宝鸡石油中学2013年高三数学练考卷 (理科)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U?R,A?{x|?x2?3x?0},B?{x|lgx?0}，则图中阴影部分表示的集合为
( ) A. {x|x?1}
B. {x|0?x?3} C. {x|0?x?1} D. ?
x?(x2?x)i2. 若复数z?（x?R）为纯虚数，则x等于( )
iA．0 B.1 C.-1 D.0或1
3．设a,b?R,则“a?2且b?1”是“a?b?3且ab?2”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是
边长为2的正三角形，则其全面积是( ) A.43 B.4?43 C.8 D.12
5．各项为正数的等比数列{an}中，a1a5?2a3a6?a1a11?16，则a3?a6的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
6. △ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
asinAsinB?bcos2A?2a，则
b?（ ） a A．2 B．22 C．3 D．23 ?log2x,x?0?7. 若函数f(x)??log(?x),x?0,若af(?a)?0,则实数a的取值范围是（ ）
1??2A. (?1,0)?(0,1) B.(??,?1)?(1,??) C. (?1,0)?(1,??) D.(??,?1)?(0,1)
8. 已知m是二项式(x?)（a为常数）展开式中有理项的个数，则(的中间项为（ ） A. ?ax71?2)m展开式x24242424 B.?2 C. 2 D. xxxxx2y29．设点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上一点，且满足
ab
1
?????????2PF1?PF2?0,tan?PF2F1?，则此双曲线的离心率为
3A．3 B．（ ）
13 C．5 D．13 222?x?y?2?010．已知关于x的函数f(x)?x?2bx?a，若点(a,b)是区域??x?0?y?0?内任意一点,则函数f(x)在R上有零点的概率为（ ） A．
2175 B． C． D． 321212
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）．
11．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .
??????????12．已知向量a，b，c满足a?b?2c?0，且a?c，a?2，
??c?1，则b? ．
13．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的一条直线与函数
f(x)?2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 ________. x14．某工厂有三个车间生产不同的产品，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至
多分3名，则不同的分配方法有 种．（用数字作答） 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为: ??2?cos??0,
???
2,?点P的极坐标为??2?,过点P作圆C的切线,则两条切线夹角的正切值是 .
2B.（不等式选做题）若不等式|x?1|?|a?2|?1对于一切非零实数x均成立，则实数ax的取值范围为__________
C.(几何证明选做题) 如图圆O的直径AB?6cm,P是AB的延长线上一点,过点P 作圆
O的切线,切点为C,连接AC,若?CPA?300,则PC? . 三、解答题（本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.(本小题满分12分)
???已知平面向量a?(cos?,sin?)，b?(cosx,sinx)，c?(sin?,?cos?)，其中
?????0????，且函数f(x)?(a?b)cosx?(b?c)sinx的图象过点(,1)．
6（1）求?的值；
(2) 将函数y?f(x)图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数
2
y?g(x)的图象，求函数y?g(x)在[0,]上的最大值和最小值．
217．(本小题满分12分）已知数列?log2(an?1)?,n?N*为等差数列，且a1?3,a3?9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：
?111?????1.
a2?a1a3?a2an?1?an18．（本小题共12）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?5，D，E分别为BC，
BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．
（1）求证：CE?平面AC1D； (2)求二面角C?AC1?D的余弦值．
19.(本小题满分12分)某高校在2011年自主招生考试成绩 中
随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第3，4，5组的频率；
(2) 若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
(ⅱ) 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有?名学生被考官D面试，求?的分布列和数学期望.
3
x2y220.（本小题满分13分） 如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2，
ab其上顶点为A.已知?F1AF2是边长为2的正三角形. （1）求椭圆C的方程；
(2) 过点Q(?4,0)任作一直线l交椭圆C于M,N两
点，记MQ???QN.若在线段MN上取一点R,使得MR????RN，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在,请求出该定直线的方程，若不在,请说明理
由.
21．（本小题满分14分）已知函数f?x??xe（1）求函数f?x?的单调区间和极值；
（2）已知函数y?g?x?的图象与函数y?f?x?的图象关于直线x?1对称．证明当x?1时，f?x??g?x?;
(3）如果x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明x1?x2?2．
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） ＣＢＡＤＢ，ＡＡＤＤＣ
二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分． 11. 15; 12. 22; 13. 4 ; 14. 1050 ; 15. (1)
?x?x?R?．
4 (2) 1?a?3 (3) 33 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分） 16(本小题满分12分).解：（1）
4
??a?b?cos?cosx?sin?sinx)?cos(??x) ????????1分 ??b?c?cosxsin??sinxcos?)?sin(??x)???????????2分
?????f(x)?(a?b)cosx?(b?c)sinx
?cos(??x)cosx?sin(??x)sinx ?cos(??x?x)
?cos(2x??) ???????????4分 ??∴f()?cos(??)?1
63而，0????
?∴?? ???????????6分
3?（2）由（1）得，f(x)?cos(2x?)，
31?于是g(x)?cos(2(x)?)，
23?即g(x)?cos(x?)． ???????????9分
3????当x?[0,]时，??x??，
23361?所以?cos(x?)?1， ???????????11分
231即当x?0时，g(x)取得最小值，
2?当x?时，g(x)取得最大值1． ????????12分
3
17．(本小题满分12分)（1）解：设等差数列{log2(an?1)}的公差为d. 由a1?3,a3?9得log22?2d?log28,即d=1.
所以log2(an?1)?1?(n?1)?1?n,即an?2n?1. ?????????6分 （2）证明： ?111?n?1n?n，
an?1?an2?22?1111111?????1?2?3???n
a2?a1a3?a2an?1?an2222111?n?2?1?1?1. ?????????12分 2 ?212n1?2（18）. (本小题满分12分)
5
（1）证明：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
BB1?平面ABC，又AD?平面ABC， 所以BB1?AD． 因为AB?AC，D为BC中点， 所以AD?BC．又BC?BB1?B， 所以AD?平面B1BCC1．
又CE?平面B1BCC1，所以AD?CE．
因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点， 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD，?CC1D??BCE． 所以?BCE??C1DC?90?．
所以C1D?CE． 又AD?C1D?D，
所以CE?平面AC1D． ????????6
（2）解：如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系．A(0,6,4),E(3,3,0),C(?3,6,0),C1(?3,0,0)．
由（Ⅱ）知CE?平面AC????1D，所以CE?(6,?3,0)为平面AC1D的一个法向量．设n?(x,y,z)为平面ACC1的一个法向量，
???AC??(?3,0,?4)，???CC??1?(0,?6,0)．
由???????n??????AC??0,可得??n?CC??3x?4z?0, 1?0.??6y?0.令x?1，则y?0,z??34． 所以n?(1,0,?34)．从而cos????CE,????n??|???CE?CE??n|?|n|?8255．
因为二面角C?AC1?D为锐角， 所以二面角C?AC51?D的余弦值为825．????????12 19. (本小题满分12分)解：(1) 第三组的频率为0.06?5=0.3；
则
6
第四组的频率为0.04?5=0.2；
第五组的频率为0.02?5=0.1. ????????3分 (2)(ⅰ)设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试
1C281P(M)=3= ????—————6分
145C30i2?iC2C4(ⅱ)P(??i)?(i?0、1、2)? 2C60 1 2
P
25 815 115
——————10分
E??822?? ——————12分 1515320. (本小题满分13分)
解（1）?F1AF2是边长为2的正三角形，则c?1,a?2，????????2分
x2y2??1. ????????5分 故椭圆C的方程为43(2)直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y?k(x?4),并设M(x1,y1),N(x2,y2).
?x2y2???1，消去y得(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0，则
联立方程?43??y?k(x?4)?32k264k2?12??144(1?4k)?0,x1?x2?,x1?x2? ??????8分 223?4k3?4k2由MQ???QN得?4?x1??(x2?4)，故???x1?4. ??10分 x2?4设点R的坐标为(x0,y0)，则由MR????RN得x0?x1???(x2?x0)，解得
x0?x1??x2?1??x1?x1?4?x2x2?42xx?4(x1?x2)?12. ???????11分
x1?4(x1?x2)?81?x2?4
64k2?12?32k2?24?4??又2x1x2?4(x1?x2)?2?， 2223?4k3?4k3?4k2x1x2?4(x1?x2)?32k224(x1?x2)?8??8?，从而x???1，故点R在定0223?4k3?4k(x1?x2)?8
7
直线x??1上. ???????13分 21. (本小题满分14分)
【解】（1）f??x???1?x?e?x．令f??x???1?x?e?x?0，则x?1． 当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下表：
x ???,1? 1 ?1,??? ? 减 f??x? ? 0 极大值 f?x? 增 所以f?x?在区间???,1?内是增函数，在区间?1,???内是减函数． 函数f?x?在x?1处取得极大值f?1?．且f?1??1． (4分) e（2）因为函数y?g?x?的图象与函数y?f?x?的图象关于直线x?1对称， 所以g?x??f?2?x?，于是g?x???2?x?ex?2．
2x?2?1e?x， 记F?x??f?x??g?x?，则F?x??xe?x??x?2?ex?2，F??x???x?1?e??当x?1时，2x?2?0，从而e2x?2?1?0，又e?x?0，所以F??x??0，
于是函数F?x?在区间?1,???上是增函数． 因为F?1??e?e?1?1?0，所以，当x?1时，F?x??F?1??0．因此f?x??g?x?．（9
分）
（3） ① 若?x1?1??x2?1??0，由（1）及f?x1??f?x2?,得x1?x2,与x1?x2矛盾；
②若?x1?1??x2?1??0，由由（1）及f?x1??f?x2?,得x1?x2,与x1?x2矛盾； 根据①，②可得?x1?1??x2?1??0．不妨设x1?1,x2?1．
由（2）可知f?x2??g?x2??f?2?x2?，所以f?x1??f?x2??g?x2??f?2?x2?． 因为x2?1，所以2?x2?1，又x1?1，由（1），f?x?在区间???,1?内是增函数， 所以 x1?2?x2，即x1?x2?2． （14分）
8