16，y≈91.11； t=17，y≈93.11； t=18，y≈95.26； t=19，y≈97.56； t=20，y=100； 观察数据知： 当0≤t≤8时，y随t的增大而减小； 当9≤t≤20时，y随t的增大而增大； 故y在第8秒到第9秒之间取得最小值． 点评： 本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）②是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的．总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目．
t=4，y≈86.67； t=5，y=85； t=6，y≈83.85； t=7，y≈83.15； t=8，y≈82.86； t=9，y≈82.93； t=10，y≈83.33； t=11，y≈84.03； t=12，y=85； t=13，y≈86.21； t=14，y≈87.65； t=15，y≈89.29； t=16，y≈91.11； t=17，y≈93.11； t=18，y≈95.26； t=19，y≈97.56； t=20，y=100； 观察数据知： 当0≤t≤8时，y随t的增大而减小； 当9≤t≤20时，y随t的增大而增大； 故y在第8秒到第9秒之间取得最小值． 点评： 本题主要考查了三角形相似及相似图形性质等问题，（2）②是一道非常新颖的考点，它考察了考生对函数本身的理解，作为未知函数类型如何探索其变化趋势是非常需要学生能力的．总体来说，本题是一道非常好、非常新的题目．