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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（三）
本试题卷共2页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A??x|?1?x?1?，B??x|0?x?2?，则A?B?（ ） A．?x|?1?x?1? B．?x|?1?x?2? C．?x|0?x?2?
D．?x|0?x?1?
2．设复数z?1?2i（是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为（ ） A．??3,4?
B．?5,4?
C．??3,2?
D．?3,4?
3．若向量a??1,?1,2?，b??2,1,?3?，则a?b?（ ） A．7 B．22
C．3
D．10
- 1 -
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．5??2
B．4??2
C．4??4
D．5??4
x2y25．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一个焦点为F??2,0?，一条渐近线的斜率
ab为3，则该双曲线的方程为（ ）
x2A．?y2?1
3y2B．x??1
32y2C．?x2?1
3x2D．y??1
32??1?6．函数f?x??sin??x???????的部分图象如图，且f?0???，则图中m的值
2?2?为（ ）
A．1
B．
4 3C．2 D．
4或2 37．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，，若函数
13x?bx2?a2?c2?acx?1无极值点，则角B的最大值是（ ） 3????A． B． C． D． 6432f?x????8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）
- 2 -
（参考数据：sin15??0.2588，sin7.5??0.1305）
A．12 9．设0?x?B．20
C．24
D．48
π，则“cosx?x2”是“cosx＜x”的（ ） 2A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）
A．1 4?B．????????11．已知点A?4,3?和点B?1,2?，点O为坐标原点，则OA?tOB?t?R?的最小值为4 9?1C．
9D．5 8?（ ） A．52 B．5
C．3
D．5 2??2≤x≤01?x?2x12．已知函数f?x???则关于的方程x?f?x??在??2,2?上 ，
5??f?x?1??10?x≤2的根的个数为（ ）
- 3 -
A．3
B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
?x?y≤0?13．已知实数，y满足约束条件?x?y≤1 ，则z?x?2y的最大值_______．
?x≥0?2CPy?4x上的点，它们的横坐标依次为x1，14．如果P1，P，，是抛物线：…210x2，…，x10，是抛物线C的焦点，若x1?x2???x10?10，则
PF?P12F???P10F?_________．
B，C的对边分别为，15．已知△ABC的内角A，，，若cosB?则△ABC的面积为__________．
16．已知四棱椎P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且PA?PD，则四棱锥P?ABCD体积的最大值为________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知数列?an?是等差数列，a1?t2?t，a2?4，a3?t2?t． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）若数列?an?为递增数列，数列?bn?满足log2bn?an，求数列??an?1?bn?的前项和Sn．
1，b?4，sinA?2sinC，4
- 4 -
18． “双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照?0.1,0.2?，?0.2,0.3?，?，?0.9,1?分组，得到如下频率分布直方图：
根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：
（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额不少于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．
- 5 -
19．如图，已知直三棱柱ABC?A1B1C1的侧面是正方形ACC1A1，AC?4，BC?3，
?ACB??，M在棱CC1上，且C1M?3MC． 2（1）证明：平面ABC1?平面A1BC；
（2）若平面A1BM将该三棱柱分成上、下两部分的体积分别记为V1和
V2，求
V1的值． V2
x2y2320．已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?经过点P?0,1?，离心率e?．
ab2（1）求C的方程；
（2）设直线经过点Q?2,?1?且与C相交于A，B两点（异于点P），记直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：k1?k2为定值．
- 6 -
21．已知函数f?x??lnx?ax2?x，a?R． （1）讨论函数f?x?的单调性；
（2）已知a?0，若函数f?x?≤0恒成立，试确定的取值范围．
- 7 -
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1：?，在以O为极点，轴的非 （为参数）
y?sin??负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p?cos??sin???4． （1）写出曲线C1和C2的普通方程；
（2）若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求使MN最小时M点的坐标．
23．已知是常数，对任意实数，不等式x?1?2?x?a?x?1?2?x恒成立．
- 8 -
（1）求的取值集合； （2）设m?n?0，求证：2m?
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1≥a?2n． 22m?2mn?n2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
文科数学（三）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．D 7．C
2．A 8．C
3．D 9．A
4．C 10．B
5．B 11．D
6．B 12．D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13．2
14．20
15．15 16．
4 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】(1)an?2n；(2)Sn6n?5?4n?1?20?． ?9222【解析】(1)由题意得t?t?t?t?2t?8，所以t??2，···········2分
··········4分 t?2时，a1?2，公差d?2，所以an?2n；·
··········6分 t??2时，a1?6，公差d??2，所以an?8?2n．·(2)若数列?an?为递增数列，则an?2n， 所以log2bn?2n，bn?4n，
- 9 -
··········8分 ?an?1?bn??2n?1??4n，·
所以Sn?1?4?3?42?5?43????2n?3??4n?1??2n?1??4n，·········9分
4Sn?1?42?3?43?5?44????2n?3??4n??2n?1??4n?1， 所以?3Sn?4?2?42?2?43???2?4n??2n?1??4n?1
?4?2?421?4n?1?3????2n?1?4n?1??20??6n?5?4n?13，···········10分
所以Sn6n?5?4n?1?20?．···········12分 ?918．【答案】（1）64（元）；（2）
10． 21【解析】（1）购物者获得50元优惠券的概率为：?1.5?2?2.5??0.1?0.6，····1分 购物者获得100元优惠券的概率为：?1.5?0.5??0.1?0.2，···········2分 购物者获得200元优惠券的概率为：?0.5?0.2??0.1?0.07，···········3分 ∴获得优惠券金额的平均数为：50?0.6?100?0.2?200?0.07?64（元）．····6分 （2）这100名购物者购物金额不少于0.8万元的共有7人，不妨记为A，B，C，
D，E，F，G，其中购物金额在0.8～0.9万元有5人（为A，B，C，D，E），
利用画树状图或列表的办法易知从购物金额不少于0．8万元7人中选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能，
10．···········12分 21719．【答案】（1）证明见解析；（2）．
5所以，相应的概率为
【解析】（1）证明：因为ABC?A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1?底面ABC，所以CC1?BC， 又?ACB??，即BC?AC，且CC1?AC?C，所以BC?平面ACC1A1，···3分 2∴BC?AC1，又A1C?AC1，且AC···6分 1?BC?C，所以AC1?平面A1BC，·又AC1?平面ABC1，所以平面ABC1?平面A1BC．···········7分
- 10 -
1?3?4??3（2）解：因为V1?VA1?BMC1B1??··········9分 ?4?14，·
32?V柱体??··········11分 ??4?3??4?24，·2??1所以V1?24?14?10，
V1147··········12分 ??．·
V2105x220．【答案】(1)?y2?1；（2）见解析．
4x2y2【解析】（1）因为椭圆C:2?2?1?a?b?0?经过点P?0,1?，
ab所以b?1．···········1分 又e?c33，所以?，解得a?2．···········3分
a22x2故而可得椭圆的标准方程为：?y2?1．···········4分
4（2）若直线AB的斜率不存在，则直线的方程为x?2， 此时直线与椭圆相切，不符合题意．···········5分
设直线AB的方程为y?1?k?x?2?，即y?kx?2k?1，···········7分
?y?kx?2k?1?222联立?x2，得··········8分 1?4kx?8k2k?1x?16k?16k?0．· ????2?y?1??4设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则
k1?k2?y1?1y2?1x2?kx1?2k?2??x1?kx2?2k?2? ??x1x2x1x2?2kx1x2??2k?2??x1?x2?x1x2?2k??2k?2??x1?x2?
x1x2?2k??2k?2??8k?2k?1??2k??2k?1???1，
16k?k?1?- 11 -
所以k1?k2为定值，且定值为?1．···········12分 21．【答案】（1）答案见解析；（2）?1,???．
?2ax2?x?1【解析】（1）由f?x??lnx?ax?x，得：f??x??，x?0，······1分
x2当a≤0时，f??x??0在?0,???上恒成立， 函数f?x?在?0,???上单调递增；···········3分 当a?0时，令f'?x??0，则?2ax2?x?1?0，得x1?∵x1x2??1?0，∴x1?0?x2， 2a1?8a?11?8a?1，x2?，
4a4a∴令f??x??0得x??0,x2?，令f??x??0得x??x2,???，
????∴f?x?在?0,1?8a?1?上单调递增，在?1?8a?1,???上单调递减．········6分
??4a????4a??（2）由（1）可知，当a?0时，函数f?x?在?0,x2?上单调递增，在?x2,???上单调递减，
∴f?x?max?f?x2?，即需f?x2?≤0，即lnx2?ax22?x2≤0，···········8分 又由f??x2??0得ax22?1?x21，·，代入上面的不等式得2lnx2?x2≤··········9分
2由函数h?x??2lnx?x在?0,???上单调递增，h?1??1，所以0?x2≤1，·······10分 ∴11?x21?11?≥1，∴a?????≥1， x22x222?x22x2?所以的取值范围是a??1,???．···········12分
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
??x222．【答案】（1）C1:?y2?1，C2:x?y?4?0；（2）?45,?5?．
?545???x2【解析】（1）C1:?y2?1，···········2分
4
- 12 -
··········5分 C2:x?y?4?0．·（2）设M?2cos?,sin??，
结合图形可知，MN最小值即为点M到直线C2的距离的最小值． ∵M到直线C2的距离d?2cos??sin??42?5sin??????42，···········7分
∴当sin??????1时，d最小，即MN最小．
此时，2cos??sin??5，结合sin2??cos2??1可解得：cos????即所求M的坐标为?45,?5?．···········10分
???55?255，sin???， 55
23．【答案】（1）?3?；（2）见解析．
【解析】（1）?x?1?2?x??x?1???2?x??3，···········2分
x?1?2?x??x?1???2?x??3，···········4分
··········5分 ?a?3，的取值集合为?3?．·（2）?2?m?n??1?m?n?12??m?n???m?n??1?m?n?2
≥33?m?n???m?n???m?n?2?3
1≥a?2n．···········10分
m2?2mn?n2?2m?2n?1?m?n?≥3，即2m?2
- 13 -