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2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数 学（理工农医类）
本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位
置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=
A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2. 若非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充分条件
D. “x∈C”是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件
3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为 A.
32?8?82? B. C.82? D. 3331x24. 函数f(x)=1n(x?3x?2??x2?3x?4)的定义域为
A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B.(-4,0) ∪(0,1)
C. ［-4,0］∪（0，1）］ D. ［－4，0∪（0，1） 5.将函数y=3sin（x-θ）的图象F按向量（能取值是 A.
??，3）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可34551111? B. ?? C. ? D. ?
121212126.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若f(x)=?12x?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值范围是 2∞，-1）
A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-
(1?x)m?a?b,则a·b= 8.已知m∈N*,a,b∈R，若limx?0xA．-m B．m C．-1 D．1 9.过点A（11，2）作圆x?y?2x?4y?164?0的弦，A.16条 B.17条 C.32条 D.34
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向
22其中弦长为整数的共有 条
月球，在月球附近一点P
轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2＞a1c1;④
c3c2＜. c1a2其中正确式子的序号是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设z1=z1-z1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为 .
12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为 . 13.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .
14.已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则 Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·?·f(a10)]= . 15.观察下列等式：
?i?i?1nn121n?n,22121212i?n?n?n, ?326i?1111n3i?n2?n2?n2,?424i?114141314i?n?n?n?n, ?52330i?12an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21), 3??????????????
nn?ii?1k?ak?1nk?2?aknk?ak?1nk?1?ak?2nk?2?????a1n?a0,
11,ak?,ak?1? k?12可以推测，当x≥2（k∈N*）时，ak?1?ak-2= . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函数f(t)=1?t17?,g(x)?cosx?f(sinx)?sinx?f(cosx),x?(?,). 1?t12（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；
（Ⅱ）求函数g(x)的值域. 17.（本小题满分12分）
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
18.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥侧面A1ABB1.
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ,二面角A1-BC-A的小关系，并予以证明. 19.（本小题满分13分） 如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，一点，
∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，P.
大小为φ的大
P是半圆弧上且曲线C过点
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于．．．2．2，求直线l斜率的取值范围.
20.(本小题满分12分)
水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
1?2x?V（t）=?(?t?14t?40)e?50,0?t?10,
??4(t?10)(3t?41)?50,10?t?12.（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水
期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）. 21.(本小题满分14分)
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=
2an?n?4,bn?(?1)n(an?3n?21),其中λ为实数，n为正整数. 3（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有 a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
2018年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.
61k 13.? 14.-6 15. ，0 212三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）g(x)?cosx?1?sinx1?cosx ?sinx?1?sinx1?cosx(1?sinx)2(1?cosx)2 ?cosx??sinx?22cosxsinx1?sinx1?cosx?cosx??sinx?.
cosxsinx1?sinx1?cosx?17???g(x)?cosx??sinx? ?x???,,?cosx??cosx,sinx??sinx,??cosx?sinx?12?
?sinx?cosx?2 ＝2sin?x?
??????2. 4?（Ⅱ）由?＜x?17?5??5?，＜x??. 得12443?5?3???3?5???sint在?,?上为减函数，在?,?上为增函数，
?42??23?又sin5?5?3??5??17??＜sin,?sin?sin(x?)＜sin（当x???,）， ?342442??即?1?sin(x?)＜??42? ，??2?2?2sin(x?)?2＜?3，24故g(x)的值域为??2?2,?3.
??17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）?的分布列为：
? P 0 1 2 3 4 1131 201020511131?2??3??4??1.5. ∴E??0??1?2201020511131??(0?1.5)2??(1?1.5)2??(2?1.5)2??(3?1.5)2??(4?1.5)2??2.75.（Ⅱ）由D??a2D?，得
22010205a2×2.75＝11，即a??2.又E??aE??b,所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;
1 2
当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.
?a?2,?a??2,∴?或?即为所求.
b??2b?4??18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作 AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC?侧面AD⊥平面A1BC,又BC?平面A1BC， 所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC.
又AA1?AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知?ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，
A1ABB1=A1B,得
角和线面关系等有关知
?ABA1是二面角A1—BC—A的平面角，即?ACD??,?ABA1??,
ADAD,在Rt△ADB中，sin??, ACAB?由AB＜AC，得sin?＜sin?，又0＜?，?＜，所以?＜?，
2于是在Rt△ADC中，sin??解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标AA1=a,AC=b, AB=c,
则
B(0,0,0),
A(0,c,0),
BB1所在的直线分 系
，
设
C(b2?c2,0,0),A1(0,c,a),于是
????????22BC?(b?c,0,0),BA1?(0,c,a), ????????22AC?(b?c,?c,0),AA1?(0,0,a).
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
??????cy?az?0,?n?BA1?0,?由????得? ?22??b?cx?0,?n?BC?0,?????????可取n=(0,-a,c)，于是n?AC?ac＞0，AC与n的夹角?为锐角，则?与?互为余角.
????n?ACacsin??cos??, ?????22n?ACba?c????????BA?BAcacos??????1???,所以sin??, ??2222BA1?BAa?ca?c于是由c＜b，得acba?c22＜aa?c?222,
即sin?＜sin?,又0＜?，?＜,所以?＜?,
19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（3,1），依题意得
2222｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝(2?3)?1?（2?3）?1＝22＜｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2，2a＝22，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
x2y2??1. ∴曲线C的方程为22解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
x2y2设双曲线的方程为2?2?1(a＞0，b＞0）.
ab(3)212?2?1,则由 a2解得a2=b2=2, ba2?b2?4.
x2y2??1. ∴曲线C的方程为22
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴
1?k2?0,??(?4k)?4?6(1?k)?0,22?
k??1,?3?k?3.
∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=
22｜EF｜＝(x1?x2)?(y1?x2)?4k6,xx??,于是 121?k1?k2(1?k2)(x1?x2)2
2＝1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?22223?k21?k2.
而原点O到直线l的距离d＝
21?k2，
2112223?k22223?k?1?k??. ∴S△DEF=d?EF??22221?k21?k1?k若△OEF面积不小于22,即S△OEF?22，则有
223?k21?k2?22?k4?k2?2?0,解得?2?k?2. ③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-K2）x2-4kx-6=0.
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴ 1?k2?0,??(?4k)?4?6(1?k)?0.22?
k??1,?3?k?3.
∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜=(x1?x2)?4x1x2?2?1?k2?223?k21?k2. ③
当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝S?ODF?S?ODE?11OD?x1?x2?OD?x1?x2; 22当E、F在不同支上时（如图2所示）.
S?OEF?S?ODF?S△ODE=
综上得S△OEF＝
11OD?(x1?x2)?OD?x1?x2. 221OD?x1?x2,于是 2由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=
223?k21?k2.
若△OEF面积不小于22,即S?OEF?22,则有
223?k21?k2?22?k4?k2?0,解得?2?k?2. ④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）
解：（Ⅰ）①当0＜t?10时，V(t)=(-t+14t-40)e2
144?50?50,
化简得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t?10，故0＜t＜4.
②当10＜t?12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50, 化简得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜
41，又10＜t?12,故 10＜t?12. 3综合得0 故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 1231t由V′（t）=c(?t?t?4)??c4(t?2)(t?8), 424令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去). 当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表： t V′(t) (4,8) + 8 1t41 (8,10) - V(t) 由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推 0 极大值 理认证能力，（满分14分） （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即 2444(??3)2??(??4)??2?4??9??2?4??9?0,矛盾. 3999所以｛an｝不是等比数列. (Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1( = 2an-2n+14) 322(-1)n·（an-3n+21）=-bn 33又b1x-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴ ba?12??(n∈N+). bn32为公比的等比数列. 3故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－Sn=-(??18)· ?1－（－）?. 要使a 2n-1 ），于是可得 335??2n?3?32(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+) 53得a21?(?)n33??(??18)?5b21?(?)n3 ① 2令f(n)?1?(?)，则55;当n为正偶数时，?f(n)?1, 3955∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 39533于是，由①式得a<-(λ+18), 955当n为正奇数时，1 当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a