益阳市箴言中学2014—2015学年高二9月月考
数学试题（理科）
一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
1．下列有关命题的说法中错误的是 ( )
A．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1<0，则?p:?x?R,均有x2+x+l≥0 B“x=l”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C，命题“若x2—3x+2=0，则x-l”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0” D．若p?q为假命题，则p，q均为假命题
π12. “x＞”是“sin x＞”的( )
62A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件[来源:Z,xx,k.Com]
→·→>0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2
3．给出命题p：若“ABBC＝ac，则a，b，c成等比数列”．那么下列结论正确的是( )
A．p且q与p或q都为真
B．p且q为真而p或q为假 C．p且q为假且p或q为假 D．p且q为假且p或q为真
4.给出以下四个命题：①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b则am2?bm2;③在△ABC中,若
2sinA=sinB,则A=B;④在一元二次方程ax?bx?c?0中,若b2?4ac?0,则方程有实数根.其中
原命题.逆命题.否命题.逆否命题全都是真命题的是( ) A.① B.② C.③
D.④
5.给定两个命题p,q,若p是q的必要不充分条件,则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x2y2
6．已知椭圆方程为8 + m2= 1 ，焦点在x轴上，则其焦距等于 （ ）
（A）28–m2 （B）222–|m| （C）2m2–8 （D）2|m|–22
x2y2??1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则7．已知椭圆
259|ON|等于 （ ）
3（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
2x2y28．已知二次曲线?=1，则当m∈[-2，一1]时，该曲线的离心率e的取值范围是 ( )
4mA．[23,] 22B．[26,] 22C．[56,] 22D．[36,] 229．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF?BF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
357 A． B．1 C． D．
444
10.已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （ ） ①y =x+1; ②y =2; ③ y =x; ④y=2x+1.
A.①③ B.①② C.②③ D.③④
二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11．“若(x－1)(y＋2)≠0，则x≠1且y≠－2”的否命题是____________， 逆否命题是____________．
12．椭圆5x2?ky2?5的一个焦点是(0,2)，那么k? 13．已知双曲线的渐近线方程为y??x，则双曲线的离心率为
，，P为抛物线上一点，则PA?PF的最小值是____ 14．已知抛物线x2?4y的焦点F和点A(?18)43
34
15．对任意实数x，(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立，则a的取值范围是________．
益阳市箴言中学高二第一次月考
座位号
数 学（理 科）答 卷
时量：120分钟 满分：150分
一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 答案
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11 ，
12 13 14 15
三 解答题（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）
已知集合M＝{x|y＝log2(x－2)}，P＝{x|y＝3－x}，则“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
17．（本小题满分10分）
已知命题P:a2?a，命题Q: 对任何x?R，都有x2?4ax?1?0，命题P且Q为假，P或Q为真，求实数a的取值范围。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18．（本题满分12分）
x2y2已知双曲线C：2?2?1的离心率为3，点(3,0)是双曲线的一个顶点．
ab
（1）求双曲线的方程；
（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A,B两点,
求AB的长。
19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x?2的距离的3倍
之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和， 求点P的轨迹C；
25x2y220 （本小题满分15分） 已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的一条准线方程是x?，其左、
4abx2y2右顶点分别是A、B；双曲线C2：2?2?1的一条渐近线方程为3x?5y?0。
ab
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第二象限内取双曲线C2上一点P，连结BP交椭圆C1于点M，连结PA并延长交
????椭圆C1于点N，若BM?MP。求证：MN·AB?0。
21．（本题满分15分）
y2x2xy 设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，已知向量m?(1,1)，
baabn?(
x2y23,),若m?n?0且椭圆的离心率e?,短轴长为2，O为 坐标原点. ba2
(Ⅰ)求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （Ⅲ）试问：?AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
数 学（理 科）答 案
一，选择题：
1D 2D 3C 4C 5A 6A 7B 8C 9 C 10 B 二 ，填空题
11 若(x－1)(y＋2)＝0，则x＝1，或y＝－2 若x＝1，或y＝－2，则(x－1)(y＋2)＝0
35512，1 13. 或 14.9 15. .－5 43 三，解答题 16．解 由题设知，M＝{x|x>2}，P＝{x|x≤3}． ∴M∩P＝(2,3]， M∪P＝R. 当x∈M，或x∈P时， x∈(M∪P)＝R?/x∈(2,3]＝M∩P. 而x∈(M∩P)?x∈R. ∴x∈(M∩P)?x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件． 17（略） 18（略） 19解 （Ⅰ）设点P的坐标为(x,y)，则 d?4(x?3)2?y2?3|x?2|． 由题设，d?18?x，即4(x?3)2?y2?3|x?2|?18?x． ??① 当x?2时，由①得 ( x ? 3 ) 2 ? 6 ? 1 x ， ??② y 2 ?22y2x化简得 ? ? 1 ． 3627当x≤2时，由①得(x?3)2?y2?3?x， ??③ 2化简得 y?12x． 故点P的轨迹C是由椭圆 2y2xC1：??1在直线x?2的右侧 3627部分与抛物线C2：y2?12x在直线x?2的左侧部分（包括它与直线x?2的交点）所组成的曲线，参见图1． ?a225?a?5???20解：（I）由已知?c4，解之得：?b?3????（3分） ?b?3?c?4?a5????c2?a2?b2?yxx?2图1 ∴椭圆的方程为x?y?1，双曲线的方程x?y?1 又C'?222225925925?9?34 ∴双曲线的离心率e2?34??????（7分） 5 （II）由（I）A??5，0?，B?5，0? ?? 设M?x0，y0?则由BM?MP得M为BP的中点 ∴P点坐标为?2x0?5，2y0? 将M、P坐标代入c1、c2方程得： 222?x0y0?1???259?224y0??2x0?5???1?259? 消去y0得：2x2 解之得：x0??5或x0??5（舍） 0?5x0?25?0 由此可得：P?10，33??????（9分） 当P为?10，33时，PA：y?33?x?5? ?10?5????x2y233 即：y???x?5? 代入??1，得：2x2?15x?25?0 2595 x??55或?5（舍） ?xN??，?xN?xM 22??MN⊥x轴，即MN·AB?0??????（15分） 2221.解：（Ⅰ）2b?2.b?1,e?c?a?b?3?a?2,c?3 aa2椭圆的方程为y?x2?1 ………………………………3分 4（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y?kx?3 ?y?kx?3?2?(k2?4)x2?23kx?1?0.................4分 ?y2??x?1?4x1?x2??23k?1,x1x2?2. .................5分 2k?4k?42 由已知m?n?0得： x1x2y1y21??xx?(kx1?3)(kx2?3)12b2a24k23k3?(1?)x1x2?(x1?x2)? .................6分 4442k?413k?23k3?(?2)????0,解得k??2……7分 4k?44k2?44 (Ⅲ) （1）当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y2,由m?n?0 y12………………………………8分 x??0?y12?4x124 2又 A(x1,y1)在椭圆上，所以x12?4x1?1?x1?2,y1?2 4211s?x1y1?y2?x12y1?1 22。 21所以三角形的面积为定值. ??????????????9分 （2）当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ?y?kx?b?2kb ?2222?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y122k2?4??x?1?4b2?4 ……………………………………10分 x1x2?2k?4y1y2(kx?b)(kx2?b)?0?x1x2?1?0代入整理得: 442b2?k2?4 ………………………………………12分 x1x2?1b1|b|4k2?4b2?164b22S?AB?|b|(x1?x2)?4x1x2???1 222|b|21?k2k?4所以三角形的面积为定值. ………………………………………15分