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习题答案
第1章 三、解答题
1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.
2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以
(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.
(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，
即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.
4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．
解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C12125C4(C2)+C25
其中：C12125C4(C2)为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：k?C1C118?C625?2!+C5
其中：C1C118?C65?2!为恰有1双配对的方法数
1
2
121法三：分两种情况考虑：k?C5(C8?C4)+C52 11 其中：C5(C82?C4)为恰有1双配对的方法数 12法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C5C8-C52 44法五：考虑对立事件：k?C10-C5(C2) 4 其中：C5(C2)为没有一双配对的方法数
14141111C10?C8?C6?C4法六：考虑对立事件：k?C?
4!4101111C10?C8?C6?C4 其中：为没有一双配对的方法数
4!k13所求概率为p?4?.
C1021 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．
12C3A5C5211 解：(1) 法一：p?3?，法二：p? ?3C101212A10122C3A4C411 (2) 法二：p?3?，法二：p? ?3A1020C1020 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
231C32?A4A4C4139P(M)??P(M1)?3?, P(M2)??, 33341616844 8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则
112C32C3C2C2 P(M2)?2?0.3,P(M1)??0.6,P(M1)?2?0.1 2C5C5C5
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则
M?M1?M2且M1?M2??.
22C5C313所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?2?2?.
C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此 2
3
1?4?1????A的面积17． 2?5?P(A)????的面积125图？
11．随机地向半圆0?y?22ax?x2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面
积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?的概率． 4 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此
2ax?x2}
?” 42ax?x2,0????4}
1212a??aA的面积2114P(A)????．
12?的面积?2?a2111,P(BA)?,P(AB)?，求P(A?B)． 432111P(AB)111,P(B)????, 解：P(AB)?P(A)P(BA)???4312P(A|B)1226 12．已知P(A)? P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1111???. 46123 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
22C6C422P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，
C1015C103P(B|A)?P(AB)P(B)221??/? P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
3
4
1C232P(A)?1?,P(A)?，由全概率公式得
5C55113C52C423P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??1??1?,
5C95C945由贝叶斯公式得
1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)???1/?.
P(B)5C94523 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知
2P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?.
3所以
1P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,
3由贝叶斯公式得
P(M|N)?P(M)P(N|M)221196??0.98?(?0.98??0.01)?.
P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)333197
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,码译出的概率是多少？
解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?111，问三人中至少有一人能将此密
534111423,P(A2)?,P(A3)?,所以P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?, 53453442331?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1????.
5345至少有一人能将此密码译出的概率为
17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且
P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)
将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以
P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)P(B)?1??1?P(B)?1?0.5?0.5. P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以
P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射 4
5
中的概率是多少？
解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以
P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).
由于甲乙两人是独立射击目标，所以
P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.
P(A|M)?P(AM)P(A)P(M|A)1?0.6???0.75
P(M)P(M)0.8 19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为
P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.8?0.56,
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.7?0.49.
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ?，P(A)?P(B)?P(C)?1,且已知2P(A?B?C)?9，求P(A)． 16 解：因为ABC = ?，所以P(ABC) =0,
因为A，B，C两两相互独立，P(A)?P(B)?P(C),所以
P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(A)P(C)?3[P(A)]2
由加法公式P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)得
3P(A)?3[P(A)]2?考虑到P(A)?9 即 [4P(A)?3][4P(A)?1]?0 1611,得P(A)?. 241，且P(ABC)?P(ABC)，证明： 2 2．设事件A，B，C的概率都是
5
6
2P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)? 证明：因为P(ABC)?P(ABC)，所以
1． 2将
P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]P(A)?P(B)?P(C)?1代入上式得到 23P(ABC)?1?[?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]
2整理得
12P(ABC)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?.
2 3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +P(A|B)?1，试证A与B独立． 证明：因为P(A|B) +P(A|B)?1，所以
P(AB)P(AB)P(AB)1?P(A?B)????1, P(B)P(B)P(B)1?P(B)将P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)代入上式得
P(AB)1?P(A)?P(B)?P(AB)??1, P(B)1?P(B)两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到
P(AB)?P(A)P(B),
所以A与B独立.
4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件．
证明：充分性，由于P(B|A)?P(B|A)，所以
P(AB)P(AB)?,即
P(A)P(A)P(AB)P(B)?P(AB)?,
P(A)1?P(A)两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到P(AB)?P(A)P(B),所以A与B独立. 必要性：由于A与B独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(A)?0,P(A)?0,所以 一方面
P(B|A)?另一方面
P(AB)P(A)P(B)??P(B),
P(A)P(A)P(B|A)?所以P(B|A)?P(B|A).
P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B)???P(B),
P(A)P(A)P(A) 5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也
6
7
为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为
p. 2 (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．
解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)?p,P(A2|A1)?p,P(A2|A1)?由全概率公式得
p, 2P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?p2?(1?p)(1) 他取得该资格的概率为
p 2P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2|A1),p3p?p22?p?p?(1?p)?p?.222
(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为
P(A1|A2)?P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)p?p2p???.
pP(A2)P(A2)p?1p2?(1?p)2 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)?P(A1)?P(A2)?由全概率公式
1,P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.1, 31989P(M)?P(A0)P(M|A0)?P(A1)P(M|A1)?P(A2)P(M|A2)?(1??)?,
310101091P(M)?1?P(M)?1??,又P(N|M)?1?P(N|M)?1?0.02?0.98,
1010由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为
P(N)?P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)?91?0.98??0.1?0.892. 1010 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．
解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.
已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)?0.8,P(Bi|A)?0.9,P(A)?0.4,所以
P(Bi|A)?0.2,P(Bi|A)?0.1,P(A)?0.4,P(A)?0.6,
7
8
所求概率为P(A|B1B2B3)?P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?,
P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)?P(A)P(B1B2B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以
P(A|B1B2B3)??P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)?P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.4?0.8?0.8?0.2?0.905.0.4?0.8?0.8?0.2?0.6?0.1?0.1?0.9
8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？
解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)?P(A3)?0.3,P(A2)?P(A4)?0.35,所以
P(A1)?P(A3)?0.7,P(A2)?P(A4)?0.65,
(1) 火炮被击毁的概率为
P(A1A2?A1A2A3A4)?P(A1A2)?P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.35?0.7?0.65?0.7?0.35?0.356475 坦克被击毁的概率为
P(A1?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.3?0.7?0.65?0.3?0.4365 (2) 都不被击毁的概率为
P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.65?0.7?0.65?0.207025.
9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是
1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率． 2 解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….， 已知P(Ai)?P(Bi)?P(Ci)?1,i?1,2,...，由于各局比赛具有独立性，所以 2369在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为
1?1??1??1?P(A1C2C3?A1C2B3A4C5C6?A1C2B3A4C5B6A7C8C9?...)??????????...?,7同样，在甲乙?2??2??2?1, 7先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为2?12125?,甲、乙得冠军的概率均为(1?)?.
271477第二章
2
一、填空题：
8
1. P?X?x?，F(x2)?F(x1)
kk2. P{X?k}?Cnp(1?p)n?k，k = 0，1，…，n
9
3. P{X?k}?4.
?kk!e??,??0为参数，k = 0，1，…
1 1???1, a?x?b 5. f(x)???b?a? 其它?0, 6. f(x)?12??e?(x??)22?2,???x???
1?27. ?(x)?e,???x???
2?b??a??)??() 8. ?(??9.
X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10.
x29 64分析：每次观察下基本结果“X≤1/2”出现的概率为的观察可看作是3重伯努利实验，所以
?12-?f(x)dx??22xdx?011，而本题对随机变量X取值4119P?Y?2??C32()2(1?)3?2?
446411. P?X ?2.2??P?2.2?1?X?12.2?1????()?0.7257, ?222??5.8?1?1.6?1??1.6?1X?15.8?1?P??1.6?X ?5.8??P???)??()???( 22222????(2.4)??(?1.3)??(2.4)??(1.3)?1?0.8950,同理，P{| X | ? 3.5} =0.8822. 12. G(y)?P?Y?3X?1?y??P?X?13.
??y?1?y?1). ??F(3?313，利用全概率公式来求解： 48 9
P?Y?2??P?Y?2X?1?P?X?1??P?Y?2X?2?P?X?2? ?P?Y?2X?3?P?X?3??P?Y?2X?4?P?X?4? ?0?二、单项选择题：
1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导
F(-a)=
?a0010
111111113???????.424344448???f(x)dx??f(x)dx-???x???-a101af(x)dx?-?f(x)dx???f(x)dx
2-a202. B，只有B的结果满足F(??)?limF(x)?1 3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证
?2,X?24. D，Y??，可以看出Y不超过2，所以
?X,X?21, y?2?1, y?2 y?2??1, ???x?yFY(y)?P?Y?y?????y1???,??0，
?edx,y?2????PX?y,y?2??0?1?e,y?2??可以看出，分布函数只有一个间断点.
5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，即
1 p?P(AB)?P(A)P(B)?C3p(1?p)3?2?p.
三、解答题
（A）
1．(1)
X pi
分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数
为1，其余一个1至6点均可，共有C2?6-1（这里C2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C2?6多算了一次）或C2?5?1种，故
11C2?6-1C2?5?111P?X?1????,其他结果类似可得.
3636361 2 3 4 5 6 11 369 367 365 363 361 361111(2)
10
11
?? 0 ， x?1?P{X?1}，1?x?2?P{X?1}?P{X?2}，2?x?3F(x)???P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}， 3?x?4 ??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}， 4?x?5??P{X?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}，5?x?6?1 ， x?6?? 0 ， x?1?11??36，1?x?2?20，?362?x?3 ???2736， 3?x?4 ???32 4?x?5?36，?35?，5?x?6?36?1 ， x?62．
X-91 9 p1251i 126126 注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然P?X?99??2C5?1. 10126?3．
?a?k???k!?ae?1，所以a?e?.
k?0???0，x?-1?0，x?-14．(1) f(x)???P{X??1}，?1?x?2?1?，?1?x?2?P{X??1}?P{X?2}，2?x?3??4，
??3，x?3，2?x?3?1??4?1，x?3(2) P??X?1?2???p?X??1??14、 P??3?2?X?5?2?1???P?X?2??2、 P?2?X?3??P??X?2???X?3???P?X?2??P?X?3??34；
11
12
?1?1?2?1?2i111225．(1) P?X?偶数??2?4???2i???lim??i???12221??22?(2) P?X?5??1?P?X?4??1????????1， ?3??151?， 1616(3) P?X?3的倍数???i?1?1?lim23ii??123??1?i??1??3?????2????1.
171?32?1.56．(1) X~P?0.5t??P?1.5? P?X?0??e.
?2.5 (2) 0.5t?2.5 P?x?1??1?P?x?0??1?e.
7．解：设射击的次数为X，由题意知X~B?400，0.2?
kP?X?2??1?P?X?1??1??k?0C4000.02k0.98400?k18K?8?1??k?0e?1?0.28?0.9972，其中8=400×0.02.
k!8．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X~B?5，0.3?
1则指示灯发出信号的概率
012p?P?X?3??1?P?X?3??1?(C50.300.75?C50.310.74?C50.320.73)
?1?0.8369?0.1631；
9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则F(x)?1?e?x5，P?X?10??1?F(10)?e，Y~B5，e?2??2?
k则P{Y?k}?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,?5
5P{Y?1}?1-P{Y?0}?1?（1?e?2）?0.5167
10. (1)、由归一性知：1???????f(x)dx??2?acosxdx?2a，所以a?
?21
. 2
1124(2)、P{0?X?}??4cosxdx?sinx|0. ?0242411. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)?limF(x)?F(1)，即A=1.
x?1?x?1????（2）P?0.3?X?0.7??F(0.7)?F(0.3)?0.4.
?2x,0?x?1.
?0, （3）X的概率密度f(x)?F?(x)???1?0?x?512. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以f(x)??5
?0其他?2 若方程4x?4Xx?X?2?0有实根，则??(4X)?16X?32?0，即
22 12
13
X?2 X??1 ，所以有实根的概率为 p?P?X?2??P?X??1???515dx???12??0dx?135x52?5 13. 解: (1) 因为X~N(3，4) 所以
P{2?X?5}?F(5)?F(2)
??(1)??(0.5)?1?0.8413?0.6915?1?0.5328
P??4?X?10??F(10)?F(?4)
??(3.5)??(?3.5)?1?2?(3.5)?1?2?0.998?1?0.996
P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2?
?1??F(2)?F(?2)??1???(?0.5)??(?2.5)? ?1???(2.5)??(0.5)??1?0.302?30.697 7P?X?3??1?P?X?3??1?F(3)?1??(0)?1?0.5?0.5
(2)
P?X?c??1?P?X?c?，则P?X?c??12?F(c)??(c?32)?12，经查表得
?(0)?1c?32，即
2?0，得c?3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) P?X?d??1?P?X?d??1?F(d)?1??(d?32)?0.9， 则?(d?32)?0.1，即?(-d?32)?0.9，经查表知?(1.28)?0.8997， 故-d?32?1.28，即d?0.44； 14. 解：P?X?k??1?P?X?k??1?P??k?X?k??1??(kk?)??(??)
?2?2?(k?)?0.1
所以 ?(k?)?0.95，p?X?k??F(k)??(k?)?0.95；由对称性更容易解出；
15. 解 X~N(?,?2)则 P?X??????P?????X?????
?F(???)?F(???)
??(??????)??(??????) ??(1)??(?1)
?2?(1)?1?0.6826
上面结果与?无关，即无论?怎样改变，P?X?????都不会改变； 16. 解：由X的分布律知
13
14 111111p 56 51530 x -2 -1 0 1 3 X2 4 1 0 1 9 X 2 1 0 1 3 所以 Y的分布律是 Y 0 1 4 9 1
p 71511Z的分布律为 30 5 30 Y 0 1 2 3 1 p 11
57130 5 30 17. 解 因为服从正态分布N(?,?2)，
(x??)2则 F(x)?12?2dx，FY(y)?p?ex?y?，
2???x??e?当y?0时，FY(y)?0，则fY(y)?0
当y?0时，F?p?exY(y)?y??p?x?lny?
(lny??)2f'Y(y)?FY(y)?(F(lny))??11ye?2?2
2??1y??)2?1所以Y的概率密度为f)??e?(ln2?2y?0Y(y?；?y2???0y?018. 解X~U(0,1)，f(x)???10?x?1?0 ， FY(y)?p?Y?y??p?1?x?y??1?F(1?y)，
所以f1,0?1?y?1?1,0?Y(y)?fX(1?y)????0,其他??y?1 ?0,其他 14
所以f(x)?1e?(x??)22?2，2??
15
19. 解：X~U(1,2)，则f(x)???11?x?2?0其他
FY(y)?P?Y?y??P?e2X?y?
当y?0时，F2XY(y)?P?e?y??0，
当y?0时，
FY(y)?P??1?X?2lny????F1X(2lny)，
f'1??1f(1Y(y)?FY(y)?(F(Xlny)e2?x?e42lny))????22?0其他?1
????2ye2?x?e4?0其他20. 解: (1) FY(y)?P?Y1?y??P?3X?y??P??X111??3y????FX(3y)
fy)?F'111Y1(Y1(y)?(F(3y))??3fX(3y)
?因为f?3x2?1?x?1X(x)???2?0其他
所以f(y)?11??1y2,?1?1y?1??1y2,?3Y13fX(3y)????18?0,其3他??18?y?3?0,其他 (2) FY2(y)?P?Y2?y??P?3?X?y??P?X?3?y??1?FX(3?y)，
fY2(y)?F'Y2(x)?[1?FX(3?y)]'?fX(3?y) ?因为f)??3?x2?1?x?1X(x?2?0其他，
? 所以f?3(3?y)2,?1?3?y?1?3Y2(y)?fX(3?y)?????2??0,其他?2(3?y)2,2?y?4?0,其他（3）FY3(y)?P?Y3?y??P?X2?y?
当y?0时，FY3(y)?P?X2?y??0，fY(y)?F'Y?0
当y?0时，FY3(y)?P??y?X??3?3(x)y?FXy??FX(?y)， f'Y3(y)?FY3(x)?[F?y??F(?y)]'?12y[fX?y??fX(?y)]
15
16
?1[fX?所以 fY3(y)??2y???y??f0X(?y)],,y?0， y?0?3x2?1?x?1?因为fX(x)??2，
其他??0?3?y,0?y?1
所以fY3(y)??2,其他??0四．应用题
1．解：设X为同时打电话的用户数，由题意知X~B?10 ,0.2?
设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则
kkP{X?k}??C0.20.8i10ii?010?i??i?0?ii!e???0.99，其中??2,
查表得k=5.
2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概
率为1-e?0.4，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则
X~B(10,1?e?0.4)，
5小时后系统不能正常工作，即?X?2?，其概率为
P?X?2??1?P?X?1?01 ?1?C10(1?e?0.4)0(e?0.4)10?C10(1?e?0.4)1(e?0.4)10?1
?0.8916.3．解：因为X~N(20,40)，所以
P{X?30}?P{?30?X?30}?F(30)?F(?30)
230?20?30?20)??()4040 ??(0.25)??(1.25)?1
?0.5187?0.8944?1??(?0.4931)， 设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X~B(3,0.4931003(1) P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?C30.4931(1?0.4931)3?1-0.5069?0.8698. 11(2) P{Y?1}?C30.4931?0.50692?0.3801.
4．解：
当y?0时，{Y?y}是不可能事件，知F(y)?0，
当0?y?2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知F(y)? 当y?2时，{Y?y}为必然事件,知F(y)?1，
因此，Y的分布函数为 16
x?y5?y01?5edx?1?e5，
17
?0 , y?0?y??5 F(y)??1-e，0?y?2；
?1,y?2??5．解：(1) 挑选成功的概率p?11； ?4C870??1?70?(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该X~B?10，?， 设10随机挑选成功三次的概率为：
3P{X?3}?C10(1k1)(1?)7?0.00036， 7070以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。
（B）
?0,x?0?1?x,0?x?1?3?11. 解：由概率密度可得分布函数F(x)??,1?x?3
?3?1?2(x?3),3?x?6?39??1,x?6由于P?X?k??21，即F(k)?，易知1?k?3； 33?1，X?0,?1，??1?x?2（?1,2）2. 解： X服从的均匀分布，f(x)??3，又Y??
，其他X?0,??1，??0Y?1??P{X?0}?则P??201f(x)dx?x320?2， 3P{Y??1}?P{X?0}?1-P{X?0}?所以Y的分布律为
1 3Y2 P -1 1 1 32 33. 解：FY(y)?P[1?3X?y]?P{X?(1?y)3}?1?FX[(1?y)3]，
'??fY(y)??FY(y)??1?F[(1?y)3]??fX(1?y)3(1?y)3?3(1?y)2fX(1?y)3???????? 17
18
3(1?y)2?,y?R； 6?1?(1?y)??4. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(?x)?fx(x)，
FY(y)?P{Y?y}?P{?X?y}?P{X??y}?1?P{X??y}?1?Fx(?y)所以
fY(y)?FY(y)?fx(?y)?fx(y).
5. 解：随机变量X的分布函数为
'?0 , x?1? F(x)??3x-1, 1?x?8，显然F(x)?[0,1]，
?1, x?8? FY(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}，
当y?0时，{F(X)?y}是不可能事件，知FY(y)?0，
当0?y?1时，FY(y)?P{3X?1?y}?P{X?(1?y)3}?y， 当y?1时，{F(X)?y}是必然事件，知FY(y)?1，
?0 , y?0? 0?y?1。 即 FY(y)??y, ?1, y?1?6. （1）FY1(y)?P{Y1?y}?P{2X?1?y}?P{X?y-1} 2y?1y?1y-1?0时，即y?1时，FY1(y)?P{X?}??20dx?0， 当
-?221?yy?1y?1y-1?x2?0时，即y>1时，FY1(y)?P{X?当}??edx?1-e2，
022所以
y?11?y?12，?fY1(y)??2e；
，其他??0,y?1（2）FY2(y)?P{Y2?y}?P{eX?y}，
XX 当y?0时，{e?y}为不可能事件，则FY2(y)?P{e?y}?0，
当0?y?1时，lny?0，则FY2(y)?P{eX?y}?P?X?lny???lny??0dx?0，
当y?1时，lny?0，则FY2(y)?P?X?lny??根据fY2(y)?FY?2(y)得
?lny0e?xdx?1?1， y?0, y?1? fY2(y)??1；
,y?12??y 18
19
（3）FY3(y)?P{Y3?y}?P{X2?y}，
当y?0时，FY3(y)?P{X2?y}?0， y当y?0时，F2Y3(y)?P{X?y}?P??y?X?y???e?xdx?1?e?y0，
?0,所以 f? y?0?yY3(y)??e?,y；
?2y?0(x)???2e?2x7. (1) 证明：由题意知f,x?0,x?0。
?0Ye?2x，F?2X1?Y（1y）?P{Y1?y}?P{e?y}， 当y?0时，FY（1y）?0即fY（1y）?0， 当0?y ?1时，F2X??lny?Y1(y)?P{e??y}?P?X?2??????2e?2x??lnydx?y， 2当y?1时，F??lny????Y1(y)?P??X?2????2x02edx?1， 故有fy)???1,0?y?1Y1(，可以看出?0, Y1服从区间（0，1）均匀分布；
（2） Y2?e?2x，FY2(y)?P{Y21?y}?P{1-e?2X?y}?P{e?2X?1-y}
当1?y?0时，F?2xY2(y)?P{e?1-y}?1，
当0?1?y?1时，
?ln(1?y)FY（(y)）?P{e?2X?1-y}?P???ln(1?y)?22?X?2????02e?2xdx?y，
?ln(1?y) 当1?y?1时，F?2XY?1-y}?P???ln(1?y)?22(y)?P{e?X?2??????0dx?0， 由以上结果，易知f?1,0?y?1Y2(y)??,，可以看出?0 Y2服从区间（0，1）均匀分布。
第三章
1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：
P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下：
Y X 1 2
19
20 1 2 1/3 1/3 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2
(1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= 或者用表格表示如下：
Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 , i,j=0,1,2, i+j?2
1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=
P(AB)P(AB)??1/2得P(AB)=1/8
P(A)1/4由P(A|B)=
P(AB)?1/2得P(B)=1/4
P(B)(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=)P(AB)=P(
(A)-P(B)+P(AB)=5/8
P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8
P{X=1,Y=0}=P(A)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知： 1=
(2)P{X=Y}=0 (3)P{X , 故A=4 20 46 故P(?Xk?450)?P(k?1k?1400?X400k?440?76450?440450?440)?1??()?1??(1.147)?0.1357即400对夫妻的孩子7676总数超过450的概率为0.1357 (2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)， 340?400?0.8 P{Y?340}?P?Y?400?0.8?340?400?0.8???()??(2.5)?0.9938 ???400?0.8?0.2400?0.8?0.2?400?0.8?0.2即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938． （B） ?xm?xme,x?0，1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??m为正整数，证明：（提P{0?X?2(m?1)}??m!m?1?其它?0,示：利用Chebyshev不等式）． 证明：E（X）=E(X)??2??2???0xf(x)dx=???0??0xm?1?x?(m?2)(m?1)!edx???m?1， m!m!m!0xf(x)dx??xm?2?x1???(m?3)edx??x(m?3)?1e?xdx??(m?2)(m?1) 0m!m!m!D(X)?E(X2)??E(X)??(m?2)(m?1)?(m?1)2?m?1 2由切比雪夫不等式 m P?0?X?2(m?1)?=P?X?(m?1)?m?1??1?m?12= m?1(m?1) 2. 设{Xn:n?1}为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明{Xn}服从Chebyshev大数定律． 1/4 证明：???i????2??1?0?1?2?1?0 ， 424Xn pk ?2 0 1/2 2 1/4 22111D?Xi???Xi2????Xi????2??02??(2)2??0?1 424????又因为{Xn:n?1}独立且同分布，所以?Xn?服从切比雪夫大数定律. 43. 设随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，E(Xn)?0,D(Xn)??2(0??2???)，又E(Xn)存在 1n2P（n=1,2,…），证明：?Xi?（提示：利用Chebyshev大数定律） ???2． ni?1证明：因为随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，所以{Xi2}也独立同分布 E(Xi2)?D(Xi)?E(Xi)??2，D(Xi2)?E(Xi4)?[E(Xi2)]2?E(Xi4)??4存在 1n2P由Chebyshev大数定律，?Xi????2 ni?1第六章 46 47 （A） 三、解答题 1. 已知总体X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求 (1) X1，X2，…，Xn的联合分布律; (2) n ?X i?1 i 的分布律; (3) E(X),D(X),E(S2). 解：因为X的分布律为 P{X?k}?(1?p)1?kpk,k?0,1(0?p?1) 且X1，X2，…，Xn均于X独立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的联合分布律为 nP{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}??P{Xi?xi}i?1?pni?1?xii?1nn?(1?p)?xii?1n ,xi?0,1,i?1,2,...,nyy （2）因为Y??Xi~B(n,p)，所以P{Y?y}?Cnp(1?p)n?y,y?0,1,2,3,...,n. （3）因为，所以 E(X)?E(X)?p,D(X)?D(X)p(1?p)2?,E(S)?D(X)?p(1?p). nn 2. 从总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值X落在50.8到53.8之间的概率． ?6.32? 解：因为X~N(52，6.3)，所以 X~N?52,， ???36??53.8?5250.8?52P{50.8?X?53.8}??()??()?0.8293 6.3366.3362 3. 某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X ～ N(?，? 2)，X为来自总体X的样本均值． (1) 求X与?的偏差大于 2?的概率． n (2) 若?未知，? 2 = 100，现随机取100只这种灯管，求X与?的偏差小于1的概率． ??2 解：因为X～N(?，? )，X~N??,?n?2?X??，?~N(0,1),所以 ???n???????2??X???X????X?????PX????P?2?1?P?2?1?P?2??2???????? (1) ??n??n?n?n????????????1?[?(2)??(?2)]?2?2?(2)?2?2?0.9772?0.0456. (2) 因为? 2 = 100，n=100，?n?1，所以 ???1??X????X???PX???1?P???1???P? ?????n?n????n???(1)??(?1)?2?(1)?1?2?2?(1)?2?0.8413?1?0.6826.?? 47 48 4. 在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从N(w，0.04)，若以X表示n次称重的算术平均，则为使P{X?w?0.1}?0.95，n至少应该是多少？ 解：X1，X2，…，Xn为称重的结果，则X1，X2，…，Xn相互对立且均服从N(w，0.04)，于是X?w~N?0,1?，欲 0.2n?X?w0.1??使P{X?w?0.1}?0.95，须使P?????0.95，即 ??0.2n0.2n?????X?w?P??0.5n??2?(0.5n)?1?0.95, ???0.2n?解得?(0.5n)?0.975,查表得?(1.96)?0.975, 由于?(x)是递增函数，须使0.5n?1.96,解得n>15.366,故n至少为16. 5. 从正态总体N(?,0.52)中抽取样本X1，X2，…，X10 10?； 2 (1) 已知? = 0，求P?X?4??i??i?1?10? (2) ?未知，求P??(Xi?X)2?0.675??． ?i?1? 解：（1）因为Xi～N(0，0.5 2)，令 Xi?0~N?0,1?，即2Xi~N?0,1?, 0.51010???(2Xi)，则?2??(2Xi)2~?2(10) 22i?1i?1 由于 ?102??10?P??Xi?4??P??(2Xi)2?16??P?2?16 ?i?1??i?1? ??10?2查表知?(10)?16，所以P??Xi2?4???P??16?0.1. ?i?1?20.1??0.25? (2) ）因为Xi～N(?，0.5 2)，即X~N???,?，所以 10??Xi?X~N?0,0.275?, Xi?X0.275~N?0,1?, ?(i?110Xi?X0.275)2~?2(10) ?10Xi?X2??10?=?10Xi?X20.675?2)?)?2.4545?， P??(Xi?X)?0.675?P??(??P??(0.275??i?1??i?10.275?i?10.275?2查表知?0，所以 .992(10)?2.45?10?P??(Xi?X)2?0.675??0.992 ?i?1? 6. 已知X ~ t (n)，求证X 2 ~ F(1，n)． 证明：因为X ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ ?2(n)，Y与Z独立，使 48 49 X?由于Y2~?2(1)，Z~?2(n)，且Y2与Z独立，所以 YZn， Y2X?~F(1,n). Zn2第七章 7（A） 三、解答题 1. 设总体X服从几何分布，分布律为P?X?k??(1?p) 解：因为P?X?k??(1?p)k?1nk?1(0?p?1)求p的矩估计量． p,k?1,2,....， p,k?1,2,....，所以X的一阶矩 nk?1k?1E(X)??kP{X?k}??k(1?p)k?1//p??p(?(1?p)k)'k?1n ?1?p??1?p?11??p???p??p(?)?.??p?21?(1?p)pp????用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到X?1, p1. X 2. 求均匀分布X~U(a,b)中参数a,b的矩估计量． ??所以p的矩估计量为p 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为 ?1?E(X)? 2 2 a?b 2 (b?a)2a?b2a2?ab?b2?2 = E(X) = D(X) + [E(X)]= ?()?1223用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到 a?b?A?1?2 ?22?A2?a?ab?b3?解得a,b的矩估计量为 ??A1?3A2?3A12?A1?a3n3n22Xi?3X?X?(Xi2?X)2 ??ni?1ni?13n3n222?b?A1?3A2?3A1?A1?Xi?3X?X?(Xi2?X)2 ??ni?1ni?1 3. 设总体X的概率密度为 f(x;?)?1?|x??|e，???x?? 2X1,?,Xn是来自X的简单随机样本，求参数?的矩估计量． 解：总体X的一阶为 49 50 1?1?E(X)??xe?|x??|dx?2??11(x??)?xde?2??2??????(x??)xde???1(x??)xedx??2???????x1?(x??)edx21111(x??)?(x??)??xe(x??)|??edx?xe|????22??22?????(x??)de??????? ?(x??)e??dx1111(x??)???de???22??22????X. 用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到? ?1?(x??)/θe,x??，其中?(??0),?是未知参数，X,?,X是来 4. 设总体X的概率密度为f(x;?)??1n???0,其它?自X的简单随机样本，求?和?的矩估计量． 解：总体X的一阶为 ???1?E(X)????x1?e?(x??)/θdx???xde?(x??)/θ???xe?(x??)/θ??|????e???(x??)/θdx ????总体X的二阶为 ???(x??)/θde????.???2?E(X???2)???x21?e?(x??)/θdx???x2de?(x??)/θ???xe?2?(x??)/θ??|??????2xe?(x??)/θdx2 ?2?2?(???)??2?2???2??(???)2??2用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到 A1??????22A?(???)???2 50