补充： 晶体的缺陷
1、求证在立方密积结构中，出现杂质填隙原子时，最大的填隙原子半径r与母体原子半径之比为：r:R?0.414:1
【解】对于面心立方结构，过如图1.1所示过1，2，3，4原子面中心作一剖面，得到图1.2
图1.1 图1.2
大、小球恰能相切时，填隙原子的半径最大，这时有
?R?r???R?r?22??2R?2r??2?1?0.414R
所以，最大的填隙原子半径r与母体原子半径R之比为：r:R?0.414:1
2、假设把一个Na原子从Na晶体中移到表面上所需的能量为1ev，计算室温时肖脱基缺陷的相对浓度。
【解】对于肖脱基缺陷，在单原子晶体中空位数为
n?Ne?wkBT
式中N为原子数，w为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量。取室温时T＝300K，得室温时肖脱基缺陷的相对浓度：
??1.60?10?19?nkBT?7c??e?exp??1.72?10 ??23N?1.38?10?300?w3、在上题中，相邻原子向空位迁移时必须越过0.5ev的势垒。设原子的振动频率为1012Hz，
试估计室温下空位的扩散系数并计算温度1000C时空位的扩散系数提高的百分比。 【解】空位扩散系数的表示式为
???w?1D?D0e?Q/RT??0d2exp???
2?kBT?式中d为空位跳跃一步所跨的距离，ν0为与空位相邻的原子的振动频率．w为形成一个空
位所需要的能量，ε为相邻原子向空位迁移时必须越过的势垒高度．已知Na晶体是体心立方结构，晶格常数a＝4.282埃，空位每跳一步的距离为d?3a/2，所以
D???w?12???dexp???T?300K02?kBT??19????1?0.5?1.6?10??1312?10??10???4.282?10??exp??? ?23??2?1.38?10?300??2?2?4.584?10?33?m2/s?同理 DT?373K?3.874?10?28m2/s ?DT?300KT?300K?DT?373KD?8.451?104
4、证明：（1）爱因斯坦关系：
??qD kBT（2）与间隙离子导电相应的电导率：
1n0q2???0d2e??/kBT（黄昆《固体物理学》中少了因子）
22kBT【解】考虑一个正的间隙离子在x方向外电场作用下的运动。外电场作用可以用势能描述：
V?x???Ex
它加到原来离子势能上使间隙离子的势能发生了变化，左右两边势垒的高度分别变为：
???qEd/2 ???qEd/2?间隙离子向右和向左的跳跃率有不同的值：
向右：???0exp?????qEd/2????qEd/2????exp，向左：???? 0kBTkBT????把两式相减后乘上向右或向左每步跳动的距离d/2（黄昆《固体物理学》中取d，与扩散系
数少因子1/2正好抵消，最后结果保证爱因斯坦关系成立，但迁移率、电导率依然差因子1/2。注意到振动频率?0是指在相邻两个原子之间的间隙原子的振动频率，其向左、向右的最大距离是d/2，而不是d，达到d/2时则正好可越过势垒），就得到每秒钟平均沿电场移动的距离：
?qEd?vd??0de??/kBTsinh??
?2kBT?一般的电场强度，qEdkBT，所以，
qvd?(?0d2e??/kBT)E??E，
2kBT其中?是离子的迁移率：
??q(?0d2e??/kBT) 2kBT??1kT2比较扩散系数D??0deB可知
2??qD， 证毕。 kBT（2）令n0表示单位体积内间隙离子的数目，由欧姆定律有：
j?n0qvd??E
由漂移速度vd?q(?0d2e??/kBT)E可以直接得到电流密度 2kBTqj?n0q(?0d2e??/kBT)E
2kBT比较欧姆定律得
n0q2???0d2e??/kBT
2kBT