立体几何之点线面之间的位置关系（一）
1、公理
（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A、B∈a , A、B∈α，则
点P的公共直线 a
（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，
那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系： 3、异面直线所成角θ的范围是 直线与直线所成角θ的范围是
（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过
练习
A是平面BCD外的一点G,H分别是?ABC,?ACD的重心，1、如图，
AGH求证：GH//BD．
DB
NM C
2、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是
D1C1
A1 B1
立体几何之点线面之间的位置关系（二）
DABC1、 直线与平面的位置关系： 2、 直线和平面平行的判定及性质
（1） 判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这
个平面平行。（简述为线线平行线面平行） 图形： 符号：
（2） 性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行） 图形： 符号：
3、 两个平面的位置关系： 4、 两个平面平行的判定与性质
（1） 判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行。
图形： 符号：
（2） 性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行
图形： 符号：
5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离
练习
1、 如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证： OD//平面PAB
PDAOC
2、 如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，
求证：MN//平面PAD
PBjENDCAMB
3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
D1C1A1DB1CAB4、如图在直三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C1?AC11,AC1?A1B,M、N分别是A1B1,AB的中点。求证:平面AMC1//平面NB1CA1MB1C1
ANBC
5、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、BC、CD的中点。求证:平面MNP//平面AB1D1
D1A1C1B1MDPNBCA6、在正方形
DB上，若AM=BN=x。
中，已知正方体的棱长为
，M、N分别在其对角线AD1与
（1）求证：MN//平面CDD1C1；
（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式； （3）求MN的最小值，并求此时x的值； （4）求AD1与BD所成的角。
立体几何之点线面之间的位置关系（三）
直线与平面垂直、平面与平面垂直 1、线面垂直的定义
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。 2、线面垂直的判定及性质 （1）判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
图形： 符号：
（2）性质 垂直于同一平面的两条直线平行。
图形： 符号：
3、线面角
直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。 特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角，
4、二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的
棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角α—l—β。
二面角的取值范围是。
5、 面面垂直的判定及性质
（1） 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”。
（2） 图形： 符号：
（3） 性质 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直
于另一个平面。
（4） 图形： 符号：
练习
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
2、12. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
3、如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，
CA=CB=1,∠BCA=90。
,棱AA1=2,M,N分别是 A1B1,A1A的中点。 （1）求BN的长；
（2）求BA1 ，B1C夹角的余弦值； （3）求证A1B⊥C1M
4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M
是PB的中点。
证明：面PAD⊥面PCD
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1
CB
A1
M
N
C B
A
5、已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形， ?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
例1. 如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？
5、已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形， ?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；
（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
例1. 如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。
（1）求证：BC⊥面PAC；
（2）求证：PB⊥面AMN；
（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？