XX学院 2009－2010 学年 第 二 学期 期中 考 生 信 息 栏 系 专业 级 班级 姓名 学号 课程名称 高 等 数 学（Ⅰ） 试卷 卷别 闭卷 √ 开卷 □ 工科 本科（各）专业 2009 级 班级 全 装 订 线 考试 方式 本试卷共 5 大题( 4 页)，满分100分，考试时间120分钟。 请在答题纸上作答，在试卷上作答无效。 一、选择题（每小题2分，共20分） y1．若f(x?y,)?x2?y2，则f(x,y)= [ B ] xy2(1?x)x2(1?y) （A） （B） 1?x1?yy2(1?x)x2(1?y) （C） （D） 1?x1?y2．设z?f(x,y)，则（A）lim?z?x(x0,y0)= [ A ] ?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0) （B）lim ?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0,y0??y)?f(x0,y0) （D）lim ?x?0?x?x（C）lim?x?0?z???? [ D ] 3.设z?arctan，则xy????x4??(A) xy1?(xy??4 (B) x?11?(xy?)24)? xysec2(xy?(C) ?1?(xy? ?44 (D) )y1?(xy?)24)2? 第 1 页 共 7 页
4．旋转抛物面z?2x2?2y2?4在点(1,?1,0)处的法线方程为 [ B ] x?1y?1zx?1y?1z???? （B） 44?14?4?1x?1y?1zx?1y?1z???? （C） （D）?14?1?144（A）5．函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值为 [ A ] (A) 极大值为8 (B) 极小值为0 (C) 极小值为8 (D) 极大值为0 ???x,y?? [ D ] 6．设f?x,y??4xy2???yf?u,v?dudv，D由y?x,x?0,及y?1围成的区域，则fxyD(A) 4x (B) 4y (C) 8x (D) 8y 7．设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有一阶导数， x?yx?y则必有 [ B ] ?2u?2u?2u?2u(A) ??2. （B） 2?2. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u (C) . ( D) ???x?y?x2?x?y?y2 8．设积分区域D是x?y?1，则??dxdy= [ B ] D（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 ?9．设f(x,y)为连续函数，则?（A）?（C）?2240d??f(rcos?,rsin?)rdr等于 [ C ] 010dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy. 220dy?1?y2yf(x,y)dx. （D）?220dy?1?y20f(x,y)dx 10．设D是由直线y?1,x?2及y?x所围成的闭区域，则??xydxdy? [ A ] D7979 （A） （B） （C） （D） 8844第 2 页 共 7 页
二、填空题（每小题3分，共18分） 1．函数z?arcsin(2x)??x11D?{(x,y)|??x?,0?x2?y2?1,y2?4x} 的定义域为 2222ln(1?x?y)4x?y21?2x?2z 2．设z?esin，则在点(2,)处的值为 2 。 ?ye?x?y 3．由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?f(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分为 dz?dx?2dy 4．已知曲面z?4?x2?y2上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0，则点P的坐标为 (1,1,2) 5．更换积分次序?dy?012?y1?1?y2f(x,y)dx? ?0dx?012x?x2f(x,y)dx??dx?122?x0f(x,y)dy 6．?：1?x2?y2?z2?9，则I????dxdydz? ?104? 3三、计算题（每题6分，共24分） 1．设z?ex?2y,x?sint,y?t3，求dz dt dzsint?2t3?e(cost?6t2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 解：dt?u?v? 2．设f,g为连续可微函数，u?f(x,xy)，v?g(x?xy)，求 ?x?x?u?v? 解：?f1(x,xy)?yf2(x,xy)?(1?y)g?(x?xy) - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 ?x?x ?x2?y2?111,,2)处的切线方程和法平面方程。 3．求曲线?:? 在点P(22?x?y?z?2dy?2x?2y?0?dydz11dx??1，??2 - - - - - - - - 4分 ,,2)处有， 解：? ，在点P(dydzdxdx22?1???0?dxdxx?12?y?12?z?2 - - - - - - - 5分 ?1?2故，所求的切线方程为 1法平面方程为 x?12?(y?12)?2(z?2)?0，即x?y?2z?4?0 - - - - - 6分 4．计算二重积分??Dsinxdxdy，D是由直线y?x和抛物线y?x2所为成的区域。 x第 3 页 共 7 页
1xsinxsinxdy - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 解：??dxdy??dx?20xxxD??(sinx?xsinx)dx - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 01?(?cosx?xcosx?sinx)|10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 ?1?sin1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 四、综合题（每小题8分，共32分） ?2z1． 设z?f(esiny,x?y)，其中f具有二阶连续偏导数，求 ?x?yx22 解：?z?f1?exsiny?f2?2x?exsinyf1?2xf2 - - - - - - - - - 3分 ?x?2z ?excosyf1?exsiny(f11?excosy?f12?2y)?2x(f21?excosy?f222y) ?x?y ?excosyf1?e2xcosysinyf11?2ex(ysiny?xcosy)f12?2xyf22 - - - - - - - - - 8分 2．求曲面z?x2?y2被曲面x2?y2?2y所截的部分曲面的面积 解：由于 ?z??xxx?y22 ，?z??y2yx?y22 - - - - - - - - - - - - - 2分 ??z???z?所以 ds?1???????y??d??2d? - - - - - - - - - - - - - - 4分 ?x????2故 所求曲面的面积为 S???2d???d??D 0?2sin?02rdr - - - -- - - - - - - - - - - - - 6分 ?2? - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - 8分 ?z?y23．计算I????(x?y)dxdydz，其中?是由曲线?绕Z轴旋转一周而成的曲面与平面Z?4所x?0??22围成的立体。 第 4 页 共 7 页
?z?y2 解：曲线?绕Z轴旋转一周而成的曲面为：z?x2?y2 - - - - - - - - - - - - - 2分 ?x?0 所以I????(x2?y2)dxdydz??d??rdr?2r2dz - - - - - - - - - - - 5分 ?00r2?24 ?2??r3(4?r2)dr - - - - - - - - - - - - - - 7分 02?32? - - - - - - - - - - - - - - 8分 3 4．求原点到曲面(x?y)2?z2?1的最短距离。 解：设原点到曲面上最短距离的点为(x,y,z)，则 d2?x2?y2?z2 在条件下(x?y)2?z2?1 达到最小值 设 F(x,y,z)?x2?y2?z2??[(x?y)2?z2?1] - - - - - - - - - - - - - - 2分 ?Fx?2x?2?(x?y)?0?F?2y?2?(x?y)?0? ?x - - - - - - - - - - - - - 4分 ?Fz?2z?2?z?022??(x?y)?z?1?0 1) 当??1时，得x?0,y?0,z?1，有d2?1，d?1 - - - - - - - - - - - - - - 5分 2）当??1时，z?0，那么 x??y 得 x2?1112,y2? ，有d2?,d? - - - - - - - - - - - - - - - 7分 4422 故 所求的最短距离为d? 五、证明题（6分） 2 - - - - - - - - - - - - - - - - 8分 2xy?2u?2u设u?yf()?xg()，其中函数f,g具有二阶连续导数，证明：x2?y?0 yx?x?y?x解：?ux1yyy?yf?()??g()?xg?()(?2) ?xyyxxx第 5 页 共 7 页
xyyy ?f?()?g()?g?() - - - - - - - - - - - - - - - 2分 yxxx?2u1xy2y?????f()?g() - - - - - - - - - - - - - - - 4分 23yyx?xx?2uxxyy??2f??()?2g??() - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 ?x?yyyxx?2u?2u所以 x2?y?0 - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 ?x?y?x第 6 页 共 7 页
第 7 页 共 7 页
线 订 装