初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ． 解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以ED?CD?tan?C?5?3154?4，EC?254． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是 △ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．
所以PM34QN?DMDN?43．所以QN?4PM，PM?3QN．
图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时QN?34PM?34．所以CQ?CN?QN?4?3194?4． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时QN?34PM?154．所以CQ?CN?QN?4?15314?4． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tan?QPD?QDDN3PD?DM?4．
在Rt△ABC中，tan?C?BA3CA?4．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ． 因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时PM?43QN?43．所以BP?BM?PM?3?453?3． ②如图6，当QC＝QD时，由cosC?CH54CQ，可得CQ?2?255?8．
所以QN＝CN－CQ＝4?2578?8（如图2所示）
． 此时PM?477253QN?6．所以BP?BM?PM?3?6?6． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP?256． 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线y??43x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速
度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． ① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说
明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
1
图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能． 解答：
（1）直线y??43x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，sinB?45，所以NH?45t． 如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
S?12?OM?NH?12(2?t)?4245t??5t2?5t．定义域为0＜t≤2． 如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
S?12?OM?NH?12(t?2)?45t?25t2?45t．定义域为2＜t≤5．
图2 图3
②把S＝4代入S?25t2?45t，得245t2?5t?4． 解得t1?2?11，t2?2?11（舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?2?11． ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?35， 所以
5?tt?35．解得t?258． 如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5． 不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当t?258或者t?5时，△MON为直角三角形．
图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．
图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO
与DM、DO与DN为邻边．
2
解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝35，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为OE＝2EB，所以x22E?3xB?2，yE?3yB?4，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得??b?5,2k?b?4. 解得k??1，b?5?2．所以直
线DE的解析式为y??12x?5． (3) 由y??12x?5，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝55． ①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,
52)，点N的坐标为(－5,52)． ②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)． ③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P． 由△NPO∽△DOF，得
NPDO?POOF?NONPDF，即5?PO510?55．解得NP?5，PO?25．此时点N的坐标为(?25,5)．
图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．
图5 图6
四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题
例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t= s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，
分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有
，即，解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2
（不合题意，舍去）或t=
﹣14+2
．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2
）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点
的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2
+FM2
=OF2
，即：52
+（6﹣3t）2
=（3t）2
解得：t=；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6， 由勾股定理得：ON2
+EN2
=OE2
，即：62
+（5﹣t）2
=（10﹣t）2
解得：t=3.9．∵
≠3.9，∴不存在实数t，
使得点B′与点O重合．
考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
3
拓展练习：
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时，四边形是平行四边形； 当t= 时，四边形是等腰梯形.
（1题图） 备用图 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 。
（2题图） （3题图）
3、如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?．
（1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ；
②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. M M M
D C C C
E N
D E A A B A B 图1 E N D B 图2
N 图3
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．?AEF?90，且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB
方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值。
7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点
F．AB?4，BC?6，∠B?60?.求：（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于
点N，连结PN，设EP?x.①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，
求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由
4
A E B
图1 D F C
B
A E P N
D F C B
A E P M 图2
M 图3
D N F
C
10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）． （1）求t=1时FC的长度． （2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式． A D （第25题） A
D
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
E F E F B
C
B
C
图4（备用）
图5（备用）
8、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运
动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全 等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
（8题图） （9题图）
9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
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